相交线与平行线-全章知识点归纳与典型题目练习.doc

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1、15相交线与平行线知识点梳理汇总一、知识结构图余角余角补角补角角两线相交 对顶角相交线与平行线同位角三线八角内错角同旁内角平行线的判定平行线平行线的性质尺规作图二、基本知识提炼整理（一）余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：（1）则(同角的余角或补角相等

2、)。（2）且则(等角的余角（或补角）相等)。6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。（二）对顶角1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。3、对顶角的性质：对顶角相等。4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。（三）同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。3、内错角：两个角

3、都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。（四）六类角1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。（五）平行线的判定与性质平行线的判定平行线的性质1、 同位角相等，两直线平行2、 内错角相等，两直线平行3、 同旁内角互补，

4、两直线平行4、 平行于同一条直线的两直线平行5、 垂直于同一条直线的两直线平行1、两直线平行，同位角相等2、两直线平行，内错角相等3、两直线平行，同旁内角互补4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（六）尺规作线段和角(了解)1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。3、尺规作图中直尺的功能是：（1）在两点间连接一条线段；（2）将线段向两方延长。4、尺规作图中圆规的功能是：（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；5、熟练掌握以下作图语言：（1）作射线；（2）在射线

5、上截取=；（3）在射线上依次截取=；（4）以点为圆心，为半径画弧，交于点；（5）分别以点、点为圆心，以、为半径作弧，两弧相交于点；（6）过点和点画直线（或画射线）；（7）在的外部（或内部）画=；6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。（1）画线段=；（2）画=；第五章 相交线与平行线 (分节知识点) 5.1.1相交线（详见课本第 2 页）图11、相交线的概念：在同一平面内，如果两条直线只有一个 点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图所示，直线AB与直线CD相交于点O。图22、对顶角的概念：若一个角的两条边分别是另一个角

6、的两条边的 延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图所示，1与3、2与4都是对顶角。3、对顶角的性质：对顶角 。4、邻补角的概念：如果把一个角的一边 延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图所示，1与2互为邻补角，由平角定义可知12180。 5.1.2垂线（详见课本第 3 页）1、垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 角时，就说这两条直线互相 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。 2、垂线的性质（1）（垂线公理）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有 条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有 条直线与已知直线 。

7、（2）（垂线推理）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最 。3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 线段的长度，叫做点到直线的 。4、 垂线的画法（工具：三角板或量角器）画法指点：一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。 5.1.3同位角、内错角、同旁内角（详见课本第 6 页）1、三线八角两条直线被第 条直线所截形成 个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如图6，直线被直线所截1与5在截线的同侧，同在被截直线的上方，叫做 角（位置相同）同位角是“F”型5

8、与3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做 角（位置在内且交错）内错角是“Z”型6BAD2345789FEC5与4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做 角。同旁内角是“I”型2、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。如图温馨提示：在确定同位角、内错角、同旁内角时，先要弄清哪两条直线被哪一条直线所截，然后依据它们的定义，也可由它们的名字的提示，准确找到所需要的角。同学们要注意：并不是同位角、内错角就相等，同旁内角就互补，而只有当这两条直线平行时，才会有这个性质。5.2.

9、1平行线（详见课本第11 页）1、 平行线的概念：在同一平面内，不 的两条直线叫做平行线。2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种： ； 。（通常把 的两直线看成一条直线）.垂直是特殊的相交关系。判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：3、平行线的表示方法平行用“ ”表示，如图8所示，直线AB与直线CD平行，记作ABCD，读作AB 平行于CD。4、平行线的画法：5、平行线的基本性质图8（1）平行公理：经过直线 一点，有且只有 条直线与已知直线 。 （2）平行推理：如果两条直线都和第 条直线平行，那么这两条直线也 。如左图8所示ABCDEF123

10、45.2.2平行线的判定（详见课本第 12 页）1、平行线的判定方法：（1）判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称： 同位角 ，两直线 （2）判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称： 内错角 ，两直线 （3）判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称： 同旁内角 ，两直线 （4）平行线的概念：如果两条直线没有交点（不 ），那么两直线平行。（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 。（平行于同一条直线的两条直线也 ）（6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线

11、 。（垂直于同一条直线的两条直线 ）5.3.1平行线的性质（详见课本第 18 页）1、平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线 ，同位角 。（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线 ，内错角 。（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线 ，同旁内角 。2、两条平行线的距离直线ABCD，EFAB于E，EFCD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。3平行线的性质与判定是互逆的关系:两直线平行 同位角相等； 两直线平行内错角相等； 两直线平行 同旁内角互补。5.3.2命题、定理（详见课本第 20 页）1、命题的概念：

12、 一件事情的语句，叫做命题。2、命题的组成：每个命题都是 、 两部分组成。 （1）题设是 事项； （2）结论是由已知事项 的事项。3、命题的表述句式：命题常写成“ ， ”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是 ，用“那么”开始的部分是 。4. 命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题。5. 定理：经过推理得到的真命题称为定理。 5.4平移（详见课本第 28 页）1、平移变换的概念：把一个图形 沿某一 方向移动，会得到一个新图形的平移变换。2、平移的特征：大小： ； 形状： ； 位置： ； 对应点的连线： 且 。（1）经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在

13、同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。图7（2）经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。ADBECF3.平移作图：平移作图的依据是平移的特征，其关键是确定平移后对应点的位置，并且在作图时要注意平移的方向和距离【考点例析】一、概念型考题主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理，常以选择题为主要题型例1如图1，下列条件中，不能判断直线的是（ ）21345图1（A）1=3（B）2=3（C）4=5（D）2+4=1800分析：本例可用平行线的判定方法采用排除法使问题得以解决A中1与3为内错角，1=3可得；C中4与5是两个相等的同位角，可得；D中2与4是两个互补

14、的同旁内角，可得只有B不能确定答案：应选（B）点评：本题主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理的理解与运用情况二、计算型考题主要考察平行线的性质；互余、互补角的性质，常以填空题为主要题型；例2如图2,，分别在上，为两平行线间一点，那么（ ）abMPN123图2ABCD分析：此题考查平行线的性质. 点P为两平行线间折线的拐点，可过此点作a或b的平行线，并证明与b或a平行，从而可利用平行线的性质求解. 此题也可延长MP与直线b相交，从而可利用三角形的外角的性质及平行线的性质求解.此类题的解题思路是添加辅助线，构造两平行线间的截线，或构造三角形，再利用有关图形的性质证明求解.解：过点P作PAa，则

15、180180=360，所以选择 C。点评：本题虽然是选择题型，它重点考查学生运用平行线的性质、互余、互补角的性质等知识通过简单的推理计算来解决问题的三、说理型考题EBACDF1图3例3小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图3，所示的零件，工人师傅告诉他：ABCD，A=40，1=70，小明马上运用已学的数学知识得出了C的度数，聪明的你一定知道C= 分析：本题源于生活实际问题，但考生可借助平行线的性质定理和三角形内角和定理，由此可获得两种解题思路解：方法1：连结AC，由ABCD，得BAC+ACD=180，从而ECD=180-40-（180-70）=30方法2：过E作EFAB，由

16、平行线的性质定理，得BAE=AEF，DCE=FEC，从而DCE=1-A=70-40=30点评：本题主要运用了平行线的性质定理和三角形内角和定理，借助于添加辅助线的方法，将问题转化为可解问题，今后同学们经常会遇到这种带有“折线”、“拐角”类的题目，解决这类问题，必须要掌握“平移”与“分割”的思想，解决问题的办法有二：一要连结线段，构成三角形，然后运用三角形内角和定理；二是过“拐点”作平行线将一个角分成两个角，然后再运用平行线的性质定理，问题便自然得到解决，但解本题时，还要注意找准“内错角”，否则容易出错！四、操作画图型例4一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后(如图4)，行驶的方向与原来的方向相

17、同，这两次拐弯的角度可能是（ ）A. 第一次向左拐300，第二次向右拐300 B. 第一次向右拐500，第二次向左拐1300C. 第一次向右拐500，第二次向右拐1300 D. 第一次向左拐500，第二次向左拐1300D5001300BA3003001300500分析：解决本题的关键是准确地画出示意图，如图10：C1300500图4答案：应选A.点评：本题单纯从文字方面去分析，很难判断出结果，若画出上述图形来分析，结果是显然的，本题属于操作画图型中考题五、开放创新型主要考察学生的探究能力，常以解答题为主要题型例5如图5，E在直线DF上，B在直线AC上，若AGB=EHF，C=D，试判断A与F的关

18、系，并说明理由分析：从图中可以猜测A=F，但题目没有告诉DFAC，所以需要根据已知条件说明DFACABCDEFGH图5解：A=F理由：因为AGB=DGF，AGB=EHF，所以DGF=EHF，所以BDCE，所以C=ABD，又C=D，所以D=ABD，所以DFAC，所以A=F的点评：例5主要对学生的分析、探究、综合、发散等创新思维能力的考查，学生必须具有一定的归纳、探索及思考能力才能顺利解决问题相交线与平行线练习题1. 两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_.2. 两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的

19、反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_.对顶角的性质：_ _.3. 两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_.垂线的性质：过一点_一条直线与已知直线垂直.连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做_.5. 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做_ ；如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做_ ；如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫

20、做_.6. 在同一平面内，不相交的两条直线互相_.同一平面内的两条直线的位置关系只有_与_两种.7. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线_.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_.8. 平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_.9. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_ .10. 平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成

21、：.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：_.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：_ . 11. 判断一件事情的语句，叫做_.命题由_和_两部分组成.题设是已知事项，结论是_.命题常可以写成“如果那么”的形式，这时“如果”后接的部分是，“那么”后接的部分是_.如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题叫做_.如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做_.定理都是真命题.12. 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称_. 图形平移的方向不一定是水平的.平移的性质：把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状

22、与大小完全_.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点. 连接各组对应点的线段_.13、下列语句中，是对顶角的语句为( )A.有公共顶点并且相等的两个角 B.两条直线相交，有公共顶点的两个角C.顶点相对的两个角 D.两条直线相交，有公共顶点没有公共边的两个角14、下列说法正确的是（ ）A.两点之间，直线最短； B.过一点有一条直线平行于已知直线； C.和已知直线垂直的直线有且只有一条； D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.15、一束光线垂直照射在水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（

23、）A. 45， B. 60， C. 75， D. 8016如图5，能表示点到直线（或线段）距离的线段有（ ）A2条B3条C4条D5条17.如图，图5那么点A到BC的距离是_，点B到AC的距离是_，点A、B两点的距离是_，点C到AB的距离是_18.如图，已知AB、CD、EF相交于点O，ABCD，OG平分AOE，FOD28，求COE、AOE、AOG的度数19.如图，与是邻补角，OD、OE分别是与的平分线，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由20、如图，下列说法错误的是( )A.1和3是同位角 B.1和5是同位角C.1和2是同旁内角 D.5和6是内错角21、下列图中1和2是同位角的是（ ）A. 、

24、， B. 、， C. 、， D. 、21、如图，已知ABCDEF，BCAD，AC平分BAD，那么图中与AGE相等的角有( )A.5个B.4个C.3个D.2个22、如图，已知1=B，2=C，则下列结论不成立的是( ) A.ADBC B.B=C C.2+B=180 D.ABCD23、下列命题正确的是( ) A.内错角相等 B.相等的角是对顶角 C.三条直线相交 ，必产生同位角、内错角、同旁内角 D.同位角相等，两直线平行 20、两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线( ) A.互相重合 B.互相平行 C.互相垂直D.无法确定 6、如图，DHEGEF，且DCEF，那么图中和1相等的角的个数是（

25、 ）A. 2， B. 4， C. 5， D. 67、如图，ABCD，BAE = 120，DCE = 30，则AEC = 度.8、把一张长方形纸条按图中，那样折叠后，若得到AOB= 70，则OGC = .9、如图中DAB和B是直线DE和BC被直线 所截而成的，称它们为 角.17.设、b、c为平面上三条不同直线，a) 若，则a与c的位置关系是_；b) 若，则a与c的位置关系是_；若，则a与c的位置关系是_18.如图7，下列不能判定FBCE的条件是（ ）（A）F+B=180（B）ABF=C（C）F=C（D）A=D19. 如图8，下列各式是正确的是（ ）（A）1与4是同位角（B）1与3是同位角（C）2

26、与4是同位角（D）2与3是同位角2134图8BACDEF图720. 如图9所示，直线ab，则A= 度A2850aCbB图10图10图921. 如图10，ABCD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分BEF交CD于点G，1=50，求2的度数22如图11，直线ab，则ACB=_.23如图，ABDE，试问B、E、BCE有什么关系解：BEBCE过点C作CFAB，则_（ ）又ABDE，ABCF，_（ ）E_（）BE12即BEBCE24如图，已知12求证：ab直线，求证：25.阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知ABCD，12，试说明EPFQ证明：ABCD，MEBMFD（）又12，MEB1MFD

27、2，即MEP_ EP_（）26已知DBFGEC，A是FG上一点，ABD60，ACE36，AP平分BAC，求：BAC的大小；PAG的大小.27如图，已知，于D，为上一点，于F，交CA于G.求证.28.已知：如图1=2，C=D，问A与F相等吗？试说明理由29如图4，已知ABCD，BDCE求证：CD平分BCE30如图5，已知：ABCCDA，DE平分CDA，BF平分ABC，且AEDCDE求证：DEFB31如图10，已知ABBC，1290，23求证：BEDF32如图11，已知ABCD，AMP150，PND60求证：MPPN33已知：如图12，ADBC于D，EFBC于F，交AB于G，交CA延长线于E，12

28、求证：AD平分BAC，填写分析和证明中的空白34如图9，已知ABE +DEB = 180，1 =2，求证：F =G图912ACBFGED 35.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A是120，第二次拐的角B是150，第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，问C是多少度？说明你的理由36.（1）如图，若ABDE，B=135，D=145，你能求出C的度数吗？（2）在ABDE的条件下，你能得出B、C、D之间的数量关系吗？并说明理由37如图13，ABCD，NCM=90，NCB=35，CM平分BCE，求B的大小.图13 C D C D 20.（1）题 20.（2

29、）38.已知：AB/CD，（1）试探索（1）图中APC，PAB，PCD的关系，并证明你的结论。（2）在图（2）中，这个结论还成立吗？如果不成立，它们应该满足怎样的关系？（不用证明）39（1）作直线AB与CD相交；（2）在直线上取一点C；（3）相交的角是对顶角；（4）偶数是2. 在以上各语句中，是命题的为（ ）A（1）（3）B（3）（4）C（1）（3）（4）D（1）（2）（3）40. 命题：对顶角相等；垂直于同一条直线的两直线平行；相等的角是对顶角；同位角相等。其中错误的有（ ）A1个B2个C3个D441.个判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例： 若ab，则两个锐角的和是锐

30、角同位角相等，两直线平行一个角的邻补角大于这个角 两个负数的差一定是负数42对于同一平面的三条直线，给出下列5个论断，ab bc ab ac ac。以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题已知：_结论_.43下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是_.摆动的钟摆 在笔直的公路上行驶的汽车 随风摆动的旗帜 摇动的大绳 汽车玻璃上雨刷的运动 从楼顶自由落下的球（球不旋转）44、在以下现象中， 温度计中，液柱的上升或下降； 打气筒打气时，活塞的运动； 钟摆的摆动； 传送带上，瓶装饮料的移动。 属于平移的是（ ）（A） ， （B）， （C）， （D） ，45、在下面五幅图案中，

31、(2)、(3)、(4)、(5)中哪一幅图案可以通过平移图案(1)得到.（ ）A.(2) B.(3) C.(4) D.(5)46.如图，方格纸中的三角形要由位置（1）平移到位置（2），要经过怎样的平移？47、经过平移，对应点所连的线段_ 且_ _，对应线段_ _且_ _，对应角_ _。48、如图，当半径为30cm的转动轮转过120角时，传送带上的物体A平移的距离为 cm 。CABEF49、经过平移，ABC的边AB移到了EF，作出平移后的三角形 (第15题图)50、如图，在四边形ABCD中，ADBC，BCAD，B与C互余，将AB，CD分别平移到EF和EG的位置，则EFG为_ _三角形，若AD=2c

32、m，BC=8cm，则FG =_ _。51、将字母A按箭头所指的方向,平移3, 作出平移后的图形. 解：作法：5、应用实际、解决问题（每小题5分，共10分） 如图(a)所示,五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地示意图,经过多年开垦荒地,现已变成图(b)所示的形状,但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图(b)中折线CDE)还保留着.张大爷想过E点修一条直路,直路修好后,要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多,右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.请你用有关知识,按张大爷的要求设计出修路方案.(不计分界小路与直路的占地面积) (1)写出设计方案,并在图中画出相应的图形; (2)说明方案设计理由. (a) (b) 现有如图所示的六种瓷砖，请用其中的4块或6块瓷砖（准许使用相同的），设计出美丽的图案.然后利用你设计的图案，通过平移，或旋转，或轴对称，设计出更加美观的大型图案.例如：- 21 -