(1.3.2)--1.3.2全概率公式及贝叶斯公式.pdf

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1、第1章 概率论的基本概念First Chapter1.3.2 全概率公式及贝叶斯公式1.划分(完备事件组)人们在计算某一较复杂的事件的概率时，有时根据事件在不同情况或不同原因或不同途径下发生而将它分解成两个或若干互不相容的部分的并，分别计算概率，然后再求和.全概率公式是概率论中的一个基本公式，它使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简，得以解决.定义 1.12设试验E，样本空间，B1，B2，Bn为E 的一组事件.则称B1，B2，Bn为样本空间的一个划分.(1)12ijB Bijijn，；12(2),nBBBB1B2B4.BnB3若简单地讲，划分就是将样本空间分成几个互不相交部分.注：若B1，B2，

2、Bn为样本空间的一个划分，则对每次试验，事件B1，B2，Bn中必有一个且仅有一个发生.(2)互为独立的事件A 和就是的一个划分.A例如：(1)投掷一枚均匀的骰子，A=出现点数为1，B=出现点数为3和5，C=出现点数为偶数，则事件A，B，C 为样本空间的一个划分.1.3.2 全概率公式及贝叶斯公式2.全概率公式上式称为全概率公式.特别地，n=2定理1.2(全概率公式)设试验E 的样本空间为，A 为随机事件，B1，B2，Bn为样本空间的一个划分，P(Bi)0(i=1，2，n)，则B1B2B4.BnB3A1122()()(|)()(|)()(|)nnP AP B P A BP B P A BP B

3、P A B()()(|)()(|).P AP B P A BP B P A B1.3.2 全概率公式及贝叶斯公式B1B2B4.BnB3A证因为1niiAAB且 AB1，AB2，ABn两两互不相容，由概率的有限可加性及乘法定理，可得1()niiP APAB1()niiP AB有限可加性1122()(|)()(|)()(|).nnP B P A BP B P A BP B P A B条件概率1.3.2 全概率公式及贝叶斯公式定理1.3(贝叶斯公式)设试验E 的样本空间为，A 为随机事件，B1，B2，Bn为的一个划分，且P(A)0，P(Bi)0(i=1，2，n)，则称上式为贝叶斯公式，也称为逆概率公

4、式.3.贝叶斯公式1(|)()(|)1 2 (|)()iiinjjjP A B P BP BAinP A B P B，证根据条件概率公式及全概率公式，对于任一 i=1，2，n，易得1()(|)()(|).()(|)()iiiinjjjP ABP A B P BP BAP AP A B P B条件概率条件概率全概率公式1.3.2 全概率公式及贝叶斯公式例1.13 某工厂由甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.产品混在一起.(1)从该工厂的产品任取一件，求它是次品的概率.(2)若取出产品是次品，求它是由甲、乙、丙3个车间生

5、产的概率.解令A1，A2，A3 分别表示事件“取出的产品分别由甲、乙、丙车间生产的”，B=取出的产品为次品，则313122()0.45()0.35()0.2(|)0.04(|)0.02(|)0.05.AAP APPP B AP B AP B A，1.3.2 全概率公式及贝叶斯公式(1)由全概率公式，得112233()()()()()()()0.45 0.040.35 0.020.2 0.050.035.P BP A P B AP A P B AP A P B A(2)由贝叶斯公式，得10.450.0418()0.5140.03535P A B1.3.2 全概率公式及贝叶斯公式20.350.02

6、7()0.20.03535P A B=30.20.052()0.286.0.0357P A B例 1.14一群人中，假设男生和女生各占人数的一半，并且5%的男生和0.25%的女生是色盲.现随机地挑选一个人，试求：(1)此人是色盲的概率.(2)若此人恰为色盲，则此人是男生的概率.解令A=任意挑选的人是色盲，B=被挑选的人是男生，则.B 被挑选的人是女生B B从而为样本空间的一个划分，由已知有11()()22(|)5%(|)0.25%P BPP A BPBA B，1.3.2 全概率公式及贝叶斯公式(1)由全概率公式得，此人是色盲的概率为(2)由Bayes公式得，若知此人是色盲，则该人是男生的概率为

7、()()(|)()(|)115%0.25%2.625%.22BBP AP B P A BPP A51()(|)202100().()2.|625%21P B P A BP B AP A1.3.2 全概率公式及贝叶斯公式注：(1)全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.全概率公式是通过分析一个事件发生的各种不同的原因、情况或途径及其可能性求得该事件发生的概率.由因索果(2)贝叶斯公式主要用于计算条件概率，它实质上是条件概率和全概率公式的综合运用.贝叶斯公式是当观察到一个事件已经发生时，去求导致所观察到的事件发生的各种原因、情况的概率.与全概率公式恰好相反.由果索因1.3.2 全概率公式及贝叶斯公式本节小结3.贝叶斯公式1.划分的定义4.经典例子的概率计算2.全概率公式敲黑板 划重点对立事件是划分吗？全概率公式与条件概率关系。全概率公式和贝叶斯公式的区别和联系。谢谢，再见！