微积分微积分微积分 (8).pdf

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1、银行复利的计算银行复利的计算 一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存 100 元，银行的年利率为 4%，且可以任意分段按复利计算，试问此人在 5 年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？解 按月存款和计算时，每月的利息为30011004121，记kx为第k月末时的养老金数，则由题意得 1001x 300111001002x 233001110030011100100 x 13001110030011100100nnx 5 年末养老金为 1)30011(30000300111300111100606060 x（元）当复利和存款按日计算时，

2、记ky为第k天的养老金数，则每天的存款额为3651200a，每天的利率为365004r。第1k天的养老金数量与第k天养老金数量的关系为 365004136512001kkyy 从第 1 天开始递推为 36512001y 3650041365120036512002y 2336500413651200365004136512003651200y 136500413651200365004136512003651200nny 在 5 年末时的养老金数为 136500413000036500411365004113651200182518251825y（元）当存款和复利连续计算时，我们先将 1 年分

3、为m个相等的时间区间，则每个时间区间中存款为m1200，每个区间的利息为m1004。记第k个区间养老金的数目为kz，类似于前面的分析得 5 年后的养老金为 110041300001004111004111200555mmmmmmmz（元）（1）再让m即得连续存款和计息时 5 年后的养老金数为 13000011004130000lim515emzmm（元）观察这三种不同情况下复利的计算问题，我们可以看出将 1 年分为m等份得出的计算公式（1）具有一般性，当m分别取 12 和 365 时就是前面两种情况下的计算公式。另外，由于mm52511是m的单调增函数，所以计息间隔越小，5年后的养老金数就越多

4、，但不会超过连续存款和计息时的极限值。在这三种情况下的具体计算结果分别是 08.6642,68.6641,9.6629182560zyx 由于存款和计息的间隔越小时，收益越大，且不需要一次到银行存入较多现金，而是分批逐渐存入，对投资者的资金周转有利。所以在银行按复利计息时，我们建议存款者尽量采用小间隔的策略。椅子能在不平的地面上放稳吗？椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设：1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。2

5、、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。3、对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。模型建立 中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置。其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为 0 时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。由于正方形的中心对称性，只要设

6、两个距离函数就行了，记 A、C 两脚与地面距离之和为 f，B、D 两脚与地面距离之和为 g，显然 f、0g，由假设2 知f、g 都是连续函数，再由假设 3知 f、g至少有一个为 0。当0时，不妨设 0,0fg，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题 已知 f、g是的连续函数，对任意，f*g=0，且 00,00fg，则存在0，使000fg。模型求解 将 椅 子 旋转090，对 角线 AC 和 BD 互 换，由 00,00fg可 知02,02fg。令 fgh，则 02,00hh，由 f、g 的连续性知 h 也是连续函数，由零点定理，必存在2000使00h，00fg，由0*00fg，所以000fg。评 注 模型巧妙在于用已元变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转090并不是本质的，同学们可以 B C A x D 考虑四脚呈长方形的情形。