(3.5.2)--3.2.3原函数与不定积分.pdf

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1、教学目的：教学目的：掌握原函数与不定积分的概念，掌握复积分的牛顿-莱布尼茨公式.知识梳理：知识梳理：一、原函数与不定积分的概念 1.两个主要定理及积分上限函数 定理 1 如果函数()f z在单连通区域D内处处解析，0z与1z为D内任意两点，1C与2C为D内连结0z与1z的任意两条曲线，则 12()d()dCCf zzf zz.注：定理表明，当函数()f z为单连通区域D内的解析函数时，积分与路径无关，而仅与积分路径的起点0z和终点1z有关.此时积分可以记作：1012()d()d()dzzCCf zzf zzf zz.积分上限函数：0()()dzzF zf.定理 2 如果函数()f z是单连通区

2、域D内的解析函数，则变上限的积分所确定的函数()F z也是D内的解析函数，且()F z()f z.2.原函数的概念 设单连通区域D内，函数()F z满足条件()F z()f z，则称()F z是()f z的原函数.注：(1)()f z的任何两个原函数相差一个常数.(2)若()f z在区域D内存在一个原函数，则存在无穷多个原函数.3.不定积分的概念()f z的原函数的一般表达式()F zc（c为任意常数）称为()f z的不定积分，记作()df zz=()F zc.二、复积分的牛顿-莱布尼茨公式 定理 如果函数()f z是单连通区域D内的解析函数，()G z是()f z的一个原函数，则 1010(

3、)d()()zzf zzG zG z,其中0z与1z为D内两点.注：(1)定理提出了用原函数来计算复积分的简便方法.(2)利用原函数计算复积分时，有与高等数学类似的分部积分法和换元积分法.例题讲解：例题讲解：例例 1 求积分i0cos dzzz的值.解解 函数coszz在复平面内解析.所以 iiii0000cos ddsinsinsin dzzzzzzzzzii00sincosisini cosi 1zzz 1e12eei2eei111.例例 2 试沿着区域Im()0z，Re()0z 内的圆弧|1z，计算积分i1ln(1)d1zzz的值.解解 函数ln(1)1zz在所给区域内解析.所以 iii

4、2111ln(1)1dln(1)dln(1)ln(1)12zzzzzz=2lni)42ln21(212ln)1(iln212222 i82ln2ln833222.重难点注记：重难点注记：重点：开曲线上复积分与路径无关的条件和复积分的牛顿-莱布尼茨公式.知识点总结：知识点总结：1.单连通区域内的解析函数在区域内连接任意两点的曲线路径上的积分相等.2.单连通区域内的解析函数()f z所构成的积分上限函数0()()dzzF zf也是区域内的解析函数，且()F z()f z.3.计算复变函数沿着开曲线的积分方法(1)复积分的牛顿-莱布尼茨公式 1010()d()()zzf zzG zG z，()f z是单连通区域内的解析函数，0z与1z为区域内两点，()G z是()f z的一个原函数.(2)参数方程法 第一步：写出曲线C的参数方程()zz t及参变量 t 的取值范围,如t.注意曲线C的正方向与参变量t增加的方向一致.且当t 时，()0z t.第二步：将曲线C的参数方程()zz t代入复积分中，被积表达式化为()d()()df zzf z t z tt，则 ()d()()dCf zzf z t z tt.