(5.2.1)--4.3偏微分方程的差分方程-讲义.pdf

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1、计算流体力学基础讲义 1 4.3 偏微分方程的差分方程 本次课我们来学习第 4.3 节的内容。在上一节课中，我们讲了如何用有限差分算子代替偏导数项。而一个偏微分方程，往往包含了多个偏导数项，例如一维热传导方程：22TTtx （3.28）其中包含了温度关于时间的一阶偏导数和温度关于空间的二阶偏导数项。如果用差分算子把这些项全部替换，所得到的代数方程称为原偏微分方程的差分方程。因此可以这样定义差分方程：将给定偏微分方程中的所有偏导数项用相应的有限差分算子代替，所得到的代数方程称为原偏微分方程的差分方程。下面对有限差分算子的构造进行回顾。假设u为连续求解域,x y上的函数，它可以离散为MN个离散值,

2、i ju。当离散点的间距x和y足够小时，MN个离散值,i ju可以近似地表示连续函数,u x y。其中，1,ij点的值就可以在,i j点处进行泰勒展开，得到 22331,23()()()()()2!3!iji ji ji ji juuxuxuuxxxx （4.1）对式错误错误!未找到引用源未找到引用源。进行整理，我们可以得到,i j点一阶偏导数的表达式：2321,23()()()()26iji ji ji ji juuuuxuxxxxx （4.2）其中，1,iji juux近似表示,i j点的一阶偏导数,i jux，即为有限差分算子。该差分算子用到了,i j点和其前方的1,ij点，称为向前差分

3、。232,23()()()26i ji juxuxxx 被称为截断误差。因为截断误差的量级为x的一次方，因此，称（4.3）式为一阶向前差分。1,()iji ji juuuxx （4.3）接下来以一维非定常热传导方程为例，讨论其差分方程的构造。首先，将连续变量T在求解域内进行离散，用有限个网格点来代替连续的求解域（图 1）。x方向和t方向的网格间距分别为x和t。需要求解的离散未知数可以表示为niT，其中，上标n是t方向的标号，下标i是x方向的标号。计算流体力学基础讲义 2 0t 时刻是已知的初始条件，0 x 和Lxx处是已知的边界条件。图 1 一维非定常热传导方程求解域的离散 将一维热传导方程改

4、写为 220TTtx（4.31）时间一阶导数和空间二阶导数可以通过下面的泰勒展开式得到：n122it-2nnniiiTTTTttt （4.32）22411224212nnnnniiiiixTTTTTxxx （4.33）将（4.32）和（4.33）代入（4.31）式，可以得到（4.35）式。12112224224(2)0-()()212nnnnniiiiinniiTTTTTTTtxtxTtTx tx （4.35）其中，1112(2)()nnnnniiiiiTTTTTtx （4.36）称为原方程的差分方程，下式：24224()212nniiTtTxtx 为差分方程的截断误差，它表明该差分方程的精度

5、为时间一阶、空间二阶，既2,()Otx。计算流体力学基础讲义 3 最后，请大家思考一个问题。当离散点足够多，步长足够小，那么，我们刚才得到的差分方程是不是真的可以替代原偏微分方程呢？这就引出了一个重要的概念相容性。当离散网格点数趋于无穷时，也就是当t趋于零，x趋于零时，差分方程的截断误差也趋于零，差分方程趋近于偏微分方程，这时候，我们说“差分方程”与“微分方程”是相容的。也就是说，只有满足相容性条件，差分方程才能等价于原方程。当然，仅有相容性，还不足以说明求得的数值解精确收敛到原偏微分方程的精确解析解。相容性只是它的必要条件，而不是充分条件。在后续的学习中，我们将了解到，差分方程的数值解是否能够正确地近似偏微分方程解，不仅需要满足相容性条件，还需要保证求解差分方程的数值方法是稳定的，以及初始条件和边界条件的处理是适当的，即初边值条件满足适定性问题要求。小结，本次课首先给出了差分方程的定义，接下来以一维热传导方程为例，推导出了它相应的差分方程。最后，介绍了相容性的概念。