(2.7.2)--2.2.3初等函数（三）.pdf

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1、教学目的：教学目的：掌握乘幂运算的定义；掌握幂函数的性质.知识梳理：知识梳理：一、乘幂的定义 设a是不为 0 的复数，b是任一复数，那么乘幂ba定义为Lnebbaa.注：因为Lnln|iArgaaa是多值的，故一般也是多值的.讨论b的三种情形：1.b为整数，lni(arg2)Lneebaakbbaa(lniarg)2ilneebaakbba，此时ba是单值的.2.b为有理数pq(p与q为互质的整数，0q)，lni(arg2)eppaakqqalnecos(arg2)isin(arg2)paqppakakqq，当0,1,2,1kq时，得到ba的q个不同的值.3.b为无理数或虚部不为零的复数时，b

2、a有无穷多个值.特别的，当b为正整数n和分数1n时，与a的n次幂及a的n次方根（参见第 1 章）的意义完全一致.这是因为 1.当b为正整数n时，LnLnLnLnLnLnLneeeeennnaaaaaaannaaa aa 项和项乘积个 相乘.2.当b为分数1n时，11lni(arg2)eaaknna1lnarg2 arg2 e(cosisin)anakaknn=1arg2 arg2(cosisin)nakakann，其中0,1,2,1kn.二、幂函数的定义 在乘幂ba中取az为复变量，得到一般的幂函数bwz，其中0z，b为任意复数.三、幂函数的性质 1.当bn时，nwz在复平面内是单值解析函数，

3、且1()nnznz.2.当1bn时，1nwz为多值函数，具有n个分支.它的各个分支在除去原点和负实轴的平面内是解析的，且有 11111LnLn111 11()(e)e(Ln)zznnnnnzzzznn zn.3.当b为无理数或虚部不为零的复数时，有无穷多值.它的各个分支在除去原点和负实轴的平面内也是解析的，且有 LnLn11()(e)e(Ln)bbzbzbbzbzzbbzz.例题讲解：例题讲解：例例 1 计算下列乘幂的值与主值.(1)21；(2)ii；(3)1 ie.解解 (1)22Ln12(ln1 2 i)1eekcos2 2 isin2 2 kk，（0,1,2,k ）.当0k 时，其主值为

4、 1.(2)ilni(2)i)(2)iiLni22ieeekk，（0,1,2,k ）.当0k 时，其主值为2e.(3)1 i(1 i)Lne(1 i)(lne 2 i)eeek 2(1 i)(1 2 i)1 2 i(2 )eekkk 21 2 ecos(2)isin(2)kkk （,2,1,0k）.当0k 时，其主值为ecos()isin()e.重难点注记：重难点注记：重点：乘幂的定义.难点：幂函数的性质.知识点总结：知识点总结：1.eb作为指数函数的值与作为乘幂运算的结果是不一样的，前者是单值，后者是多值.2.nwz在复平面内是单值解析函数,且1()nnznz.3.1nwz是多值函数，具有n个分支.它的各个分支在除去原点和负实轴的平面内是解析的，且有 11111LnLn111 11()(e)e(Ln)zznnnnnzzzznn zn.4.bwz有无穷多值，它的各个分支在除去原点和负实轴的平面内是解析的，且有 LnLn11()(e)e(Ln)bbzbzbbzbzzbbzz.其中b为无理数或虚部不为零的复数.