(4.8.1)--4.8二次曲线方程的化简及其类型.pdf

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1、42 42 二次曲线方程的化简及其类型二次曲线方程的化简及其类型目标目标：寻找一个新的右手直角坐标系寻找一个新的右手直角坐标系，使得上述，使得上述方程化成标准方程，从而看出其几何形状方程化成标准方程，从而看出其几何形状.在在平面右手直角坐标系平面右手直角坐标系中中，二次曲线的一般方程是：二次曲线的一般方程是：其中其中 a11,a12,a22不全为不全为 0 0.22221121122220aa xa xyyb xb yc方法方法：转轴转轴（消去交叉项）（消去交叉项）+移轴移轴（进一步化简）（进一步化简）注：注：若若,用移轴的方法就可化为标准方程，因此用移轴的方法就可化为标准方程，因此处理处理是

2、是关键关键.下面讨论下面讨论的情况的情况.120a 12a120a 用它的二次项系数构造用它的二次项系数构造对称矩阵对称矩阵:111212220aAaaa 1112122212()22,)(Faaxb xb yxcayyyxa cossinsincosxxyy 设所要找的转轴变换为设所要找的转轴变换为:01222()xx y Ayb xb yc第一步第一步.用转轴消去交叉项用转轴消去交叉项记记,2222121211(,)222F x ya xyaa xyb xb yc 则二次项部分变换如下则二次项部分变换如下:00cossincossin()sin()cossincosxx y Ayxx yA

3、y 2211122222111222221112221112sin2cos22sin2cos22cossin2sin()sinsin2cosaaaaaxx yyaaaaaaa 因此因此,要使新坐标系中的方程没有交叉项要使新坐标系中的方程没有交叉项,只要取只要取满足满足 221112sin2cos202aaa 即即112212cot22aaa 作移轴变换作移轴变换21122212220a xyab xb yc第二步第二步.用移轴进一步简化方程用移轴进一步简化方程设二次曲线设二次曲线 在某个右手直角坐标系中的方程为在某个右手直角坐标系中的方程为其中其中和和不全为不全为 0.11a22a1)若若和和

4、都不为都不为0，则配方得，则配方得:11a22a22122111122221222121()0axycaaaabbbba 112212 ,bbxxayya 则方程化为则方程化为:222212112211220bba xa ycaa进一步可化简为以下进一步可化简为以下5种形式之一种形式之一:22221abxy 22221xyab 22220abxy 22221xyab 22220abxy 椭圆椭圆空集（虚椭圆）空集（虚椭圆）一点一点双曲线双曲线一对相交直线一对相交直线椭椭圆圆型型曲曲线线双双曲曲线线型型曲曲线线消去交叉项后消去交叉项后平方平方项系数同号项系数同号的二次的二次曲线曲线消去交叉项后消

5、去交叉项后平方平方项系数异号项系数异号的二次的二次曲线曲线211112112112)0(baxycaabb111112122 2,2bbbbxxacyya 2)若若和和中有一个为中有一个为0，不妨设，不妨设为为0,不为不为 0.11a22a22a11a则方程可化为则方程可化为:若若,作移轴变换作移轴变换:20b 进一步化为进一步化为:22xpy 抛物线抛物线方程化为方程化为:211220a xb y21122212220a xyab xb yc211112112112)0(baxycaabb111 ,xxayyb 若若,作移轴变换作移轴变换:20b 进一步化为进一步化为:2xd d 0:一对平

6、行直线一对平行直线方程化为方程化为:22111110caba x d=0:一一对重合对重合直线直线d 0:空集（一对虚平行直线）空集（一对虚平行直线）定理定理二次曲线共有九种：二次曲线共有九种：I.椭圆椭圆II.虚椭圆虚椭圆III.一点一点IV.双曲线双曲线V.一对相交直线一对相交直线VI.抛物线抛物线VII.一对平行直线一对平行直线VIII.一对重合直线一对重合直线IX.一对虚平行直线一对虚平行直线抛物线型曲线消去交叉项消去交叉项后后一个平方一个平方项系数为零项系数为零椭圆、双曲线、抛物线，这三种曲线椭圆、双曲线、抛物线，这三种曲线统称为统称为圆锥曲线圆锥曲线.注：注：1)由于坐标变换不改变代数曲线的次数，所以由于坐标变换不改变代数曲线的次数，所以仿射坐标仿射坐标系系下的二次曲线在直角坐标系下仍然还是下的二次曲线在直角坐标系下仍然还是二次曲线二次曲线.2)在仿射坐标系下，所有的二次曲线只有以下七种（空集除外）：在仿射坐标系下，所有的二次曲线只有以下七种（空集除外）：椭圆、双曲线、抛物线、一对相交直线、椭圆、双曲线、抛物线、一对相交直线、一对平行直线、一条直线、一个点一对平行直线、一条直线、一个点.