数值分析知识内容 (18).pdf

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1、2.5 牛顿迭代法 2.5.1 牛顿迭代法 牛顿迭代法(Newtons Method)是最著名的方程求根方法，已经通过各种方式把它推广到解其它更为困难的非线性问题，例如非线性方程组、非线性积分方程和非线性微分方程.虽然牛顿法对于给定的问题不一定总是最好的方法，但它的简单形式和快的收敛速度常常使得解非线性问题的人优先考虑它.不动点迭代一般理论告诉我们，构造好的迭代函数可使收敛速度提高.然而迭代函数的构造方法又各不相同、方法多样.牛顿法是受几何直观启发，给出构造迭代函数的一条重要途径.牛顿迭代法的原理：方程0)(xf的根*x，几何意义是曲线)(xfy 与x轴的交点.求曲线与x轴的交点没有普遍的公式

2、，但直线与x轴的交点容易计算.用直线（即切线）近似曲线)(xfy，从而用切线方程的根逐步代替0)(xf的根.即把非线性方程逐步线性化.线性化方法：设kx是0)(xf的一个近似根，把)(xf在kx处作一阶 Taylor 展开，得到)()()(kkkxxxfxfxf.设)(kxf 0，由0)()(kkkxxxfxf,求得的解记为1kx，则有牛顿迭代公式.)()(1kkkkxfxfxx.（2.21）牛顿法的几何意义：设kx为*x的一个近似值，过点)(,(kkxfx作曲线)(xfy 的切线，其切线方程为)()()(kkkxxxfxfxf，切线与x轴的交点记为1kx，则得到牛顿迭代公式)(/)(1kkk

3、kxfxfxx.因此，牛顿迭代法也称为切线法.图 2-5 牛顿法几何示意 牛顿法的收敛性：如果取)(/)()(xfxfxx，则有)(xx，从而牛顿迭代就是不动点迭代)(1kkxx,因此可以通过考察)(x的性质，来讨论迭代法的收敛性及收敛速度.【定理 7】若)(xf在单根*x附近存在连续的二阶导数，且初始值0 x充分接近*x，则牛顿迭代过程收敛，而且有 21)(2/)(xxxfxfxxkk.证明（1）对于)(xf，取)(/)()(xfxfxx，则牛顿迭代过程为)(1kkxx，注意到 2)(/)()()(xfxfxfx，322)(/)()(2)(/)()()()()(xfxfxfxfxfxfxfx

4、fx ，由于*x是0)(xf的单根，即)(xf=0,0)(xf，所以有 0)(/)()(,0)(xfxfxx.由定理 4 知，迭代过程是局部收敛的.且由定理 5 知，迭代过程在点x邻近是2阶收敛的.（2）将)(x在*x处作泰勒展开并代入kxx，有.*)*)(/*)(21*)(*)(!2*)(*)*)(*)()(22xxxfxfxxxxxxxxxkkkk 注意到)(1kkxx，)(*xx，得到 21)()(2/)(xxxfxfxxkk,因此有 21)(2/)(xxxfxfxxkk.【注】牛顿迭代过程在*x邻近具有平方收敛速度.牛顿迭代法的优点：快速收敛性，算法简单、容易实现.牛顿迭代法的缺点：因

5、为局部收敛性，所以初值0 x最好选在*x邻近，否则，可能不收敛.例 11 用牛顿法解方程01xxe在 0.5 附近的根，要求精确到510.解 牛顿迭代公式为 kxkkkxexxxk11.取初值5.00 x，迭代计算，得到 5671432.0,5671432.0,5671555.0,5710204.04321xxxx.显然，与例 7 相比，牛顿法的收敛速度快.牛顿法的 MATLAB 程序：Newton.m function xstar,index,it=Newton(fun2,x,ep,it_max)%求解非线性方程的牛顿迭代法，其中%fun2(x)为需要求根的函数，%fun2 的第一个分量是函

6、数值，%fun2 的第二个分量是导数值；%x 为初始点；%ep 为精度，缺省值为 1e-5,%当x(k)-x(k-1)=it_max,失败；%it为迭代次数.if nargin4 it_max=100;end if nargin3 ep=1e-5;end index=0;k=1;while k=it_max x1=x;f=feval(fun2,x);if abs(f(2)ep break;end x=x-f(1)/f(2);if abs(x-x1)=ep index=1;break;end k=k+1;end xstar=x;it=k;例11迭代函数的函数名为fun2.m function f=fun2(x)f=x-exp(-x),1+x;调用牛顿法函数 NewtonNewton.m 求方程的根 xstar,index,it=Newton(fun2,0.5,1exstar,index,it=Newton(fun2,0.5,1e-5)5)得到方程的根 xstarxstar=0.56710.5671，indexindex=1=1，it=4it=4 运行结果表明迭代成功，达到精度要求.迭代终止条件为：前后两次迭代结果之差是否满足精度，共迭代计算 4 次；对比例 7，利用不动点迭代计算了 18 次；显然牛顿法收敛快.