数值分析知识内容 (32).pdf

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1、6.3 复化求积公式 为了提高求积公式的精度，通常可把积分区间分成若干子区间，再在每个子区间上用低阶求积公式，这种方法称为复化求积方法(Composite Numerical Integration).复化求积方法的实质是利用分段低次插值多项式的积分，去逼近)(xf的积分.本节讨论复化梯形公式、复化辛普森公式和复化柯特斯公式.将,ba区间n等分，步长nabh，分点),1,0(nkkhaxk，则,ba等分为n个子区间，即10,nkkIba，子区间,1kkkxxI.6.3.1 复化梯形公式 在每个子区间)1,1,0(nkIk上利用梯形公式，则)()(2)(11kkIkkxfxfxxdxxfk)()

2、(21kkxfxfh，从而 10)()(nkIbakdxxfdxxfI101)()(2nkkkxfxfh )(2)()(211nkkxfbfafh.记nT为复化梯形公式(Composite Trapzoidal Rule)(2)()(2)()(211101nkknkkknxfbfafhxfxfhT.（7.12）6.3.2 复化辛普森公式 在)1,1,0(nkIk上利用辛普森公式，则)()(4)(6)(121kkkIxfxfxfhdxxfk，其中，2121kkkxxx是区间kI的中点.从而 10)()(nkIbakdxxfdxxfI10121)()(4)(6nkkkkxfxfxfh )(4)(2

3、)()(6102111nkknkkxfxfbfafh.记nS为复化辛普森公式(Composite Simpsons Rule)(4)(2)()(6102111nkknkknxfxfbfafhS.（7.13）6.3.3 复化柯特斯公式 在)1,1,0(,1nkxxIkkk上取4n的柯特斯公式，则 hxfxfxfxfxfdxxfkkkkkIk)(152)()(4516)()(907)(2143411 )(12)()(32)()(7902143411kkkkkxfxfxfxfxfh，其中，43,4,2,43411211hxxhxxxxxxxhkkkkkkkkk.因此 10)()(nkIbakdxxf

4、dxxfI 102143411)(12)()(32)()(790nkkkkkkxfxfxfxfxfh 111021104341)(14)(12)()(32)()(790nkknkknkkkxfxfxfxfbfafh.记nC为复化柯特斯公式 1021104341)(12)()(32)()(790nkknkkknxfxfxfbfafhC 11)(14nkkxf.（7.14）6.3.4 复化求积公式的截断误差 设badxxfI)(，则复化梯形公式的截断误差 1023)(12)(12nkknfhabfhTI，（7.15）其中,1kkkxxba.证明 因为在kI上梯形公式的截断误差为,),(1213 k

5、kkkxxfh，所以 103)(12nkknfhTI.)(xf 在,ba上连续，由连续函数性质知，在,ba中存在点，使)()(110ffnnkk ，因此 103)(12nkknfhTI 102)(1)(12nkkfnabh)(122fhab.证毕.类似于复化梯形公式截断误差的推导，可得复化辛普森公式的截断误差 10)4(4)()2(180nkknfhhSI,),()2(180)4(4bafhab.（7.16）复化柯特斯公式的截断误差,),()4(945)(2)6(6bafhabCIn.（7.17）【注】复化梯形公式、复化辛普森公式和复化柯特斯公式都是有效的求积计算公式.（1）收敛性.由截断误差

6、公式（7.15）、（7.16）、（7.17）可知，复化梯形公式、复化辛普森公式和复化柯特斯公式的误差阶分别为2h、4h、6h，收敛性都是显然的.实际上，只要,)(baCxf，则可得到收敛性，即 dxxfTbann)(lim，dxxfSbann)(lim，dxxfCbann)(lim.（2）稳定性.由于nT、nS和nC的求积系数均为正数，所以由定理 2 可知复化梯形公式、复化辛普森公式和复化柯特斯公式均是稳定的求积公式.例 2 计算积分10214dxx.解 1）将积分区间0，1八等分，分点及分点处的函数值见表 7-3，用复化梯形公式计算，得)87()43()85()21()83()41()81(

7、2)1()0(1618fffffffffT 138988.3.表 7-3 例 2 数据 x 0 1/8 1/4 3/8 1/2)(xf 4.00000000 3.93846154 3.76470588 3.50684932 3.20000000 x 5/8 3/8 7/8 1)(xf 2.87640449 2.56000000 2.26548673 2.00000000 2）将积分区间0，1四等分，用复化辛普森公式计算，得)85()83()81(4)43()21()41(2)1()0(6414ffffffffS 141593.3)87(f.两种复化方法都用到表 7-3 中九个点上的函数值，它们

8、的计算工作量基本上相同，但所得结果与积分真值14159265.3相比较，复化辛普森所得近似值4S远比复化梯形所得近似值8T要精确.因此，在实际计算时，较多地应用复化辛普森公式.例 3 分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算0sin xdx，使误差不超过5102，问各取多少个节点？解 由复化梯形公式的截断误差，有 5022102sin12)(12max xnfhabTIxn，所以，5321024n，360n，因此，复化梯形公式至少应取 361 个节点.由复化辛普森公式的截断误差，有 502)4(4102sin280)(180maxxnfhabSIxn，所以，554105760n，9n，因此，复化

9、辛普森公式至少应取 10 个节点.6.3.5 计算机算法 1、复化梯形公式：通过)(xf的1n个等步长采样点：nkkhaxk,1,0,，其中bxaxn,0，算法公式为：11)()()(2)(nkkbaxfhbfafhdxxf.复化梯形公式的MATLAB程序：Trap_rule.m function s=Trap_rule(f,a,b,n)%求积分的复化梯形算法，其中，%f 为被积函数；%a 和 b 为积分区间的下限、上限；%n 为复化区间个数；%输出项 s 为复化梯形公式计算值.h=(b-a)/n;s=0;for k=1:(n-1)x=a+h*k;s=s+feval(f,x);end s=h*

10、(feval(f,a)+feval(f,b)/2+h*s;例 4 计算积分10dxex.利用符号积分计算：exact=int(exp(x),0,1);exact=vpa(exact,10)得到符号积分为 exact=exp(1)-1，十位有效数字的近似值为 exact=1.718281828.利用复化梯形求积函数 Trap_rule 计算，首先编写被积函数 f(x)f=inline(exp(x);将积分区间 5 等分，利用函数 trap_rule a=0;b=1;n=5;s=Trap_rule(f,a,b,n);s=vpa(s,10)计算得 s=1.724005620.将积分区间 50 等分，

11、a=0;b=1;n=50;s=Trap_rule(f,a,b,n);s=vpa(s,10)计算得 s=1.718339104.2、复化辛普森公式：通过)(xf的12 n个等步长采样点：nkkhaxk2,1,0,，其中bxaxn20,，逼近积分的数值公式为：nkknkkbaxfhxfhbfafhdxxf112112)(34)(32)()(3)(.复化辛普森公式的MATLAB程序：Simp_rule.m function s=Simp_rule(f,a,b,n)%求积分的复化辛普森算法，其中，%f 为被积函数；%a 和 b 为积分区间的下限、上限；%n 为复化区间个数；%输出项 s 为复化辛普森公

12、式计算值.h=(b-a)/(2*n);s1=0;s2=0;for k=1:n x=a+h*(2*k-1);s1=s1+feval(f,x);end for k=1:(n-1)x=a+h*2*k;s2=s2+feval(f,x);end s=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s1+2*s2)/3;对于例 4，利用复化辛普森求积函数 Simp_rule 计算，首先编写被积函数 f(x)f=inline(exp(x);将积分区间 1 等分，利用函数 Simp_rule a=0;b=1;n=1;s=Simp_rule(f,a,b,n);s=vpa(s,10)计算得 s=1.718861152.将积分区间 5 等分，a=0;b=1;n=5;s=Simp_rule(f,a,b,n);s=vpa(s,10)计算得 s=1.718282782.显然，复化辛普森公式比复化梯形公式精度高.