(3.3.1)--第10讲线性方程组的解的结构.pdf

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1、第第 10 讲讲 线性方程组的线性方程组的解解的结构的结构 1234(,4,)A m 是是设设矩矩阵阵(1)10.1题题.并并且且表表示示的的方方法法是是唯唯一一的的412335,123,为为的的线线性性组组合合123.,证证是是线线性性无无关关的的明明(2)123423,如如果果.AX 求求方方程程组组的的通通解解4 可可以以表表示示.用用反反证证法法1122330.k k k 解解(1)123.,证证是是线线性性无无关关的的明明假假设设123,线线性性相相关关的的是是那那么么存存在在不不全全为为零零的的常常数数使使得得123,kkk与与于于是是4123354112233(3)(1)(5)k

2、 k k 4123,.表表示示为为的的线线性性组组合合的的两两种种不不同同的的表表示示方方法法是是.这这与与题题目目的的条条件件相相矛矛盾盾,因因此此123.,线线性性无无关关的的是是,由由此此可可得得(2).AX 求求方方程程组组的的通通解解412335,因因为为1234,所所以以向向量量组组是是123,线线性性又又为为是是无无关关的的因因1234r()r,3.A 所所以以0AXAX方方程程组组的的导导出出方方程程组组的的基基础础.解解系系由由它它的的一一个个非非零零解解向向量量构构成成.是是线线性性相相关关的的因因为为412335,所所以以1234123431(,)350.51 12342

3、3T(3,1,5,1)0.AX 的的一一个个基基这这意意着着是是础础解解系系味味因因为为T(1,1,2,3).AX 的的一一所所是是个个特特解解以以123411(,),23 ,AX 是是的的通通解解 ,因因此此11233151cc .c其其中中 为为任任意意常常数数,AX 设设是是非非齐齐次次线线性性方方程程组组121.tccc证证明明10.2题题12,tAX 是是的的解解当当且且仅仅当当1 122ttc c c.AX 都都是是的的解解12tc c c 1 122()ttA c c c 12,.tAX 设设都都是是的的解解那那么么证证明明如如果果1122ttc Ac Ac A12().tccc

4、 1 122ttc c c,AX 是是的的解解,反反过过来来121.tccc121.tccc设设,因因此此,AX 因因为为是是非非齐齐次次方方程程组组0.所所以以因因为为.AX 是是的的解解1 122ttc c c 12tc c c 1 1221122()ttttA c c c c Ac Ac A12()tccc 所所以以,r()1,An,AXmn设设是是非非齐齐次次方方程程组组.A并并且且的的每每一一行行上上的的元元素素之之和和都都为为零零10.3题题12102,0tt AX 如如果果的的解解.AX 求求的的通通解解12,t 满满足足12,n An设设的的 个个列列构构成成的的向向量量依依次次为为120.n解解AAmnX的的系系数数矩矩因因方方程程组组阵阵为为满满足足0AXAX所所以以方方程程组组的的导导出出方方程程组组的的基基础础解解系系0.AX 是是由由一一个个非非零零解解向向量量构构成成的的的的那那么么r()1,An由由题题目目的的条条件件可可知知T(1,1,10)nAX 是是齐齐次次方方程程组组元元向向量量的的,因因此此.一一个个基基础础解解系系12102,0tt 并并且且所所以以121(2)12ttt102(1)0t t .AX 是是的的一一个个特特解解 11012,(1)01cct t .c其其中中 为为任任意意常常数数AX 方方程程组组的的通通解解为为,因因此此