复变函数复变函数复变函数 (26).pdf

《复变函数复变函数复变函数 (26).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数复变函数复变函数 (26).pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、多复变广义解析函数的边值问题摘要:研究多复变广义解析函数的一个边值问题 A(t1,t2)W+(t1,t2)+B(t1,t2)W+-+C(t1,t2)W-+D(t1,t2)W-(t1,t2)=g(t1,t2),先讨论了多复变中的 Hadamard估计和解的积分表示式,并且研究了几个奇异积分算子的估值和性质,在此基础上用压缩映射原理证明了解的存在惟一性。关键词:多复变广义解析函数;Hadamard估计;边值问题中图分类号:O 177.4 文献标识码:A对于多复变函数 Cauchy型积分的边界性质的研究始见于文献 1。1981年 W.Tutschke讨论了多复变广义解析函数的一个边值问题2。1989

2、年,闻国椿,田茂英又研究了多复变函数的变态 Riemann-Hilbert问题3。1997年黄沙研究了多复变函数于双圆柱域上的一个非线性边值问题4。本文在以上工作的基础上使用了压缩映射原理和奇异积分方程的方法研究了广义解析函数于双圆柱域上的一个边值问题的解的存在唯一性和积分表示式,并给出了多复变函数中的一些积分估值和几个奇异积分算子的估值。1 预备知识设 Dk是复数 zk(k=1,2)平面上的单位圆盘,记 C2空间中双圆柱域 D=D1 D2,其中 D1,D2的边界分别为 L1|z1|=1,L2|z2|=1,记 L=L1 L2,用 Dk,D-k表示 Dk(k=1,2)的内部和外部。设 t=(t1

3、,t2)L,当点 z=(z1,z2)从 D1D2趋于 t时,则记函数 H(z)=H(z1,z2)的相应极限值为 H,(t1,t2)。引理 14设 h(z)在 D内部解析,在 D边界 L 上连续,则有1(2 i)2Lh(t)dt1dt2(t1-z1)(t2-z2)=0,z D,h(z),z D,t=(t1,t2)。(1)引理 24设 h(t)在 L 上连续,则 Cauchy型积分H(z1,z2)=1(2 i)2Lh(t)dt1dt2(t1-z1)(t2-z2),(zk Lk)(2)收稿日期:2002-03-04;修回日期:2002-04-16;责任编辑:许克明,张军基金项目:国家教育部博士点专项

4、基金资助项目(199000722)作者简介:杨贺菊(1974-),女,河北安新县人,硕士,讲师,研究方向为多复变函数的边值问题。是(z1,z2)的解析函数,且 H(z1,)=H(,z2)=H(,)=0。如文献 4,如果对于任意两点 t,f L,有|h(t)-h(f)|J1|t-f|T,其中|t-f|=2k=1|tk-fk|212T,0T 1,J1为正常数,称 h(t)=h(t1,t2)在其特征流形 L 上满足 Ho lder条件,并记作(t)H(L,T)。定义h T=C(h,L)+H(h,L,T),易证 H(L,T)构成 Banach空间,且h1+h2Th1T+h2T,h1h2TJ2h1Th2

5、T,(3)其中 J2为正常数,h1,h2 H(L,T)。引进积分算子4S1h=2iL1h(f1,t2)f1-t1d f1,S2h=2iL2h(t1,f2)f2-t2d f2,S3h=2(i)2Lh(f1,f2)(f1-t1)(f2-t2)d f1d f2,ti Li,i=1,2。引理 34若式(2)中 h(t)H(L,T),则 Cauchy型积分 H(z1,z2)解析,且对于(t1,t2)L,有H+(t1,t2)=14h+S1h+S2h+S3h(t1,t2),H+-(t1,t2)=14-h-S1h+S2h+S3h(t1,t2),H-+(t1,t2)=14-h+S1h-S2h+S3h(t1,t2

6、),H-(t1,t2)=14h-S1h-S2h+S3h(t1,t2).。(4)2 多复变广义解析函数的积分表达式和几个奇异积分算子假设 F1,F2 C1(D),D=D1D2,并定义方程组Wz1=F1(z1,z2)Wz2=F2(z1,z2)(5)的解 W(z1,z2)为多复变广义解析函数,则方程(5)可解的必要条件是F1z2=F2z1,(6)且称条件式(6)为式(5)的相容条件。因为 F2z1=(Wz2)z1=(Wz1)z2=F1z2。引入奇异积分算子5T1F(z1,z2)=-1 D+1F(f1,z2)d ef1f1-z1+-1 D+1F1f1,z2def11f1-z1|f1|4,T2F(z1,

7、z2)=-1 D+2F(z1,f2)d ef2f2-z2+-1 D+2F z1,1f2def21f2-z2|f2|4,其中 D+1为|f1|L,f1=a1+iZ1,d ef1=d a1dZ1,D+2为|f2|L,f2=a1+iZ2,def2=d a2d Z2。类似于文献 5,定义多复变函数 g(z1,z2)在整个复平面 C上关于 z1的广义微商,若给定 z2 C,对于任意 h(z1,z2)D0(C)均有2河 北 科 技 大 学 学 报 2002年 CF(z1,z2)h(z1,z2)d ez1+Cg(z1,z2)h(z1,z2)z1d ez1=0,则称 F(z1,z2)为函数 g(z1,z2)在

8、复平面 C上关于 z1的广义微商,记为 g(z1,z2)z1=F(z1,z2),若对于固定的 z2,有h(z1,z2)的支集 G=(z1,z2)h(z1,z2)0,z1 C为 C中有界集合,h(z1,z2)又为无穷可微函数,则称 h(z1,z2)D0(C)(关于 z1),同样,给定 z1 C,也有类似定义。引理 4 (Hadamard)5令 G为复平面中的有界域,z,z 为复平面中任意两点,zz,T,U 满足 0T,U 2,则有 G|f-z|-T|f-z|-Ud ef M2(T,U)|z-z|2-T-U,M2为仅与 T,U 有关的正常数。引理 55设对于每个固定的 z2 C(全复平面),关于

9、z1有 F(z1,z2)Lp,2(C),其范数 Fp,2=F,D+1p+z-21F1z1,z2,D+1p与 z2无关,p 2,D+1为单位圆盘,则对于每个固定的 z2 C有1)|T1F|J3(p)Fp,2,z1 C;2)对于任意 z1,z1 C,有|T1F(z1,z2)-T1F(z1,z2)|J3(p)Fp,2|z1-z1|T,T=p-2p;3)对于|z1|3,有|T1F|J3(p)Fp,2|z1|2p-1;4)(T1F)z-1=F,z1 C。引理 65设对于每个固定的 z1 C,关于 z2有 F(z1,z2)Lp,2(C),并且其范数 Fp,2=F,D+2p+z-22F(z1,z2),D+2

10、p与 z1无关,p 2,则对于每个固定的 z1 C有1)|T2F|J3(p)Fp,2,z2 C;2)对于任意 z2,z2 C,有|T2F(z1,z2)-T2F(z1,z2)|J3(p)Fp,2|z2-z2|T,T=p-2p;3)对于|z2|3,有|T2F|J3(p)Fp,2 z22p-1;4)(T2F)z-2=F,z2 C。定理 1 在引理 4,引理 5的条件下,1)对于每个固定的 z2 C,及 T=p-2p,则关于 z1有 T1F CT(C),且 T1F(,z2)=0;2)对于每个固定的 z1 C,及 T=p-2p,则关于 z2有 T2F CT(C),且 T2F(z1,)=0。证明 1)由引

11、理 5中 1)可知,T1F(z1,z2)有界,又由引理 5中 2)可知|T1F(z1,z2)-T1F(z1,z2)|J3(p)|F|p,2|z1-z1|T,所以 T1F CT(C),又由引理 5中 3)可知,当|z1|3时,|T1F(z1,z2)|J3(p)|F|p,2|z1|2p-1,令 z1,则 T1F(z1,z2)0,即 T1F(,z2)=0。2)同上类似可证。定理 2 设 F(z1,z2)对于每个固定 z1 C,关于 z2当|z1|1时,F(z1,z2)CT(C),且|F(z1,z2)|M3,其中 M3及其 Ho lder常数与 z1无关。当 z1 1时,z21F(z1,z2)CT(C

12、),且|z21F(z1,z2)|M4,其中 Ho lder常数及 M4与 z1无关。0T 1,那么对于每个固定的 z1 C,关于 z2有 T1F CT(C),且其 Ho lder常数与 z1无关。证明任意取 z2,z2 C,且 z2z2,则有|T1F(z1,z2)-T1F(z1,z2)|3第 3期杨贺菊等多复变广义解析函数的边值问题1 D+1F(f1,z2)-F(f1,z2)f1-z1d ef1+1 D+1F1f1,z2-F1f1,z21f1-z1|f1|4d ef1。令 p=21-T,1p+1q=1,因为 0T 2,又因为1p+1q=1,q=1+1p-1,所以 1q 2,则有 D+1|f1-

13、z1|-qdef11q收敛且有界,记其上界为 M5,又因为|z1|1时,有 F(z1,z2)CT(c),|z1|1时,z21F(z1,z2)CT(C),由 Ho lder不等式可得,上式J4 z2-z2|,D+1|p D+1|1-z1|-qdef11q+J5 z2-z2|T,D+1|p D+1|f1|-2q1f1-z1-qdef11qJ6|z2-z2|T D+1|f1-z1|-qd ef11q+D+1|f1|-2q1f1-z1-qdef11qJ6|z2-z2|TM5+D+1|f1|-2q1f1-z1-qdef11q。a)当|z1|12时,有1z1-q 2q且 1 q 1,满足引理 4中 T,U

14、 条件,所以 D+1|f1|-2q1f1-z1-qdef1=|z1|-q D+1|f1|-qf1-1z1-qd ef1|z1|-qM21z12-2q=M21z12-2q 22-qM2。b)当|z1|12时,|f1|1,|z1|12,又 q 2,所以 D+1|f1|-qdef1有 界,可 得 D+1|f1|-2q1f1-z1-qd ef1=D+1|f1|-q|1-f1z1|-qd ef12q D+1|f1|-qd ef1,所以 D+1|f1|-2q1f1-z1-qd ef1在|z1|12时有界,则由 a),b)可得,当 z1C时 D+1|f1|-2q1f1-z1-qdef1有界,记其上界为 M6

15、,则有|T1F(z1,z2)-T1F(z1,z2)|J6|z2-z2|T(M6+M5),记 J6(M6+M5)=J7,则有|T1F(z1,z2)-T1F(z1,z2)|J7|z2-z2|T,且 J7与z1无关。又因为|z1|1时,|F(z1,z2)|M4,|z1|1时,z21F(z1,z2)M4,所以关于 z2,有 T1F(z1,z2)在 C中有界,对于任意固定 z1 C,有 T1F CT(C),(关于 z2)且其 Ho lder常数与 z1无关。类似可证以下定理。定理 3 设 F(z1,z2)对于每个固定 z2 C,关于 z1,当|z2|1时,F(z1,z2)CT(C),且|F(z1,z2)

16、|M7,其中 M7和其 Ho lder常数与 z2无关。当 z2 1时,z22F(z1,z2)CT(C),且|z22F(z1,z2)|M8,其中 Ho lder常数及 M8与 z2无关。0T 2。因此引理 5和引理 6中的 4)均成立。于是当(z1,z2)D1D+2,D1 D-2时,有(T1Fi)z1=Fi,(T2Fi)z2=Fi,又由相容条件有(F1)z2=(F2)z1,所以H(z1,z2)z1=W(z1,z2)z1-(T1F1)z1-(T2F2)z1+(T2(T1F1)z2)z1=F1-F1-(T2F2)z1+(T2T1(F1z2)z1=-(T2F2)z1+T2T1(F2z1)z1=-(T

17、2F2)z1+T2(F2z1)=-T2(F2z1)+T2(F2z1)=0,(z1,z2)z2=W(z1,z2)z2-(T1F1)z2-(T2F2)z2+(T2(T1F1)z2)z2=F2-T1(F1z2)-F2+T1(F1z2)=0。因此 H(z1,z2)是 D1D+2,D1D-2中的解析函数,即式(7)成立。引进奇异积分算子 T3(F1z2)=T2(T1F1)z2。定理 6 在定理 5的条件下,又设 F1z1满足定理 4条件,则有1)T3(F1z2)z1=T2(F1z2),T3(F1z2)z2=T1(F1z2);2)T3(F1z2)CT(C2);3)T3(F1z2)(,z2)=T3(F1z2

18、)(z1,)=T3(F1z2)(,)=0。证明 1)在定理 5的条件下,有引理 5和引理 6中的(4)均成立,所以 T3(F1z2)z1=T2(T1F1)z2z1=T2(T1F1)z2-z1-=T2(T1F1)z1-z2-=T2(F1z2),5第 3期杨贺菊等多复变广义解析函数的边值问题 T3(F1z2)z2=T2(T1F1)z2z2=(T1F1)z2=T1(F1z2),从而 1)得证。2)由 T3的定义可得,T3(F1z2)=T2(T1F1)z2=T2T1(F1z2),又因为 T1(F1z2)满足定理 4的条件,则由定理 4可得,T2T1(F1z2)CT(C2),即为 T3(F1z2)CT(

19、C2),所以 T3(F1z2)CT(C2)成立。3)a)在定理 5的条件下,有引理 5和引理 6中的 1),3)成立,所以当|z2|3时,有:|T3(F1z2)(z1,z2)|=|T2T1(F1z2)(z1,z2)|J3|T1(F1z2)|p,2|z2|2p-1,p=21-T,又因为 T1(F1z2)满足定理 4中的条件,所以 T1(F1z2)Lp,2(C),即|T1(F1z2)|p,2为有界值,令 T3(F1z2)(z1,z2)中 z2,则有T3(F1z2)(z1,)=T2T1(F1z2)(z1,)=0。b)因为在定理 4条件下,F1z2 Lp,2(C),则由定理 1可得 T3(F1z2)(

20、,z2)=T2T1(F1z2)(,z2)=limz1-1 D+2T1(F1z2)(z1,z2)f2-z2d ef2+limz1-1 D+2T1(F1z2)z1,1f2|f2|41f2-z2d ef2=-1 D+2T1(F1z2)(,z2)f2-z2d ef2+-1 D+2T1(F1z2),1f2|f2|41f2-z2def2=0。c)由 a),b)直接可得 T3(F1z2)(,)=0。所以由 a),b),c)可知:T3(F1z2)(,z2)=T3(F1z2)(z1,)=T3(F1z2)(,)=0。3 广义解析函数的 Plemelj公式定理 7 若 W(z1,z2)为在定理 5条件下的广义解析函

21、数,设 F1(z1,)=F2(,z2)=0,F1z2满足定理 4的条件,则有广义解析函数的 Plemelj公式:W+(t1,t2)=(T1F1)(t1,t2)+(T2F2)(t1,t2)-T3(F1z2)(t1,t2)+14h+S1h+S2h+S3h(t1,t2),W+-(t1,t2)=(T1F1)(t1,t2)+(T2F2)(t1,t2)-T3(F1z2)(t1,t2)+14-h-S1h+S2h+S3h(t1,t2),W-+(t1,t2)=(T1F1)(t1,t2)+(T2F2)(t1,t2)-T3(F1z2)(t1,t2)+14-h+S1h-S2h+S3h(t1,t2),W-(t1,t2)

22、=(T1F1)(t1,t2)+(T2F2)(t1,t2)-T3(F1z2)(t1,t2)+14h-S1h-S2h+S3h(t1,t2)。(8)其中(t1,t2)L1L2,L1|t1|=1,L2|t1|=1,且有 W(,z2)=W(z1,)=W(,)=0。证明由引理 3和定理 5易得式(8)。又在题设条件下,满足定理 6,则可由式(7)知W(,z2)=T1F1(,z2)+T2F2(,z2)-T3F1z2(,z2)+H(,z2)=0+T2F2(,z2)-0+0=T2F2(,z2)=0,类似可证 W(z1,),W(,)=0。6河 北 科 技 大 学 学 报 2002年4 边值问题 O1的解的存在惟一

23、性及积分表示式设 D+1,D+2为 C平面上的单位圆盘,L1为|t1|=1,L2为|t2|=1,且 A(t1,t2),B(t1,t2),C(t1,t2),D(t1,t2)为在 L1 L2上给定函数,寻求在 D1 D+2,D1 D-2,内广义解析,在 D1 D+2+L1 L2,D1D-2+L1L2上连续的函数 W(z1,z2),使得 W(z1,)=W(,z2)=W(,)=0,并且适合边值条件:A(t1,t2)W+(t1,t2)+B(t1,t2)W+-(t1,t2)+C(t1,t2)W-+(t1,t2)+D(t1,t2)W-(t1,t2)=g(t1,t2)。(9)称以上问题为问题 O1。将式(8)

24、代入式(9)式,有Q h=h。(10)Q h=(A+B)(h+S1h+S2h+S3h)+(C+D)(-h+S1h-S2h+S3h)+(B+D)(2 h-2S1h)+(1-4B)h+4(A+B+C+D)T1F1-T2F2-T3(F1z2)-4g(h 为 L1L2上的 Ho lder连续函数)。若奇异积分方程(10)有解h,则问题 O1有解 W(z1,z2)=T1F1+T2T2-T3(F1z2)+H(z1,z2),其中(z1,z2)=1(2 i)2L1L2h(f1,f2)(f1-z1)(f2-z2)df1d f2。引理 74设 h(t1,t2)H(L,T),(L=L1L2),则存在与 h 无关的正

25、常数 J11,使得 2 h-2Sih TJ11 h T,2Sih T J11h T,(i=1,2),S2h S3h TJ11 h T,-h-S1h+S2h+S3h TJ11 h T,h+S1h+S2h+S3h T J11h T,-h+S1h-S2h+S3h TJ11 h T,h-S1h-S2h+S3h T J11h T。定理 8 设 D+1,D+2为 C中的单位圆盘,对于每个固定的 z1 C,关于 z2有T1(F1z2)CT(C),(|z1|1),z21T1(F1z2)CT(C),(|z1|1),Fi(z1,z2)CT(C),(|z1|1),z21Fi(z1,z2)CT(C),(|z1|1),

26、(i=1,2)且其 Ho lder常数和上界均与 z1无关;又对于每个固定的 z2 C,关于 z1有T1(F1z2)CT(C),(|z2|1),z22T1(F1z2)CT(C),(|z2|1),Fi(z1,z2)CT(C),(|z2|1),z22Fi(z1,z2)CT(C),(|z2|1),(i=1,2)且其 Ho lder常数和上界均与 z2无关,0T 1。F1,F2还适合相容条件 F1z2=F2z1,又 F1(,z2)=F2(,z2)=0,F1z2满足定理 4条件,A(t1,t2),B(t1,t2),C(t1,t2),D(t1,t2),g(t1,t2)H(L,T),A,B,C,D 适合 0

27、V=J2J11(A+BT+C+DT+B+DT)+1-4BT 1,则问题 O1存在惟一解,且解的积分表示式由式(7)和式(2)给出。证明由式(10)得Q h=(A+B)(h+S1h+S2h+S3h)+(C+D)(-h+S1h-S2h+S3h)+(B+D)(2 h-2S1h)+(1-4B)h+4(A+B+C+D)T1F1-T2F2-T3(F1z2)-4g。令 Qh1-Qh2T=(A+B)h1-h2+S1(h1-h2)+S2(h1-h2)+S3(h1-h2)+(C+D)-h1+h2+S1(h1-h2)-S2(h1-h2)+S3(h1-h2)+(B+D)2 h1-2 h2-2S1(h1-2 h2)+(

28、1-4B)(h1-h2)TJ11J2 A+BTh1-h2T+J11J2 C+DT h1-h2T+J11J2 B+DT+1-4BTh1-h2TV h1-h2T,7第 3期杨贺菊等多复变广义解析函数的边值问题因为 V 1,所以 Q h 是从 Banach空间 H(L,T)到自身的压缩映射,则存在惟一的不动点 h0(z1,z2)适合h0=Q h0。即问题 O1存在惟一解,且解的积分表示式由式(7)和式(2)给出。参考文献:1钟同德.多复变函数哥西核型积分的边界性质 J.数学学报,1965,15:227-241.2W.Tutschke Boundary value problems for gener

29、alized analy tic functions of sev eral complex variables.Ann.polon.MathJ.1981,38:227-238.3闻国椿,田茂英.多复变函数的一些边值问题 J.烟台大学学报(自然科学与工程版),1993,(2):1-7.4黄沙.多复变解析函数的一个非线性边值问题 J.数学物理学报,1997,17(4):382-388.5闻国椿,杨广武,黄沙,等.广义解析函数及其拓广 M.石家庄:河北教育出版社,1987.25-40.A Boundary Value Problem for Generalized AnalyticFunction

30、s of Several Complex VariablesYANG He-ju,LI Xiu-min,GUO Yan-ping,LIU Ping,CHAI Jun-qi(College of Sciences,Hebei University of Science and Technology,Shijiazhuang Hebei050018,China)Abstract:In this paper,we discuss a boundary value problem for generalized analytic functions of severalcomplex variable

31、s:A(t1,t2)W+(t1,t2)+B(t1,t2)W+-(t1,t2)+C(t1,t2)W-+(t1,t2)+D(t1,t2)W-(t1,t2)=g(t1,t2).First,we study theHadamard estimation in several complex variables and get the integralrepresentations of solution.Then,we discuss several singular operaters.Finally,we prove the existence(uniqueness)of the solution

32、 by the compressing projection principle on the basis of the above.Key words:generalized analytic functions of several complex variables;hadamard estimation;boundary valueproblem河北科技大学学报被评为河北省 2000 2001年度优秀期刊为提高我省期刊质量,推动期刊出版事业的繁荣发展,鼓励先进,争创名牌,多出精品,省新闻出版局、省科学技术厅于 2002年上半年组织了河北省优秀期刊评审委员会,对 2000 2001年度出版的期刊进行了综合检查评比。1.经河北省期刊综合评审委员会评审,评选出河北省 2000 2001年度优秀期刊 50种,河北科技大学学报榜上有名。2.经编校质量评选委员会评审,评选出编校质量较好的期刊 34种,河北科技大学学报榜上有名。3.经省出版工作者协会装帧艺术委员会评审,评选出优秀封面设计 20种,河北科技大学学报榜上有名。本刊全体人员决心继续坚持正确的出版方向,进一步增加品牌意识和市场竞争意识,把刊物办的更好。8河 北 科 技 大 学 学 报 2002年