(6.6.1)--5.6二次型与标准形.pdf

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1、第5章-相似矩阵及二次型Fifthlectures定义：含有 n 个变量 x1,x2,xn的二次齐次函数称为二次型121213 131,1222nnnna x xa x xaxx22212111222(,)nnnnf x xxa xa xa x22111121211212122222nnnnfa xa x xa x xa x xa xax x当 ji,令aij=aji，则 2 aijxixj=aijxixj+ajixixj，于是21122nnnnnnnax xax xax,1nijiji ja x xVI二次型及其标准形1.二次型对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即 f=k1y

2、12+k2y22+knyn2.定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形（法式）.如果标准形的系数 k1,k2,kn只在1,1,0三个数中取值,即f=y12+yp2 yp+12 yr2则上式称为二次型的规范形11111221221122221122nnnnnnmnnnxcycycyxcycycyxcycycy 1.标准型12(,)nfxxx11111221()nnxaxaxax22112222()nnxaxaxax1122()nnnnnnxaxaxax11112212112222121122(,)nnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxxxxaxaxax1112112122221212(,

3、)nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax .TxAx111211212222121212(,)(,)nnnnnnnnnaaaxaaaxfxxxxxxaaax 1 11 212 12 2212nnnnn naaaaaaAaaa对称阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩（对称阵的二次型）（二次型的矩阵）f=xTAx =(C y)TA(C y)=yT(CTAC)y.定义：A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C满足对于线性变换 x=C y，有则称矩阵A与B合同CTAC=B，注：(1)若A为对称阵，则B=CTAC也为对称阵且R(B)=R(A).(因为BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B.

4、)(2)经过可逆变换x=Cy后，二次型 f 的矩阵由A变为与A合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不变要使二次型 f 经可逆变换x=Cy变成标准形，即()TTfyCAC y注:对于对称阵A，寻求可逆矩阵C，使CTAC为对角阵,即把对称阵合同对角化2221 122nnk yk yk y112212(,)nnnkykyy yyky 也就是使CTAC为对角阵.定理：任给二次型 f(x)=xTAx（其中A=AT），总存在正交变换 x=P y，使 f 化为标准形f(P y)=1y12+2y22+nyn2其中 1,2,n是 f 的矩阵A的特征值推论：任给二次型 f(x)=xTAx（其中AT=A），总存在可逆变

5、换 x=Cz，使 f(Cz)为规范形证 f(P y)=1y12+2y22+nyn2设二次型的秩为r，则A的特征值中恰有r个不为0，不妨设 1,2,r不等于零，r+1=n=0,令则K可逆，变换y=Kz把 f(P y)化为f(PKz)=(PKz)TA(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKTKz121,|1,.iinkirkKkirk,其中，记 C=PK,即知可逆变换x=Cz 把 f 化成规范形1212,0,0|TrrKKdiag222121212().|rrrf Czzzz例 求一个正交变换 x=P y，把二次型f=2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形解 二次型的矩阵经计算存在正交阵011101110A11132611132612036P使得200010001TPAP f=2y12+y22+y32.11223311132611132612036xyxyxy于是有正交变换把二次型化为标准形如果要把 f 化为规范形，只需令得 f 的规范形：f=z12+z22+z32.1122331/2yzyzyz谢谢，再见！