(2.1.1)--线性变换的基本概念与定理.pdf

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1、线性变换基本概念线性变换基本概念 变换的基本变换的基本概念概念 线性变换线性变换的基本的基本定理定理 线性变换线性变换的性质的性质1 1、变换的基本概念、变换的基本概念定义：定义：给定一个随机过程给定一个随机过程X(t)，我们按照某种法则我们按照某种法则，对它的每一个样本函数对它的每一个样本函数x(t)，都指定一个对应函数都指定一个对应函数y(t),于是于是，我们就得到了一个新的随机过程我们就得到了一个新的随机过程Y(t)，记为记为Y(t)=TX(t)T就叫做从随机过程就叫做从随机过程 X(t)到到 Y(t)的变换。的变换。T T)(tY)(tX分类：分类：设设e1和和e2分别为两个随机试验的

2、结果，分别为两个随机试验的结果，Y(t)=TX(t)，如果，如果则则T称为确定性变换。称为确定性变换。),(),(21etxetx=),(),(21etyety=1 1、变换的基本概念、变换的基本概念确定性变换、随机变换确定性变换、随机变换分类：分类：确定性变换、随机变换确定性变换、随机变换1 1、变换的基本概念、变换的基本概念RR温敏电阻温敏电阻X(t)Y(t)TY t()X t()()2线性放大器线性放大器线性滤波器线性滤波器线性变换平方律检波平方律检波全波线性检波全波线性检波非线性变换分类：分类：确定性变换、随机变换确定性变换、随机变换线性变换、非线性变换线性变换、非线性变换1 1、变换

3、的基本概念、变换的基本概念)()(+=+=+tXLtY对于线性变换对于线性变换,若有若有则称线性变换则称线性变换L是是线性时不变线性时不变的的。)()()()(22112211tXLAtXLAtXAtXAL+=+=+其中其中A1，A2为随机变量为随机变量，X1(t)，X2(t)为随机过为随机过程程。则称则称L为线性变换为线性变换。线性变换线性变换：设设,如果如果)()(tXLtY=1 1、变换的基本概念、变换的基本概念定理定理1 1：设设则则)()(tXLtY=)()(tXELtYE=2 2、线性变换、线性变换的基本定理的基本定理L()iy t()ix t证明：证明：_121()()()()n

4、Y ty ty tytn=+=+121L()L()L()nx tx txtn=+=+121L()()()nx txtxtn=+=+L()X t=根据大数定理根据大数定理n _()()X tE X t_()()Y tE Y t定理定理1 1：设设则则)()(tXLtY=)()(tXELtYE=所以算子所以算子L,E可以交换次序可以交换次序。由于由于2 2、线性变换、线性变换的基本定理的基本定理)()()(tXELtXLEtYE=定理定理2 2：设设)()(tXLtY=),(),(21212ttRLttRXtXY=),(),(),(212121211ttRLLttRLttRXttXYtY=则则证明

5、：证明：),()()()()()()(),(21212121212ttRLtXtXELtXLtXEtYtXEttRXtXY=定理定理1 1：设设则则)()(tXLtY=)()(tXELtYE=2 2、线性变换、线性变换的基本定理的基本定理定理定理2 2：设设)()(tXLtY=),(),(21212ttRLttRXtXY=),(),(),(212121211ttRLLttRLttRXttXYtY=则则 输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值和和相关函数相关函数确定。确定。对于线性时不变系统，对于线性时不变系统，若若X(t)是严平稳的，则是严平稳的，则Y

6、(t)是严平稳；是严平稳；若若X(t)是广义平稳的，则是广义平稳的，则Y(t)是广义平稳的。是广义平稳的。3 3、线性变换的性质、线性变换的性质 输出的输出的k k阶矩可以由输入的相应阶矩来阶矩可以由输入的相应阶矩来确定。确定。)()()()()()(321321321tXtXtXELLLtYtYtYEttt=小小 结结 变换的基本概念变换的基本概念确定性变换、线性变换确定性变换、线性变换 线性变换的基本定理线性变换的基本定理 线性变换的性质线性变换的性质输出的输出的k k阶矩只由输入的阶矩只由输入的k k阶矩确定阶矩确定输出的平稳性与输入的平稳性保持一致输出的平稳性与输入的平稳性保持一致)()(tXELtYE=),(),(21212ttRLttRXtXY=),(),(),(212121211ttRLLttRLttRXttXYtY=