(6.8.1)--5.8正定二次型.pdf

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1、第5章-相似矩阵及二次型FifthChapter定理：设实二次型 f=xTAx的秩为 r,若有实可逆变换x=Cy及x=Pz使2221122(0)rrrfk yk yk yk,则k1,k2,kr中正数的个数12,r2221122(0)rrrfzzz,和标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，正数的个数相等（此定理称为惯性定理）.负系数的个数称为二次型的负惯性指数.与中VIII正定二次型定义:实二次型 f=xTAx 称为正定二次型，如果对任何 x 0,都有 xTAx 0.正定二次型的矩阵称为正定矩阵.定理:n 元实二次型 f=xTAx 为正定的充分必要条件是证设可逆变换 x=Cy 使21()(

2、)niiifxfC yk y它的标准形的n 个系数全为正，即它的规范形的n个系数全为1，亦即它的正惯性指数等于n.故21()()0niiifxf Cyk y再证必要性.用反证法.假设有 ks 0,则当 y=es（单位坐标向量）时，其中es 是第s个分量为1其余分量都为0的n维向量.先证充分性.10yCx,设 ki 0,i=1,2,n.任给 x 0,则()sfC e0sk,0sC e,这与 f 为正定相矛盾.因而ki0,i=1,2,n.显然推论:对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正.定理:对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是A 的各阶主子式11111121121221000.nnnnaaaaaAaaaa,奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即1111(1)0.(1,2,)rrrrraarnaa都为正.即此定理为赫尔维茨定理.对称矩阵A为负定的充分必要条件是例判断二次型解f 的矩阵为其中由定理知 f 为负定.22256444fxyzxyxz 522260204A1112112122525026080026aaaA.aa ,的正定性.谢谢，再见！