(6.5)--文献5：矩阵的特征值定位和非奇异性判定.pdf

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1、矩阵的特征值定位和非奇异性判定摘要：通过将复方阵分裂为（其中：为任意复数；为单位矩阵；为复方阵），利用矩阵非奇异性判定已有的方法，得到了的含有两个参数（和正整数）的特征值包含集和非奇异性的判定方法，并证明所得特征值包含集和非奇异性判定方法比已有结果更精确、更具一般性数值结果表明，通过调节和，可以对的特征值进行更精确定位，从而判定的非奇异性关键词：矩阵；特征值；定位；非奇异性；判定中图分类号：文献标志码：文章编号：（），（，）：，（），：；收稿日期：第一作者简介：桑彩丽（），女，汉族，硕士，讲师，从事数值代数的研究，：通信作者简介：赵建兴（），男，汉族，博士，教授，从事数值代数的研究，：基金项目

2、：国家自然科学基金（批准号：）、贵州省教育厅科技拔尖人才支持项目（批准号：黔教合字 号）和贵州省科学技术基金（批准号：黔科合字 号）矩阵的特征值定位和非奇异性判定在动力系统的稳定性分析、控制系统的可控性研究、线性方程组解的唯一性判定等领域应用广泛在一些实际问题中，有时并不需要计算出矩阵的所有特征值，只需确定特征值在复平面上的分布即可，此即为矩阵特征值的定位问题例如，在考察动力系统（），（）的渐近稳定性问题中，若矩阵的所有特征值均位于复平面左侧，则对任意的，（），即该系统是渐近稳定的因此，对矩阵特征值定位和非奇异性判定问题进行研究具有重要意义本文给出矩阵特征值更精确的包含集和更一般的非奇异性判定

3、方法，改进并推广了已有结果预备知识设，是两个集合，用表示和的交集，用表示和的差也称为关于的相对补集，且珚，其中珚为集合关于完全集的补集用瓘和瓕分别表示全体复数和全体正整数的集合，用瓘表示全体阶复方阵的集合，令，设矩阵（）瓘，用（）表示所有特征值构成的集合若（），则称为严格对角占优矩阵文献 利用矩阵分裂技术和严格对角占优矩阵的性质得到了如下非奇异矩阵类：定义设 瓘，其中：为复数；为单位矩阵；为复方阵如果存在正整数，使得为严格对角占优矩阵，则称为最终严格对角占优矩阵文献 利用最终严格对角占优矩阵的非奇异性对其特征值进行了定位，得到了如下包含集，该结果是对文献 中定理的修正定理 设 瓘，任意给定正整

4、数，则（）（）（），其中（）瓘：（）（）（）引理 设（）瓘，若对于任意，或者（），或者存在某个，使得 （），则是非奇异矩阵本文利用引理中矩阵的非奇异性判定条件对的特征值进行定位，新的特征值包含集改进了定理的结果，并由新的特征值包含集给出判定矩阵非奇异性的新方法，该方法推广了引理的结果主要结果引理设 瓘，任意给定正整数，则（）（）（）（），其中（），（），（）瓘：（）（）（）（）证明：任意给定一个正整数，假设存在的一个特征值满足（），即对于任意，或者（），即（）（）（）；或者（），即存在某个，使得（）（）（）（）由引理知（）是非奇异矩阵，因此（）不是的特征值另一方面，由于是的特征值，故存在非零向

5、量，使得（），即（）进而可得（），因此（）是的特征值，矛盾所以（）证毕由正整数和复数的任意性，可得如下结果：定理设 瓘，则（）（）瓘瓕（）对任意及给定的复数和正整数，由（）（）（）（）（）可得定理、引理和定理的比较定理：定理设 瓘，任意给定正整数，则（）（）（）在引理中，取，则有此时可得：推论设（）瓘，任意给定正整数，则（）槇（）（）（），其中：（）瓘：（）（）；（），（），（）瓘：（）（）（）在推论中取，可得：吉 林 大 学 学 报（理 学 版）第 卷推论设（）瓘，则（）槇（）（）（），其中：（）瓘：（）；（），（），（）瓘：（）注推论可视为对文献 中定理的修正，即文献 中定理中的，（）瓘：

6、（）应改为，（）瓘：（）推论可视为推论对矩阵的特征值进行定位由引理及“是非奇异矩阵当且仅当（）”可得矩阵非奇异性判定的新方法：推论设 瓘，若存在正整数，对于任意，或者（）（）；或者存在某个，使得（）（）（）则是非奇异矩阵显然，在推论中取，可得引理，因此推论是对引理的推广数值算例例设 烄烆烌烎 计算得（）；矩阵的特征值包含集（），（）及其所有特征值如图所示，其中：（）用黑色区域表示；（）用黑色区域及其内部表示；所有特征值均用“”标出图特征值包含集（）和（）的比较 （）（）第期桑彩丽，等：矩阵的特征值定位和非奇异性判定由图可见：）无论，还是，均有（）（）（），从而验证了引理和定理；）当 时，若分别

7、取，则由引理得到的特征值包含集（）差异较明显，即若相同而不同，则所获特征值包含集（）一般也不同；）当时，若分别取，则由引理得到的特征值包含集（）差异较明显，即若相同而不同，则所获特征值包含集（）一般也不同；）当，时，有（），此时不能由引理和推论判定矩阵的非奇异性；而当，时，有（），此时可判定是非奇异矩阵综上可见，本文利用矩阵分裂技术和非奇异性判定的已有方法，给出了矩阵特征值定位和非奇异性判定的新方法，改进并推广了目前已有的结果。参考文献李朝迁矩阵和高阶张量特征值的定位与估计 昆明：云南大学，：（：，：），：，（）：，：，：，：，（），（）：，：，：，珦 ，：，：，（）：吉 林 大 学 学 报（理 学 版）第 卷