复变函数复变函数复变函数 (15).pdf

《复变函数复变函数复变函数 (15).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数复变函数复变函数 (15).pdf（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、57收稿日期：2018-09-11作者简介：王根，男，湖北应城人，浙江师范大学数学与计算机科学学院硕士研究生，主要从事复分析研究。K-结构变换下的非线性Cauchy-Riemann方程摘要：引入了复域上关于复函数的 K-结构变换，讨论了 K-结构变换下的非线性 Cauchy-Riemann 方程,得到了关于 Cauchy-Riemann 方程的推广均为 K-结构变换的不同形式的结论,特别是各推广方程的系数只与K 结构函数的分量及其一阶偏导数有关。关键词：非线性 Cauchy-Riemann 方程；K-结构变换；K-结构函数中图分类号：O177.91 文献标志码：A 文章编号：1674-9200

2、（2019）03-0057-04On the Nonlinear Cauchy-Riemann Equation of K-Structural TransformationWANG Gen(School of Mathematics and Computer Science,ZheJiang Normal University,JinHua ZheJiang 321004,China)Abstract:The K-structural transformation of complex functions in complex domain is introduced.The nonline

3、ar Cauchy-Riemann equation under K-structure transformation is discussed.It is concluded that the generalization of Cauchy-Riemann equation is in different forms of K-structure transformation.Especially,the coefficients of the generalized equations are only related to the components of K-structure f

4、unctions and their first-order partial derivatives.Key words:nonlinear Cauchy-Riemann equation;K-structure transformation;K-structural function复分析中的 Cauchy-Riemann 偏微分方程组提供了复可微函数在开集中满足全纯函数的充要条件1-2，全纯函数是复理论研究的核心之一。因此,围绕着 Cauchy-Riemann 方程很多学者都有过讨论与研究，T Parlakgrr,OK Pashaev3,I.N.Vekua,T.Carleman,Picar

5、d I,Tutschke W,J.D.Gray,S.A.Morris,Looman,H,Menchoff,D,L.Bers,G.T Makatsaria,Z.D.Usmanov,H.Najmiddinov,R.Ahmedov,A.Tungatarov,G Giorgadze,V Jikia,A Gelbart,Friedman,Avner,H Begehr,DaiD Q,Reissig M,A.Timofeev,等人均是研究广义解析函数或者Carleman-Bers-Vekua（CBV）方程的著名学者4-12。Picard6在更一般广义的一阶微分方程椭圆系统的基础上提出了相似理论建立的方法，1

6、1ux+12uy+11vx+12vy+1u+b1v=0，21ux+22uy+21vx+22vy+2u+b2v=0 （1）在关于系数的一般假设下,系统（1）等价于系统ux+uy+u+bv=0,uy+vx +cu+dv=0 （2）这是 Hilbert 首次研究的。Carleman7得到了系统（2）解的唯一性质它们的唯一性。系统（2）有如下形式 wz-+Aw+Bw-=0 （3）其中 A=14(a+d+ic-ib)，B=14(a-d+ic+ib)，方程（3）被称为 Carleman-Bers-Vekua 方程，其解称为广义解析函数，他们的理论是两个分析部分之间的交点，复变解析函数理论和两个独立变量的椭

7、第 32 卷文山学院学报2019年 第 3 期58圆型微分方程理论。这一理论是在 Vekua 的专著出现之后作为独立的分析部分发展而来的，其中作者和他的学生以及追随者（B.Bojarski,V.Vinogradov,Danilyuk 等人）的一些结果被提出3,5-12。这篇文章从函数变换的角度对复函数 w(z)做了一般的结构变换w(z)w(z)=w(z)K(z)来讨论（1）或（2）式中各项系数之间的联系，其中 K(z)=k1+ik2为结构函数且只与复数域 C 有关，讨论了复函数 w=wK 的可微和解析性，并结合 Carleman-Bers-Vekua 方程进行了相关讨论。C 为复数域，R 为实

8、数域。1记号与相关定理设C是复数域,在复分析中引进Wirtinger记号2-4z=12 x-iy ,z-=12 x+iy （4）对于可微函数 w=w(z,z-),则有微分式 dw=w+-w,其中的算子为 =dzz,-=z-z-,因此得到 d=+-。定理 14 设 w U C 是定义在域 U 上的函数，z0U，那么 w 在 z0U 处可微的充要条件为 w 在 z0U 处实可微且wz-(z0)=0，在可微的情况下，w(z0)=wz(z0)。由此可见，全纯函数是以条件 wz-=0 为其特征的。因此，我们不妨说，一个全纯函数与 z-无关，而是 z 的函数。定理 22 在点 zC 为 R 可微的函数 w

9、=u+iv,在此点为 C 可微的充要条件是它满足 Cauchy-Riemann 条件 -w=0。（5）方程-w=0（即 wz-=0）也称为齐次 Cauchy-Riemann 方程，显然-方程-w=0 的一次连续可微解一定是全纯函数。（5）等价于 2 个实方程的方程组 ux=vy,uy=-vx 。（6）式中 u,v 为实函数,本文总是假定 u,v 实可微。定理 33 若实函数 u(x,y)和 v(x,y)满足非线性CR 方程组 uy=-vx+F(u,v),ux=vy+G(u,v)，式中 G(u,v)和 F(u,v)均为 Cauchy-Riemann 方程的解 Fu=Gv,Fv=-Gu,则 u(x

10、,y)和 v(x,y)满足非线性 Laplace 方程组u=12 u(F 2+G 2),v=12 v(F 2+G 2)（7）Cauchy-Riemann 方程组是线性方程,它们只能解决线性 Laplace 方程，文献 3 推广了 CR 方程组用于解决非线性 Laplace 方程组。2主要结果定义 1 设 C 是一个开集，复函数 w(z)=u+iv 以及结构函数 K(z)=k1+ik2都是定义在 上的复函数，则 K-变换使得 w(z)w(z)=w(z)K(z)（8）式中 k1,k2均为变量 x,y 的实变函数，因此分量表达式为 =k1u-k2v,=k1v+k2u （9）这里需要说明的是结构函数

11、K(z)0 的任意性，一般情况下，为了突出经典复变函数的地位，我们可以取结构函数为 K(z)=1+(z)，式中(z)为任意结构复函数，因此，我们根据 K-变换（8）来讨论复变函数 w 的一般广义可微性，由于结构函数 K 的任意性，因此，通过这种变换可以得到任何可能的对传统线性 Cauchy-Riemann 方程的推广情况，用矩阵表示 K-变换（8）即为=S uv,S=k1 -k2k2 k1其中 S 为结构矩阵，一般情况下，我们取 k1=1+，则有S=1+-k2k2 1+=I+-k2k2 =I+S。其中结构矩阵为 S=-k2k2 ，I 为二阶单位矩阵，且(z)=+ik2。此时 K-变换（8）写为

12、 =uv+S uv。若 k2=0,则结构矩阵变为对角数量矩阵 S=I+I=I(1+)。实际上，由于结构函数 K 可以根据需要任意选取，所以极大地扩大了我们的研究规模，而且结构函数决定了任何可能对 Cauchy-Riemann 方程推广的合理形式。以下讨论复变函数的 K 结构导数与 K-结构微分。定义 2 设函数 w(z)在点 z0的邻域内或包含 z0的区域 内有定义,极限为函数 w(z)在点 z0的导数，59王根：K-结构变换下的非线性Cauchy-Riemann方程即DwDz(z0)=lim zz0 w(z)-w(z0)z-z0 =K(z0)w(z0)+w(z0)K(z0)。（10）这时称函

13、数 w(z)在 z0点 K-结构可微。若 w(z)在区域 中每点都 K-结构可微，就称 w 是 中的 K-结构全纯函数，或 K-结构解析函数。事实上，根据以上定义，由点 z0的任意性，得到 K-结构导数的表达式为DwDz=w(z)=K(z)w(z)+w(z)K(z)。以上揭示了 K-结构函数的不可或缺性，它的重要性对于拓展一般的复导数意义重大，同时，我们可以抽象出 K-结构导数算子及它的共轭算符如下列推论。推论 1 C 上的广义结构 Wirtinger 导数算子为DwDz=K(z)z+zK(z),DwDz-=K(z)z-+z-K(z)。显然，它是 Wirtinger 导数算子（4）的自然延拓，

14、称为广义结构 Wirtinger 导数算子。运用整体性的表示法，也就是 DwDz=z-w(z)=z-(K(z)w(z)。下面，我们来讨论 K-结构微分（10）的分量表达式，即广义（9）的方程组表达式。通过计算可以容易得到表达式 k1(uy+vx)+k2(ux-vy)+u(k1y+k2x)+v(k1x-k2y)=0，k1(ux+vy)-k2(uy+vx)+u(k1x+k2y)-v(k1y-k2x)=0。（11）将系统（1）与系统（11）进行对比，易得系数的对应关系12=21=11=-22=k1，12=21=22=-11=-k2，1=-b2=k1y+k2x,b1=a2=k1x-k2y。显然地，所有

15、系数都只与结构函数 K 的分量k1，k2及其一阶偏导数有关,也就是只与结构函数有关，这样一来，我们就极大地简化了系统（1），而只需研究系统（11）或者以下的 K-结构全纯条件就行。因此 Picard 研究的系统（1）可以统一用关于结构函数 K 的形式表示,也就是只要知道了结构函数K 的具体表达形式，则系统（1）就可以被唯一确定,通过在复数域 C 上加上额外的附加条件,则可以简化得到如 Carleman-Bers-Vekua 方程的系统。若将 Carleman-Bers-Vekua 方程系统（2）与系统（11）对比易得系数的对应关系为k2=0,a=d=k1xk1,c=-b=k1yk1,k1 0。

16、此时 K=k1,与定理 3 相比较易得此时F(u,v)=-k1y+k2xk1 u-k1x-k2yk1 v,G(u,v)=k1y+k2xk1v-k1x-k2yk1 u。或者同样地表述为 k1=0，a=d=k2xk2，c=-b=k2yk2，k2 0，此时 K=ik2，且有F(u,v)=k1x-k2yk2 u-k1y+k2xk2 v,G(u,v)=-k1y+k2xk2u-k1x-k2yk2 v。分量 k1，k2的取值也就意味着结构函数 K 由复变函数形式变为实函数形式 K=k1或者纯复函数形K=ik2。Carleman-Bers-Vekua 方程系统（2）可以由这两种形式构成，且系数 a，b，c，d

17、 只与结构函数 K 的分量的一阶偏导数 k1y，k2y，k1x，k2x的四则运算所唯一确定。利用推论 1 的广义结构 Wirtinger 导数，（11）可以用更加简洁的形式表示 DwDz-=Kwz-+wz-K=0。因此得到如下的定理。定理 4 设 C 是开集，复函数 w(z)=u+iv 是 上的 K-结构全纯当且仅当 DwDz-=0 （12）成立，对于 z C。若 w 在整个复数域 C 都 K-结构全纯，则 w 就称为 K-结构整函数。它的解 w称为广义结构解析函数。证明：由推论 1 的广义结构 Wirtinger 导数，（12）很显然可以自然地推导出分量表达式系统（11）。注意到 K-结构全

18、纯条件是一个等式形式 K(z)wz-=-wz-K(z)。记所有的 K-结构全纯函数的集合为 SHol。z-K(z)=12(k1x-k2y+i(k2x+k1y)，式中 k1x=k1x，k2y=k2y。若 w=K，则有 KKz-=0，第 32 卷文山学院学报2019年 第 3 期60用分量可以表示为方程组 k1 (k1x-k2y)-k2(k2x+k1y)=0，k1 (k2x+k1y)+k2(k1x-k2y)=0。事实上，由于 KKz-=|K|Kz-=0，且|K|0，则必有 Kz-=0，因此得到 Kz-=0，它等价为 k1x-k2y=0，k2x+k1y=0，同理易得 wz-=0，即 ux-vy=0，

19、vx+uy=0。事实上，定理 4 的 K-结构全纯条件可以表示得更紧凑简单的形式如下。推论 2 在复数域 C 上定义的复函数 w(z)SHol，若它满足以下条件：D-w=K-w+w-K=0，式中 D-=K-+-K，以及 K(z)是与复数域 C 有关的结构函数。例 1：设 K=z，此时 K-结构全纯条件为 zwz-=0。例 2：设 K=1+z-，此时 K-结构全纯条件为wz-+z-wz-+w=0。3总结事实上，K-结构全纯条件定理 4 可以从单复数域 C 自然地推广到多复数变量上 Cn，因此我们可以得到结论如下：1.K=1，Cauchy-Riemann 方程，Cn上的解析条件为wzi=0，(i=

20、1,n)也就是，1-结构全纯条件。2.K=1+，非线性结构 Cauchy-Riemann 方程，Cn上的广义解析条件为wzi+wzi+wzi=0，(i=1,n)也就是，K 结构全纯条件。若|z=z0=0，-结构全纯条件为 wzi+wzi=0，(i=1,n)。3.K=K1+iK2，Cn上的非线性 K-结构 Cauchy-Riemann方程为Kwzi+wKzi=0，(i=1,n)，也就是，K-结构全纯。在单复变 C 中，n=1 且方程形式保持不变。由此可见，K-结构变换具有统一性，能从数学的角度合理地推出其它可能对线性 Cauchy-Riemann 方程的推广形式。参考文献：1 拉夫连季耶夫，沙巴

21、特.施祥林，等译.复变函数论方法（第 6 版）M.北京：高等教育出版社，2006：255-266.2 俄 沙巴特.胥鸣伟，欧阳彦虹.译.复分析导论（第 2卷）M.北京：高等教育出版社，2008：5-25.3 T Parlakgrr,OK Pashaev.Nonlinear Cauchy-Riemann Equations and Liouville Equation For Conformal MetricsJ.arXiv:1706.10201.2017:3-20.4 史济怀，刘太顺.复变函数 M.合肥：中国科技大学出版社，1998：35-39.5 I.N.Vekua.Generalized

22、analytic functionsM.2nd ed.（Russian）Nauka,Moscow,1988;English transl.:Pergamon Press,London-Paris-Frankfurt;Addison-Wesley Publishing Co.,Inc.,Reading,Mass.1962.6 PICARD I,Sur un systeme dquations E.aux drives partieIIesJ.CR Acad.Sci,Paris,1891,112:685-689.7 T.Carleman.Sur les systmes Lineares aux d

23、rives partielles du premier ordre deux variablesJ.CR,Acad,Sci,Paris,1933,197:471-474.8 Begehr H,Dai D Q.On continuous solutions of a generalized Cauchy-Riemann system with more than one singularityJ.Journal of differential equations,2004（1）:67-90.9 Z.D.Usmanov.Generalized Cauchy-Riemann Systems with

24、 a Singular PointJ.Complex Variables Theory and Application An International Journal,1997（1-2）:41-52.10L.Bers.Theory of pseudo-analytic functionsJ.Annual Review of Pharmacology and Toxicology,1953,（1）:27-28.11D.Q.Dai.Piecewise continuous solutions of nonlinear elliptic equations in the planeJ.Acta Math.Sci.Ser.B,1994（4）:383-392.12I.N.Vekua.On the class of the elliptic systems with singularitiesJ.Proc.of the International Conference on Functional Anakis and Related Topics,Tokyo,April 1969:142-147.