全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法.doc

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1、全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法ABC中,AD是BC边中线方式1：直接倍长，(图1)： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长1) （图2）作CFAD于F，作BEAD的延长线于E, 连接BE 2) （图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD【经典例题】例1已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.（提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边）例2：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F，且DF=EF. 求证：BD=CE.（提示：方法1：过D作DGAE交BC于G，证明DGFCEF方法2：过E作EG

2、AB交BC的延长线于G，证明EFGDFB方法3：过D作DGBC于G，过E作EHBC的延长线于H，证明BDGECH）例3、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.变式：如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求证：（提示：方法1：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG， 证明BDEGDE DCFDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边_D_F_C_B_E_A方法2：倍长ED至H，连结CH、FH，证明FH=EF、CH=BE，利用三角形两边之和大于第三边）_D_F_C_B_E_A例4：已知在ABC中，AD是

3、BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF（提示：方法1：倍长AD至G，连接BG，证明BDGCDA三角形BEG是等腰三角形。方法2：倍长ED.试一试，怎么证明？）例5、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE. （提示：倍长AE至M,连接DM）变式一：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中线，求证：C=BAE提示：倍长AE至F，连结DF,证明ABEFDE（SAS）,进而证明ADFADC（SAS）变式二：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中线，求证：2AEAC。（提示：借鉴变式一的方法） _A_B_D_E

4、_C_F例6：已知：如图，在中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分 提示：方法1：倍长AE至G，连结DG方法2：倍长FE至H，连结CH_A_B_D_E_C_F【练习】1、在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE、DF交于G,证明AB=GC、AF=GF，所以AB=AF+FC2、已知：如图，DABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE/AB交BC于E，求证：CT=BE.提示：过T作TNAB于N， 证明BTNECD3、 在ABC中，AD平分BAC，CMAD于M，若ABAD，求证：2AMACAB。 4、ABC中，AD是边BC上的中线，DAAC于点A，BAC=120， 求证：AB=2BC.5、如图，AB=AE，ABAE，AD=AC，ADAC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM