(2.2.1)--2.2平面的方程（直角坐标系）.pdf

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1、平面平面 可由可由 上上任意一点任意一点和和垂直垂直于于 的任一向量的任一向量完全确定完全确定.垂直于垂直于 的任一向量称为的任一向量称为 的的法向量法向量设设),(CBAn ),(0000zyxM为平面为平面 上的任一点上的任一点),(zyxMnMM 000 nMM xyzo0MMn.),(0000zzyyxxMM 000()()()0A xxB yyC zz点点法法式式方方程程（仿射坐标系）（仿射坐标系）12 12 平面平面的方程（直角坐标系）的方程（直角坐标系）若记若记则上述方程变为则上述方程变为000(),DAxByCz 0.AxByCzD在在直角坐标系下，平面的一般式方程中直角坐标系

2、下，平面的一般式方程中一次项系数一次项系数 A,B,C 有简明有简明的几何意义，它们的几何意义，它们是平面的一个法向量的坐标是平面的一个法向量的坐标.000()()()0A xxB yyC zz点点法式方程（法式方程（直角坐标系直角坐标系）注：注：例例 直角坐标系下，直角坐标系下，设平面过原点及点设平面过原点及点 P)2,3,6(，且与平面且与平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.设平面为设平面为,0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知,0 D由平面过点由平面过点)2,3,6(知知0236 CBA),2,1,4(n024 CBA,32CBA .0322 zyx所求平面

3、方程为所求平面方程为解解例例 直角坐标系下，已知两点直角坐标系下，已知两点 M1(1,-2,3)与与 M2(3,0,-1)，求线段求线段 M1M2 的垂直平分面的的垂直平分面的方程方程.解解故，取平面故，取平面的一个法向量为的一个法向量为(1,1,2).n 所求平面通过所求平面通过 M1M2 的中点的中点 M0(2,-1,1)，(2)(1)2(1)0 xyz化简整理得所求平面的方程为化简整理得所求平面的方程为210 xyz 向量向量12(2,2,4)M M 垂直于平面，垂直于平面，因此，平面因此，平面的点法式方程为的点法式方程为例例 (直角坐标系下直角坐标系下)，求过三点求过三点)4,1,2(

4、A、)2,3,1(B和和)3,2,0(C的平面方程的平面方程.解解(3,4,6)AB (2,3,1)AC (14,9,1),所求平面方程为所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得.015914 zyx取取ACABn 346231ijk 例例 直角坐标系下直角坐标系下，求过点求过点)1,1,1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.),1,1,1(1 n)12,2,3(2 n取法向量取法向量21nnn ),5,15,10(1223111 kji,0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得.0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解平面的方程平面的方程向量式参数方程向量式参数方程坐标式参数方程坐标式参数方程点位式方程点位式方程 小小结结点法式方程点法式方程一般式方程一般式方程截距式方程截距式方程三点式方程三点式方程仿仿射射坐坐标标系系直角坐标系直角坐标系