复变函数复变函数复变函数 (66).pdf

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1、亚纯函数及其微分多项式 IM 分担小函数L(f)a(z)f(z)a(z)(a(z).0)f aL(f)a10(0,f)+8(k+1)(,f)8k+17f L(f)摘要：研究了亚纯函数 f 及其微分多项式分担小函数的唯一性问题，证明了 f 和分担的2 个唯一性定理，改进了已有的一些结论。假设是非常数的亚纯函数，k 为正整数，是亚纯函数。当和分担 0IM，若满足，则.关键词：亚纯函数；整函数；唯一性；分担值中图分类号：O174.52文献标志码：AMeromorphic Functions Sharing One Small Function IMwith Their Differential Po

2、lynomialsWANG Hanjie，WANG Xinli(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)L(f)a(z)f(z)a(z)(a(z).0)f(z)f aL(f)a10(0,f)+8(k+1)(,f)8k+17f L(f)Abstract:Theuniquenessofmeromorphicfunctionsfandtheirdifferentialpolynomials,sharingonesmallfunction,wasinvestig

3、ated.Theuniquenesstheoremforfandsharingwasprovedandsomepreviousresultswereimproved.Letbeanon-constantmeromorphicfunction,kbeapositiveinteger,andbeasmallfunctionof.Ifandshare0IM,and,then.Keywords:meromorphic function;entire function;uniqueness;sharing value1 问题的提出T(r,f)N(r,f)m(r,f)S(r,f)o(T(r,f)(r ,r

4、 E)ER+f(z)L(f)=ak(z)f(k)+ak1(z)f(k1)+a0(z)f使用 Nevanlinna 值分布理论中的标准记号1-3，如，等。用表 示型的量，其中，为上的一个线性测度有穷的集合。记亚纯函数的微分多项 式 为：，ai(z)(0 i k)T(r,ai)=S(r,f)(r )其中，为 f 的小函数，满足。f(z)g(z)f(z)bg(z)bf(z)g(z)b CMb Cf(z)bg(z)bf(z)g(z)b IM和为 2 个非常数的亚纯函数，如果与有相同的零点并且重数相同，则称和分担，其中，。如果与有相同的零点并且不计重数，则称和分担。收稿日期：20180425基金项目：国

5、家自然科学基金资助项目（11771090）第一作者：王汉杰（1993），男，硕士研究生研究方向：复分析E-mail：通信作者：王新利（1975），女，讲师研究方向：复分析E-mail：1995 年，方明亮4引入了几乎分担的概念。f(z)g(z)b CN(r,b)定定义义 14和为 2 个非常数的亚纯函数，其中，。表示相应的幂指量。记N12(r,b)=N(r,1f b)+N(r,1gb)2N(r,b)n(r,b)f(z)b=0g(z)b=0|z|rN12(r,b)S(r,f)+S(r,g)f(z)g(z)b CMa.定义表示与在圆内 公 共 点 的 个 数（计 重 数），若，则称与几乎分担。显然

6、，CM 分担一定是几乎 CM 分担。n(r,b)f(z)b=0g(z)b=0|z|rN(r,b)b.定义表示与在圆内公共点的个数（不计重数），表示相应的幂指量。记N12(r,b)=N(r,1f b)+N(r,1gb)2N(r,b)N12(r,b)S(r,f)+S(r,g)f(z)g(z)b IM若，则称与几乎分担。显然，IM 分担一定是几乎 IM 分担。1977 年，仪洪勋等1证明了定理 1。f(z)ffCMf=f定定理理 15设是非常数整函数，如果 和分担 2 个判别的有穷复数，那么，。1996 年，Brck6提出了著名的猜想定理 2。f(z)1(f)34f f(k)定定理理 48设为非常数

7、整函数，为正整数，是开平面上的亚纯函数，如果和分担0CM，若满足，则。f(z)k 1ka(z)(a(z).0)T(r,a)=S(r,f)(r )faf af(k)a4(0,f)+2(8+k)(,f)19+2kf f(k)定定理理 58设为非常数亚纯函数，为正整数，是开平面上的亚纯函数，和 没有公共极点，如果和分 担 0 CM，若 满 足，则。f(k)L(f)fa2006 年，刘礼培等9将定理 4 和定理 5 中的推广为，将定理 4 中的“和 没有公共极点”这个条件去掉，并减弱了亏量条件，进一步改进了定理 4 和定理 5，证明了定理 6 和定理 7。f(z)kL(f)fa(z)(a(z).0)T

8、(r,a)=S(r,f)(r )f aL(f)a(0,f)12f L(f)定定理理 69设为非常数整函数，为正整数，为 的微分多项式，是开平面上 的 亚 纯 函 数，如 果和分担 0CM，若满足，则。f(z)kL(f)fa(z)(a(z).0)T(r,a)=S(r,f)(r )L(f)af aL(f)a2(0,f)+4(,f)5f L(f)定定理理 79设为非常数亚纯函数，为正整数，为 的微分多项式，是开平面上的亚纯函数，和 没有同级的极点，如果和分担 0CM，若满足，则。L(f)a在此基础上，本文考虑将定理 6 和定理 7 中的 CM 分 担 弱 化 为 IM 分 担，将 定 理 7 中 的

9、“和 没有同级的极点”去掉，从而得到了定理 8 和定理 9。f(z)kL(f)fa(z)(a(z).0)T(r,a)=S(r,f)(r )f aL(f)a10(0,f)+8(k+1)(,f)8k+17f L(f)定定理理 8设为非常数亚纯函数，为正整数，为 的微分多项式，是开平面上的亚纯函数，如果和分担 0IM，若满足，则。f(z)kL(f)fa(z)(a(z).0)T(r,a)=S(r,f)(r )f aL(f)a(0,f)910f L(f)定定理理 9设为非常数整函数，为正整数，为 的微分多项式，是开平面上的 亚 纯 函 数，如 果和分 担 0 IM，若 满 足，则。2 一些引理fj(z)

10、(j=1,2,n)nj=1fj 11 j n引引理理 11假设为线性无关的亚纯函数，满足，则对于，可得T(r,fj)nk=1N(r,1fk)+N(r,fj)+N(r,D)nk=1N(r,fk)N(r,1D)+S(r)W(f1,f2,fn)S(r)=o(T0(r)(r ,r E)T0(r)=max1knT(r,fk)R+其中，D 为 Wronskian 行列式，且，E 为上的一个线性测度有穷的集合。f(z)k引引理理 2设是开平面上的亚纯函数，为正第2期王汉杰，等：亚纯函数及其微分多项式 IM 分担小函数157L(f)f整数，为 的微分多项式，则有N(r,1L(f)T(r,L(f)T(r,f)+

11、N(r,1f)+S(r,f)证明证明由于m(r,1f)m(r,L(f)f)+m(r,1L(f)+S(r,f)m(r,1L(f)+S(r,f)故T(r,f)N(r,1f)T(r,L(f)N(r,1L(f)+S(r,f)所以，N(r,1L(f)T(r,L(f)T(r,f)+N(r,1f)+S(r,f)f(z)L(f)fk引引理理 33设是开平面上的亚纯函数，为 的微分多项式，为正整数，则有T(r,L(f)T(r,f)+kN(r,f)+S(r,f)f(z)kL(f)fa(z)(a(z).0)T(r,a)=S(r,f)(r )f aL(f)a引引理理 4设是开平面上的亚纯函数，为正整数，为 的微分多项

12、式，是开平面上的亚纯函数，如果和分担 0IM，则有N(r,1f a)kN(r,f)+N(r,1f)+S(r,f)F=fa,G=L(f)aF1=f aa,G1=L(f)aa证明证明令，故。f aL(f)aFG又由和分担 0IM，所以，和 几乎分担 1IM，因此，N(r,1f a)N(r,1F1)+S(r,f)Nr,1GF1+S(r,f)T(r,GF)+S(r,f)N(r,GF)+m(r,GF)+S(r,f)N(r,L(f)f)+m(r,L(f)f)+S(r,f)kN(r,f)+N(r,1f)+S(r,f)3 定理 8 的证明现证明定理 8。f.L(f)证明证明假设，令H=L(f)af a（1）现

13、分 2 种情形讨论。H=cc,1,L(f)cf=a(1c)L(f)acfa=1c情情形形 1（c 为常数），显然，则，故，由第二基本定理及引理 2 可得，T(r,L(f)T(r,L(f)a)+S(r,f)N(r,aL(f)+N(r,af)+N(r,L(f)a)+S(r,f)T(r,L(f)T(r,f)+2N(r,1f)+N(r,f)+S(r,f)T(r,f)2N(r,1f)+N(r,f)+S(r,f)2(0,f)+(,f)8k+17故，因 此，有，这 与 条 件矛盾。H.cL(f)aHfa+H 1情情形形 2（c 为常数），由式（1）可得，。令f1=L(f)a,f2=Hfa,f3=H3j=1f

14、j 1则有。下面再分 2 种情形讨论。f1,f2,f3情情形形 2.1线性无关，则由引理 1 可得，T(r,L(f)T(r,L(f)a)+S(r,f)3k=1N(r,1fk)+N(r,f1)+N(r,D)3k=1N(r,fk)N(r,1D)+S(r)（2）其中N(r,D)N(r,(Hfa)HH(Hfa)N(r,(Hfa)+N(r,H)即N(r,D)N(r,(Hfa)N(r,H)N(r,(Hfa)+N(r,H)N(r,(Hfa)N(r,H)2N(r,(Hfa)+2N(r,H)（3）由引理 4 可得，N(r,H)N(r,f)+N(r,1f a)+S(r,f)(k+1)N(r,f)+N(r,1f)+

15、S(r,f)（4）由第二基本定理、引理 2 和引理 3 可得，158上海理工大学学报2019年第41卷N(r,1H)N(r,1L(f)a)N(r,L(f)a)+N(r,1L(f)a)+N(r,1L(f)+S(r,f)N(r,f)+N(r,1f a)+N(r,1L(f)+S(r,f)(2k+1)N(r,f)+2N(r,1f)+S(r,f)（5）由式（2）和式（3）可得，T(r,L(f)N(r,1L(f)+N(r,1f)+2N(r,1H)+4N(r,H)+2N(r,f)+S(r,f)（6）将引理 2 代入式（6）可得，T(r,f)2N(r,1f)+2N(r,1H)+4N(r,H)+2N(r,f)+

16、S(r,f)（7）从而，由式（4）和式（7）可得，T(r,f)10N(r,1f)+8(k+1)N(r,1f)+S(r,f)10(0,f)+8(k+1)(,f)8k+17这与条件矛盾。f1,f2,f3t1,t2,t3情情形形 2.2线性相关。即存在 3 个不全为零的数，使得t1f1+t2f2+t3f3 0（8）t1=0t2,0t3,0t2,0(1)(8)H(t2fat3)=0H cf=at3t2T(r,f)=T(r,at3t2)=S(r,f)t1,0若，则或，不妨设，由式和式可得，因为，（c 为常数），从而有，所以，矛盾，故。由式（1）和式（8）可得，(t2t1)Hfa+(t1t3)H=t1（9

17、）再区分 3 种情况。t2 t1,0,t1t3,0(t1t2)t1fa+1H=t1t3t1情情 形形 2.2.1 当时，有。由第二基本定理和式（4）可得，T(r,f)T(r,fa)+S(r,f)N(r,af)+N(r,H)+N(r,fa)+S(r,f)2N(r,1f)+(k+2)N(r,f)+S(r,f)10(0,f)+8(k+1)(,f)8k+17这与条件矛盾。t2 t1=0,t1 t3,0H=情情形形 2.2.2当时，t1t1t3H c与（c 为常数）矛盾。t2 t1,0,t1t3=0fH=at1t2t1情情形形 2.2.3当时，。所以，L(f)a+H+t1t1t2=1从而，L(f)a+H

18、=t2t2t1t2,0若，则T(r,L(f)T(r,L(f)a)+S(r,f)N(r,aL(f)+N(r,1H)+N(r,L(f)a)+S(r,f)T(r,L(f)T(r,f)+N(r,1f)+N(r,f)+N(r,1H)+S(r,f)所以，T(r,f)2N(r,1f)+(k+1)N(r,f)+S(r,f)10(0,f)+8(k+1)(,f)8k+17这与条件矛盾。t2=0L(f)+aH=0fH=afL(f)=a2因 此，于 是且，所以，。因为，N(r,1f)N(r,1fL(f)2m(r,1f)=m(r,1f2)m(r,fL(f)f2)+m(r,1fL(f)=S(r,f)+m(r,1fL(f)

19、因此，有T(r,f)T(r,1f L(f)+S(r,f)所以，可得T(r,f)T(r,1f L(f)+S(r,f)f L(f)矛盾。因此，假设不成立，即。定理8 证毕。4 定理 9 的证明f(z)(,f)=1f aL(f)a(0,f)910f L(f)当为非常数整函数，显然，由定理 8 的证明可得，若和分担 0IM，。定理 9 证毕。(下转第 166 页)第2期王汉杰，等：亚纯函数及其微分多项式 IM 分担小函数159problemwithtimewindowsJ.Neurocomputing,2012,98:101107.张勇.基于改进蚁群算法物流配送路径优化的研究J.控制工程,2015,2

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