(9.7.1)--7.7多维隐式问题求解方法-讲义.pdf

《(9.7.1)--7.7多维隐式问题求解方法-讲义.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(9.7.1)--7.7多维隐式问题求解方法-讲义.pdf（5页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、计算流体力学基础讲义 1 第七章 现代 CFD 前沿技术简介 7.7 多维隐式问题求解方法 回顾前面课程构造出的一些典型隐式系统线性方程组，求解方法如下图所示：本节将依次介绍针对带状稀疏矩阵的 ADI 求解方法，和适用于不规则稀疏矩阵的 LU-SGS 求解方法与 GMRES 求解方法。本节路线图如下：7.7.1 ADI（Alternating Direction Implicit）方法 ADI 方法在中文著作中也常被称为交替方向隐式方法，现以上节例 2 中的隐式系统线性方程组7.84 式为例，介绍该方法的算法原理。22ntxy+=AAAAIi+1,ji-1,ji,j+1i,j-1nnni+1,

2、ji-1,ji,j+1i,j-1i,jni,jUUUUUR (7.84)定义两个差分算子x,ijD和,y ijD，其分别代表隐式系统矩阵中 x 方向和 y 方向元素的贡献，7.84式可以利用这两个算子改写成下面的 7.97 式：22nnx ijijtDDtxy+=tI,y,(A)(U)(B)(U)ni,ji,jUR （7.97）计算流体力学基础讲义 2 该方程的左端项可进一步改写成 7.98 式 2nnnn,y,y,ttI224x ijijx ijijtxyx y+(I+D(A)(D(A)(U)-D(A)D(A)(U)（7.98）t较小的情况下最后一项可以略去，即得到 7.99 式 nn,y,

3、ttI=-t22nx ijiji jRxy+(I+D(A)(D(A)(U)（7.99）将方程 7.99 式的求解分为如下两个步骤，这两步交替在 x 和 y 方向分别进行计算，求解的都是块三对角线性方程组，都可用追赶法进行求解。n1,t=-t2nx iji jRx(I+D(A)(U)（7.100a）n1y,tI=-2ijUy+(D(A)(U)（7.100b）具体步骤如下：第一步先在 X 方向针对(i-1,j)、（i,j）和 (i+1,j)这三个序列，如下图红色虚线框所示，运用追赶法求解块三对角线性方程组 7.100a,得到1U 第二步在 Y 方向针对(i,j-1)、（i,j）和 (i,j+1)这

4、三个序列，如下图中蓝色虚线框所示，运用追赶法求解块三对角线性方程组 7.100b,得到最终的U。图 7.29 以上是二维结构网格上 ADI 方法的实现过程，对于三维结构网格，ADI 隐式求解方法同样适用，不过三维的隐式系统矩阵为一个块七对角矩阵，计算时需在 X、Y、Z 三个方向上交替使用追赶法进行求解。7.7.2 LU-SGS(Lower-upper Symmetric-Gauss-Seidel)方法 非结构网格中形成的隐式系统线性方程组，其系数矩阵具有不规则稀疏特点，无法采用 ADI方法进行求解。这里介绍一种基于 LU 分解的对称高斯赛德尔方法，简称 LU-SGS 方法。计算流体力学基础讲义

5、 3 以上节例 3 得到的线性方程组 7.94 式为例，具体演示该方法的实现过程。C UR=（7.94）其中：()1212rkkkrkkkNTU=UUU 7.105 式是对矩阵 C 无规则稀疏特征的示意表达。（7.105）下面简单说明 LU-SGS 方法的基本原理，首先对矩阵 C 进行如 7.106 式的拆解，其中 D 为 C 中对角线上的元素组成的对角阵，CDLU=+（7.106）其中，D 为对角矩阵：（7.107）L 为下三角矩阵：计算流体力学基础讲义 4 （7.108）U 为上三角矩阵：（7.109）对系数矩阵 C 近似 LU 分解：11=CDL ULDDUDLD U=+（）（）（）-）

6、舍去1LD U，可得：1=CDL ULDDUD=+（）（）（）（7.110）这样方程 7.94 可以拆分为两步进行求解，第一步向后扫描求解下三角系数矩阵方程组 7.111a式，第二步向前扫描求解上三角系数矩阵方程组 7.111b 式，获得方程 7.94 的近似解。*()()nLDUR+=（7.111a）*()(U)UDUD+=（7.111b）LUSGS 方法的实现过程相对简单，对结构网格和非结构网格均适用，且具备较好的稳定性，因此得到了较广范的应用。7.7.3 GMRES(Generalized minimal residual method)方法 虽然 ADI 和 LU-SGS 方法形式简单

7、、容易实现，但它们在求解方程组的过程中均对系数矩阵采取了不同程度的近似，这会造成方程求解的精度损失，影响隐式迭代的效率。在 CFD 领域，另一种计算流体力学基础讲义 5 常用的线性方程组求解方法是 GMRES 方法，它不用对隐式系统矩阵作近似处理。该方法的基本思想是在维数相对较小的克雷洛夫子空间寻找原方程的近似解。之所以采用克雷洛夫子空间，是因为该子空间具有极小残差性，用较小维度即可获得较好的近似结果，且该子空间易于构造，存储量和计算量相对较小。GMRES 方法基本流程：1：用预处理算法（如 LU-SGS 方法）预估得到的初值 00nrC UR=+2：构造 m 维克雷洛夫子空间：21mm00000=(,),.,mKKC rspan r Cr C rCr=3：求解最小化问题：20min(Uz)RnmLZm KmC+4：找到方程组的近似解：0z,mmmUUzK=+小结小结 隐式求解方法的演化发展过程隐式求解方法的演化发展过程