(5.4.1)--4.4向量组的线性相关性.pdf

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1、第4章-向量组的线性相关性FourthChapterIV向量组的线性相关性12,mk kk零的数,使1 1220mmk ak ak a则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关.定义:给定向量组，如果存在不全为12:,mA a aa注：说向量组线性相关,通常是指的情形,12,ma aa2m但该定义也适用于的情形.1m 当时,线性相关;当时是线性无关的.这是因为:0a 0a 的分量对应成比例.对于含两个向量的向量组,线性相关的充要条件是12,a a12,a a向量组线性相关,也就是在向量12:,(2)mA a aam 组中至少有一个向量能由其余个向量线性表示.A1m使1 1220mmk ak a

2、k a12211()mmak ak ak因不全为0,不妨设,于是便有12,mk kk10k 即能由线性表示.1a2,maa如果向量组有一个向量能由其余个向量线性表示,A1m不妨设能由线性表示,即有ma11,maa如果向量组线性相关,则有不全为0的数12,mk kkA使得1 111mmmaaa于是1 111(1)0mmmaaa 因为这m个数不全为0（至少）,121,1m 10 所以向量组A线性相关.121,m 向量组构成矩阵,向量组 A 线性相关,就是齐次线性方程组1 1220mmx ax ax a即 Ax=0 有非零解.由上章定理立即可得12:,mA a aa12(,)mAa aa定理:向量组

3、线性相关的充分必要条12:,mA a aa件是它构成的矩阵的秩小于向量个数m;12(,)mAa aa向量组A线性无关的充分必要条件是.()R Am例试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性.解n维单位坐标向量组构成的矩阵12(,)nEe ee例 已知已知123102124157aaa ,向量组中向量个数,由前面定理知此向量组是线性无关的.是n阶单位矩阵.由,知,即等于10E ()R En()R E试讨论向量组及向量组的线性相关性.123102(,)124157a a a52132231102102022022055000rrrrrr12,a a123,a a a解对矩阵施行初等行变换变成行阶梯形矩

4、阵,123(,)a a a即可同时看出矩阵及的秩,由定理可得123(,)a a a12(,)a a见,故向量组线性无关.12(,)2R a a12,a a可见,故向量组线性相关,同时可123(,)2R a a a123,a a a例已知向量组线性无关,试证向量组线性无关.1 1223 30 x bx bx b即112223331()()()0 x aax aax aa亦即131122233()()()0 xx axx axx a331baa123,b b b223baa,123,a a a112baa,证设有使123,x x x因线性无关,故有131223000 xxxxxx由于此方程组的系数

5、矩阵101110011K123,a a a的行列式故方程组只有零解1230 xxx20K 线性相关性是向量组的一个重要性质,下面是与之有关的一些简单的结论.所以向量组线性无关.123,b bb(2)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量个数m时一定线性相关,特别地n+1个n维向量一定线性相关.反之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关.定理:(1)若向量组线性相关,则向量组也线性相关.121:,mmB a aa a12:,mA a aa线性表示,且表示式是唯一的.(3)设向量组线性无关,而向量组12:,mA a aa线性相关,则向量b必能由向量组 A12:,mB a aa b谢谢，再见！