2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷(文科).doc

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1、2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）1（5分）已知集合A=x|2x11，B=y|y=，则AB=（） A1，0）B1，1）C0，1DO，1）2（5分）复数（1+i）3（i是虚数单位）化简的结果是（） A8B8C8iD8i3（5分）为了规定学校办学，省电教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查，抽查到班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（） A13B19C20D524（5分

2、）已知等比数列an，a2=，a5=，则数列log2an的前10项之和是（） A45B35C55D555（5分）若xm是x23x+20的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（） A1，+）B（，2C（，1D2，+）6（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入a=，则输出的k值是（） A9B10C11D127（5分）一个几何体的侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的正视图为（） AB CD8（5分）函数f（x）=eln|x|2sinx的图象大致是（） A B C D9（5分）若函数f（x）=的最小值为f（0），则实数a的取值范围（） A1，2B1，0C1，2D0，210（5分）已知x，y满足约束条

3、件，目标函数z=2x3y的最大值是2，则实数a=（） AB1CD411（5分）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（） A4BC6D12（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），f（0）=0若对任意xR，都有f（x）f（x）+1，则使得f（x）+ex1成立的x的取值范围为（） A（0，+）B（，0）C（1，+）D（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2013（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为 14（5分）如图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线与AC两边分别交于M，N两点，且=

4、x，=y，则x+2y的最小值为 15（5分）双曲线C：=1（a0，b0）的左焦点为F，若F关于直线+y=0的对称点A是双曲线C上的点，则双曲线C的离心率为 16（5分）已知函数f（x）=x（a+1）lnx（aR，且a1），g（x）=x2+exxex，若存在x1e，e2，使得对任意x22，0，f（x1）g（x2）恒成立，则a的取值范围是 三、解答题：共5小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c依次成等差数列（1）若向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求cosA的值；（2）若ac=8，求ABC的面积

5、S的最大值18（12分）某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在70，85）内，记为B等；分数在60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等同时认定A，B，C为合格，D为不合格已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在50，100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎

6、叶图如图2所示（1）求图2中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率19（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=2BC=2，ACFB（）求证：AC平面FBC；（）求四面体FBCD的体积；（）线段AC上是否存在点M，使EA平面FDM？证明你的结论20（12分）已知点M，N分别是椭圆的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是，椭圆的离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点

7、，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求OAB面积的取值范围21（12分）已知aR，函数f（x）=exax（1）若函数f（x）在区间（e，1）上是减函数，求实数a的取值范围；（2）若函数F（x）=f（x）（ex2ax+2lnx+a）在区间（0，）内无零点，求实数a的最大值选修4-4：参数方程与极坐标系22（10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=（）求圆C的极坐标方程；（）若0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|2x1|x+2|（1）解不等式f（x）0；（2）若x0R，使得f（

8、x0）+2m24m，求实数m的取值范围2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）1【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：A=x|x1，B=y|y0；AB=0，1）故选：D【点评】考查描述法、区间表示集合的概念，指数函数的单调性，交集的概念及运算2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（1+i）3=1+=8故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3【分析】根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数

9、列，将四个学生的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可【解答】解：用系统抽样抽出的四个学生的号码从小到大：7，？，33，46成等差数列，因此，另一学生编号为7+4633=20故选：C【点评】系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法4【分析】设等比数列an的公比为q，由a2=，a5=，可得a1q=，=，联立解得q，a1可得an，log2an即可得出数列log2an的前10项之和【解答】解：设等比数列an的公比为q，a2=，a5=，a1q=，=，解得q=a1an=log2an=n数列log2an的前10项之和=1210

10、=55故选：D【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：由x23x+20得1x2，若xm是x23x+20的必要不充分条件，则m1，即实数m的取值范围是（，1，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式的关系是解决本题的关键6【分析】根据程序框图的流程，计算运行n次的结果，根据输入a=，判断n满足的条件，从而求出输出的k值【解答】解：由程序框图知第一次运行s=0+，k=2；第二次运行s=0+，k=3；第n次运行s=0+=（1）+

11、（）+（）=（1）=，当输入a=时，由na得n9，程序运行了10次，输出的k值为11故选：C【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，由程序框图判断程序运行的功能，用裂项相消法求和是解答本题的关键7【分析】首先画出几何体的复原图，进一步整理出几何体的正视图【解答】解：根据三视图中的侧视图和俯视图，得知：该几何体为上边是一个直三棱锥，下边是一个正方体，所以：，如图所示：其中左边的方向应该朝里边故选：B【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用8【分析】由已知中函数f（x）=eln|x|2sinx，分类讨论函数的单调性及极值，利用排除法可得答案【解答】解：当x0时，f（x）=eln|x|2sinx

12、=x2sinx，f（x）=12cosx，当x（0，）时，f（x）0，函数为减函数，故排除AC；当x0时，f（x）=eln|x|2sinx=x2sinx，f（x）=12cosx，当x（，0）时，f（x）0，函数为减函数，当x（，）时，f（x）0，函数为增函数，故当x=时，函数取极大值此时f（x）=+故当x=时，函数取极小值此时f（x）=，故排除D，故选：B【点评】本题考查的知识点是函数的图象，利用导数法研究函数的图象和性质，难度中档9【分析】由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得2+aa2，又a0，从而解得a的范围【解答】解：当x0时，f（x）=x+a2+a；（当且仅当x=，即x=1

13、时，等号成立）；故当x=1时取得最小值2+a，f（0）是函数f（x）的最小值，当x0时，f（x）=（xa）2单调递减，故a0，此时的最小值为f（0）=a2，故2+aa2，解得，21a2又a0，可得0a2故选：D【点评】本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，注意运用基本不等式和二次函数的单调性，属于中档题10【分析】先作出不等式组的可行域，利用目标函数z=2x3y的最大值为2，求出交点坐标，代入ax+y4=0求解即可【解答】解：先作出约束条件的可行域如图，目标函数z=2x3y的最大值是2，由图象知z=2x3y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2由，解得A（4，2），同时A（4，2）也

14、在直线ax+y4=0上，4a=2，则a=，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的意义是解决本题的关键11【分析】根据已知可得直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案【解答】解：ABBC，AB=6，BC=8，AC=10故三角形ABC的内切圆半径r=2，又由AA1=3，故直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键12【分析】构造函数：g（x）=，g（0）=1对任意xR，都有f（x）f（x）+1，可得g（x）=0，函数g（x）在R单调递减，

15、利用其单调性即可得出【解答】解：构造函数：g（x）=，g（0）=1对任意xR，都有f（x）f（x）+1，g（x）=0，函数g（x）在R单调递减，由f（x）+ex1化为：g（x）=1=g（0），x0使得f（x）+ex1成立的x的取值范围为（0，+）故选：A【点评】本题考查了构造函数法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2013【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：实数a，b满足+=，a，b0，且，解得ab2，当且仅当b=2a=时取等号则ab的最小值2故答案为：2【点评】本题考查了基本不等式的性质

16、，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14【分析】由M，N，G三点共线和ABC的重心性质，求得x与y的关系式，再利用换元法建立x+2y的解析式，利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：由M，N，G三点共线，=，=（）；又点G是ABC的重心，=（+），（+）x=（y（+），解得（3x1）（3y1）=1；结合图形知x1，y1；令3x1=m，3y1=n，（m2，n2）；故mn=1，x=，y=；故x+2y=+2=+12+1=+1，（当且仅当=，即m=，n=时，等号成立），x+2y的最小值为+1故答案为：+1【点评】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，也考查了基本不等式在求最值中的应用问题

17、15【分析】求出A点坐标，代入双曲线方程化简得出a，b，c的关系，得出离心率【解答】解：设F（c，0）关于直线x+y=0的对称点为A（x0，y0），则，且=，解得x0=，y0=代入双曲线C的方程可得：，即，令a=1，解得c2=42，c=或c=（舍）e=故答案为：【点评】本题考查了双曲线的性质，点关于直线的对称问题，属于中档题16【分析】存在x1e，e2，使得对任意的x22，0，f（x1）g（x2）恒成立，即 f（x）ming（x）min，由f（x）在e，e2上递增，可得f（x）min，利用导数可判断g（x）在2，0上的单调性，可得g（x）min，由 f（x）ming（x）min，可求得a的范围

18、；【解答】解：f（x）的定义域为（0，+），f（x）= （aR），当a1时，xe，e2，f（x）0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（e）=e（a+1）；若存在x1e，e2，使得对任意的x22，0，f（x1）g（x2）恒成立，即 f（x）ming（x）min，g（x）=x+exxexex=x（1ex），当x2，0时g（x）0，g（x）为减函数，g（x）min=g（0）=1，e（a+1）1，a，a（，1），故答案为：（，1）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、求闭区间上函数的最值，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题往往转化为函数的最值加以解决三、解答题：共5小

19、题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【分析】（1）首先利用等差数列求出边长的关系式，进一步利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果（2）利用余弦定理的基本不等式求出sinB的范围，进一步利用三角形的面积公式求出结果【解答】解：（1）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c依次成等差数列，则：2b=a+c向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，则：3sinC=2sinB，利用正弦定理得：3c=2b故：a=2c，b=，所以：cosA=（2）由于：2b=a+c，则：cosB=由于：0B，则：，所以：，故：三角形面积的最大值为【点评】本题考查的知识要点：向量

20、的数量积的应用，余弦定理和正弦定理的应用及三角形的面积公式的应用18【分析】（）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x=0.004，从而得到甲学校的合格率，由此能求出结果（）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，由此利用列举法能求出随机抽取2名学生，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率【解答】解：（）由题意知10x+0.01210+0.05610+0.01810+0.01010=1，解得x=0.004，甲学校的合格率为1100.004=0.96，而乙学校的合格率为：1=0.96，故甲乙两校的合格率相同（）由题意，将乙校样本中成

21、绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有：C1，C2，C1，C3，C1，C4，C1，D1，C1，D2，C2，C3，C2，C4，C2，D1，C2，D2，C3，C4，C3，D1，C3，D2，C4，D1，C4，D2，D1，D2，共15个，其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用19【分析】（）利用勾股定理的逆定理即可得到ACCB，又ACFB，利用线面垂直的判定定理

22、即可证明；（）利用（）的结论可得ACCF，又CFCD，利用线面垂直的判定定理即可得出FC平面ABCD利用等腰梯形的性质即可得出BCD的面积，利用三棱锥的体积公式即可得出；（）线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA平面FDM利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明【解答】（）证明：在ABC中，AB=2，BC=1，AC2+BC2=AB2ACBC又ACFB，BFCB=B，AC平面FBC（）解：AC平面FBC，ACFCCDFC，FC平面ABCD在RtACB中，CAB=30，在等腰梯形ABCD中可得ABD=CDB=CBD=30，CB=DC=1，FC=1BCD的面积S=四面体

23、FBCD的体积为：（）解：线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA平面FDM，证明如下：连接CE与DF交于点N，连接MN由 CDEF为正方形，得N为CE中点EAMNMN平面FDM，EA平面FDM，EA平面FDM所以线段AC上存在点M，使得EA平面FDM成立【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、等腰梯形的性质、三棱锥的体积公式、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键20【分析】（1）利用|MF|=a+c，|BN|=ac，是|MF|与|FN|的等比中项得到（a+c）（ac）=3，结合椭圆的离心率求解即可（2）直线l的斜率存在且不为0设直线l：y=kx+

24、m（m0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，利用判别式以及韦达定理，通过OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，推出m2（4k23）=0，求出，0m26，且m23，然后求解三角形的面积的表达式，求解范围即可【解答】解：（1）解：|MF|=a+c，|BN|=ac，是|MF|与|FN|的等比中项（a+c）（ac）=3，b2=a2c2=3又，解得a=2，c=1，椭圆C的方程为（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0故可设直线l：y=kx+m（m0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k

25、2）x2+8kmx+4m212=0，由题意可知，=64km4（4k2+3）（4m212）=48（4k2m2+3）0，即4k2+3m2，且，又直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，所以，将y1，y2代入并整理得m2（4k23）=0，因为m0，0m26，且m23，设d为点O到直线l的距离，则有，所以，所以三角形面积的取值范围为【点评】本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的范围的求法，考查转化思想以及计算能力21【分析】（1）求出原函数的导函数，分离参数a，由题意可得aex在（e，1）上恒成立，求出ex在（e，1）上的范围得答案；（2）求出函数F（x），求其导函数F

26、（x）=a=，可知当a0时函数F（x）在区间（0，）上单调递减，可得F（x）F（）0，函数F（x）在区间（0，）上无零点；当a0时，分0a4和a4分类分析，求得函数F（x）在区间（0，）内无零点的a的范围，则答案可求【解答】解：（1）f（x）=exax，f（x）=exa，函数f（x）在区间（e，1）上是减函数，f（x）=exa0在（e，1）上恒成立，aex在（e，1）上恒成立，y=ex在（e，1）上为增函数，ae1=；（2）函数F（x）=f（x）（ex2ax+2lnx+a）=ax2lnxa，x（0，），F（x）=a=，当a0时，F（x）0在（0，）上恒成立，函数F（x）在区间（0，）上单调递减

27、，则F（x）F（）=2ln a=ln40，a0时，函数F（x）在区间（0，）上无零点；当a0时，令F（x）=0得，x=，令F（x）0，得x，令F（x）0，得0x，因此，函数F （x）的单调递增区间是（，+），单调递减区间是（0，）（）当，即0a4时，函数F（x）的单调递减区间是（0，），F（x）F（）=a2lna=ln4，要使函数F（x）在区间（0，）内无零点，则ln40，得a4ln2；（ii）当，即a4时，函数F （x）的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，），F（x）min=F（）=22lna=2ln4+2lnaa，设g（a）=2ln4+2lnaag（a）=1=0，g（a）在（4，+

28、）上单调递减，g（a）g（4）=2ln4+2ln44=ln42=2（ln2lne）0，而当x0时，f（x）+，函数F（x）在区间（0，）内有零点，不合题意综上，要使函数F（x）=f（x）（ex2ax+2lnx+a）在区间（0，）内无零点，则a的最大值为4ln2【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是压轴题选修4-4：参数方程与极坐标系22【分析】（）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程（）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1t2|，化为关于

29、的三角函数求解【解答】解：（）C（，）的直角坐标为（1，1），圆C的直角坐标方程为（x1）2+（y1）2=3化为极坐标方程是22（cos+sin）1=0 （5分）（）将代入圆C的直角坐标方程（x1）2+（y1）2=3，得（1+tcos）2+（1+tsin）2=3，即t2+2t（cos+sin）1=0t1+t2=2（cos+sin），t1t2=1|AB|=|t1t2|=20，），20，），2|AB|2即弦长|AB|的取值范围是2，2）（10分）【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即可选修4-5：不等式选讲23【分析】（1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）0的解集（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（），再根据f（）4mm22 ，求得m的范围【解答】解：（1）函数f（x）=|2x1|x+2|=，令f（x）=0，求得x=，或 x=3，故不等式f（x）0的解集为x|x，或x3（2）若存在x0R，使得f（x0）+2m24m，即f（x0）4m2m2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=31=，故4m2m2 ，求得m【点评】本题主要考查分段函数的应用，函数的能成立问题，属于中档题