现代电路分析与综合 (59).pdf

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1、定义：设定义：设F(s)是复变量是复变量s=+j的函数，如果的函数，如果 (1)当当Ims=0时，时，ImF(s)=0；(2)当当Res0时，时，ReF(s)0。则则称称F(s)为正实函数，简称（为正实函数，简称（P.r.）函数）函数。正实函数(2)(2)(2)(2)(1)F sRe()F sIm()j正实函数的映射关系如图所示。正实函数的映射关系如图所示。正实函数 正实函数的性质 正实函数的性质正实函数的性质:性质性质1.正实函数的倒数仍为正实函数正实函数的倒数仍为正实函数 证明：假定证明：假定F(s)是正实函数，则其必定满足正实是正实函数，则其必定满足正实函数定义的条件函数定义的条件(1)

2、和条件和条件(2)，因此，因此(1)当当Ims=0时，时，ImF(s)=0，所以，所以Im1/F(s)=0，既满足既满足条件条件(1)；(2)设设F(s)=P(s)+jQ(s)，其中，其中P(s)和和Q(s)分别为分别为F(s)的实部和虚部，则的实部和虚部，则有有 因为当因为当Res0时，时，ReF(s)0，则，则Re1/F(s)0，满足条件满足条件(2)。以上证明了正实函数的倒数同样。以上证明了正实函数的倒数同样满足正实函数的两个条件，所以是正实函数。满足正实函数的两个条件，所以是正实函数。Re1/F(s)=Re1/(P(s)+jQ(s)=P(s)/(P2(s)+Q2(s)正实函数的性质 正

3、实函数的性质 性质性质2.正实函数之和仍为正实函数正实函数之和仍为正实函数 证明：假定证明：假定F1(s)和和F2(s)都为正实函数，都为正实函数，F(s)=F1(s)+F2(s)且且 F1(s)=P1(s)+jQ1(s)，F2(s)=P2(s)+jQ2(s)。(1)当当Ims=0时，时，ImF1(s)=0，ImF2(s)=0，所以，所以 ImF(s)=ImF1(s)+F2(s)=ImF1(s)+ImF2(s)=0，既满足条件既满足条件(1)；(2)当当Res0时，时，ReF1(s)0，ReF2(s)0，所以，所以ReF(s)=ReF1(s)+F2(s)=ReF1(s)+ReF2(s)0，既，

4、既满足条件满足条件(2)。则。则性质性质2得证。得证。此结论可以进一步推广为多个正实函数之和同样为此结论可以进一步推广为多个正实函数之和同样为正实函数正实函数。可。可更进一步推广为多个正实函数的正线更进一步推广为多个正实函数的正线性组合（组合系数为性组合（组合系数为正数正数）仍为正实函数。需要注）仍为正实函数。需要注意的是，两个正实函数之差意的是，两个正实函数之差不一定是不一定是正实函数正实函数 正实函数的性质 正实函数的性质 性质性质3.正实函数的复合函数仍为正实函数正实函数的复合函数仍为正实函数 证明：设证明：设F(s)和和f(s)都是正实函数，则其复合函数都是正实函数，则其复合函数Ff(s)也是正也是正实函数。实函数。(1)当当Ims=0时，时，Imf(s)=0，所以，所以ImFf(s)=0，既满足，既满足条件；条件；(2)当当Res0时，时，Ref(s)0，所以，所以ReFf(s)0，既满足，既满足条件。条件。则性质则性质3得证。得证。