线性系统理论课件 (22).pdf

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1、1线性定常系统的特征结构线性定常系统的特征结构状态方程中的状态方程中的系数矩阵系数矩阵，也称为状态矩阵或系统矩阵，是，也称为状态矩阵或系统矩阵，是一个很重要的矩阵。它包含了许多有关系统特征的重要信息，这一个很重要的矩阵。它包含了许多有关系统特征的重要信息，这里里讨论讨论 的特征多项式、特征值和（广义）特征向量。的特征多项式、特征值和（广义）特征向量。2特征多项式特征多项式:对参数矩阵对参数矩阵A引入复多项式引入复多项式称为称为A的特征多项式。的特征多项式。例例 若系统矩阵为若系统矩阵为：=，求它的特征多项式。求它的特征多项式。解：解：矩阵矩阵A的特征多项式为：的特征多项式为：=+=+3特征方程

2、和特征值特征方程和特征值:令令A的特征多项式为零所得到的方程，称为的特征多项式为零所得到的方程，称为A的的特征方程特征方程例例 若系统矩阵为：若系统矩阵为：=，求它的特征值。求它的特征值。矩阵矩阵的的特征值特征值（本征值），也称为特征根，定义为特征方程（本征值），也称为特征根，定义为特征方程的根。的根。解特征方程解特征方程得到特征值：得到特征值：=+=+=，=4设设为为维维非零向量非零向量，为标量，它是为标量，它是矩阵矩阵的的特征值，若特征值，若成立，则称成立，则称向量向量为矩阵为矩阵的的属于属于特征值特征值的的特征向量。从上式可特征向量。从上式可以看出，以看出，特征向量特征向量经经线性变换线性变换后，方向不变，仅长度增加后，方向不变，仅长度增加了了倍。倍。特征向量：特征向量：例例 若系统矩阵为：若系统矩阵为：=求它属于求它属于=-1 特征向量特征向量。可取可取=+=5若若是是的特征多项式的重根，则称满足的特征多项式的重根，则称满足 =且且 的非零向量的非零向量为矩阵为矩阵的属于特征值的属于特征值的的广义特征向量广义特征向量。广义特征向量：广义特征向量：例例 若系统矩阵为：若系统矩阵为：=求它属于重根求它属于重根 =广义特征广义特征向量。向量。可取可取 =