线性系统理论课件 (61).pdf

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1、1从前面的分析可以看到，当一个传递函数阵给定以后，可以构造其实现?,?,?使得?这样的实现不是唯一的。有完全能控实现，但它不一定完全能观；有完全能观实现，但不一定完全能控。而且在实现的阶数上可能有很大差别。最小实现问题2一般总希望实现的阶数越小越好，其中阶数最小的实现称最小实现。那么最小实现阶数是多少呢？如何寻找这个最小实现？这是下面要解决的问题。（1）首先我们给出这样的命题，系统?A,B,C?为最小实现的充分必要条件是系统?A,B,C?完全能控、完全能观。证明：首先证明必要性：采用反证法。设系统?的一个最小实现为?,?,?，其阶数为?，但是不完全能控或不完全能观。再设其完全能控完全能观部分的

2、阶数为?,?。根据前面的分解定理已经证明，其完全能控能观的?阶子系统，其传递函数阵亦为?，但?。所以?,?,?就不是最小实现，与条件矛盾。故系统?,?,?必定是完全能控且完全能观的。3其次证明充分性：同样也采用反证法，设系统?,?,?是?的一个实现，完全能控且完全能观，但它不是最小实现。又设系统?A?,B?,C?也是?的一个实现，它的阶次为，且?,?。由于和都是?的一个实现，则脉冲响应矩阵相同：?4?对上式两边微分得：?余类推，得：?令?0,则得：?5亦可写成：因系统 完全能控能观，左边的矩阵秩为?，右边因矩阵?为?阶，所以它的秩不超过为?,?。一个矩阵不能有两个秩，所以系统?,?,?是?的实

3、现，且?这一假设不成立。系统?,?,?就为最小实现。这也说明最小实现的维数是唯一的。?6（2）其次，我们给出这样的结论，对所给定的传递函数阵，其两个最小实现之间必是代数等价的。就是说系统的最小实现不是唯一的，但它们之间是代数等价的。上述结论这里不作证明。（3）G(s)实现的非唯一性说明，仅从未知结构的输入与输出之间的特性，如G(s)出发，可以构造出无穷多个在外特性上与G(s)一致的假象结构，通常它们之间不存在代数等价关系。从而不能确定地描述出未知的结构，这就是所谓的结构不确定原理。这个原理突出地说明了用外特性描述系统结构的局限性，表明了状态空间描述的优越性。7从前面的分析可以看到，当一个传递函数矩阵G(s)给定以后，可以先构造一个满足能控性或能观性的实现，进而通过结构分解定理，求取能控且能观部分，从而得到最小实现。在复频域里，也可以通过对传递函数矩阵建立不可简约的矩阵分式描述（MFD)，进而导出最小实现。最小实现的构造