(2.6.1)--1.6行列式按行列展开.pdf

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1、第1章-行列式FirstChapter行列式按行(列)展开VI如111213212223313233aaaaaaaaa中元素a23的余子式为1112233132aaMaa 元素a23的代数余子式为2 32323231()AMM Aij=(1)i+jMij，称 Aij为元素aij的代数余子式.剩下的n1 阶行列式称为aij的余子式，记为 Mij；令定义：在 n 阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，引理：一个 n 阶行列式中，如果第i 行所有元素除aij外均为0，11221 2(,)iiiiininDa Aa Aa Ain 或11221 2(,)jjjjnjnjDa Aa Aa A

2、jn 证111211212000000niiinnnnnaaaaaaDaaa.ijijDa A 则有定理：行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa由引理可得11221 2(,)iiiiininDa Aa Aa Ain 类似可得11221 2(,)jjjjnjnjDa AaAa Ajn 注：此定理称为行列式按行(列)展开法则，利用此法则和行列式性质相结合，可将高阶行列式化为低阶行列式，从而简化行列式的计算.推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即11220()ijijinjna Aa Aa Aij 或11220()ijijninja Aa Aa Aij 证 由行列式展开法则，按第j行展开有1111112211 niinjjjjjnjnjjnnnnaaaaDaAaAaAaaaa将行列式 D 中元素ajk换为aik(k=1,2,n)，有因此，有11220ijijinjna Aa Aa Aij().同理，有11220ijijninja Aa Aa Aij().1111112211niinijijinjniinnnnaaaaa AaAaAaaaa 第i行第j行谢谢，再见！