(4.1.2)--4.1.2随机变量函数的数学期望.pdf

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1、第4章 随机变量的数字特征 Fourth Chapter 随机变量函数的数学期望 在实际问题与理论研究中,经常需要求随机变量函数的数学期望,其可通过如下定理来实现:(1)X 是离散型随机变量,它的分布律为 (),1,2,kkP Xxp k若 绝对收敛,则有 1()kkkg xp1()()()kkkE YE g Xg xp1 定理介绍 定理4.1 设 Y 是随机变量 X 的函数 Y=g(X)(g是连续函数).定理的重要意义在于,当求 E(Y)时,不必知道 Y 的分布而只需利用 X 的分布律或概率密度即可,避免了因 Y=g(X)的分布函数不易求得而造成的计算困难.(2)X 是连续型随机变量,它的概

2、率密度为 f(x),若()()dg x f xx绝对收敛,则有()()()()dE YE g Xg x f xx随机变量函数的数学期望 2 定理推广()(,)(,)ijijijE ZE g X Yg x yp设 Z 是随机变量 X,Y 的函数 Z=g(X,Y)(g是连续函数),则 Z 也是一个随机变量,且 特别地,(),()iiiijjjjijiijjjiE Xx px pE Yy py p时,若 绝对收敛,则有(,)ijP Xx Yy,(,1,2,)ijpi j(,)ijijijg x yp(1)当(X,Y)是二维离散型随机变量,联合分布律为 随机变量函数的数学期望()(,)(,)(,)d

3、dE ZE g X Yg x y f x yx y(2)当(X,Y)是二维连续型随机变量,联合概率密度为 时,(,)f x y若 绝对收敛,则有(,)(,)d dg x y f x yx y 特别地,()()d(,)d dXE Xxfxxxf x yx y()()d(,)d dYE Yyfyyyf x yy x 随机变量函数的数学期望 3 例题 例4.2 设随机变量 X 的分布律如下表,求 2(),(21).E XEX 解 22222113131()(1)02384848E X 113(21)2(1)12 01221848EX 172 3 144 XP102311318484随机变量函数的数学

4、期望 例4.3 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 解 11250001()(,)d d12d d3d2xE XYxyf x yx yxyyy xxx 11123003()(,)d d12d d12(1)d5yE Yyf x yx yyyx yyyy 求 和 的值.()E XY()E Y随机变量函数的数学期望 212,01(,)0,yyxf x y其它 本节小结 随机变量函数 的数学期望()jjjijjjiE Yy py p()iiiijiijE Xx px p离散型 一维 二维 特殊的 1()()()kkkE YE g Xg xp()(,)(,)ijijijE ZE g X Yg x yp连续型 一维 二维 特殊的()()()()dE YE g Xg x f xx()(,)(,)(,)d dE ZE g X Yg x y f x yx y()()d(,)d dXE Xxfxxxf x yx y()()d(,)d dYE Yyfyyyf x yy x 敲黑板 划重点 如何计算随机变量函数的数学期望？谢谢,再见!