七年级数学下册-第6章-一元一次方程电子课本-华东师大版.doc

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1、第6章一元一次方程26.1 从实际问题到方程26.2 解一元一次方程41. 方程的简单变形42. 解一元一次方程6阅读材料10方程史话106.3 实践与探索10阅读材料1423？14小结14复习题15第6章一元一次方程一队师生共328人，乘车外出旅游，已有校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还要租多少辆客车？44？643286.1 从实际问题到方程问题1某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？回 忆小学里已经学过列方程的解法，我们不妨回顾一下：设需租用客车x辆，共可乘坐44x人，加上乘坐校车的64人，就是全体328人可得 44

2、x64328解这个方程，就能得到所求的结果问题2在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”“三年!”小敏同学很快发现了答案他是这样算的：1年后，老师的年龄是46岁，同学的年龄是14岁，不是老师年龄的；2年后，老师的年龄是47岁，同学的年龄是15岁，也不是老师年龄的； 3年后，老师的年龄是48岁，同学的年龄是16岁，恰好是老师年龄的 也有的同学说，我们可以列出方程来解： 设x年后同学的年龄是老师年龄的，而x年后同学的年龄是（13x）岁，老师的年龄是（45x）岁，可得 13x（45x） 这个方程不像问题1中的方程那样容易求出它

3、的解但小敏同学的方法启发我们，可以用尝试、检验的方法找出方程的解，即只要将x1，2，3，4，代入方程的左右两边，看哪个数能使两边的值相等这样得到x3是方程的解思 考如果未知数可能取到的数值较多，或者不一定是整数，该从何试起？如果试验根本无法入手又该怎么办？练 习根据题意设未知数，并列出方程（不必求解）：1. 某班原分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将第一组人数调整为第二组人数的一半，应从第一组调多少人到第二组去？2. 小明的爸爸三年前为小明存了一份3000元的教育储蓄.今年到期时取出，得到的本息和为3243元.请你帮小明算一算这种储蓄的年利率.习题6.11

4、. 检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解：（1） ，；（2） 2（y2）9（1y）3（4y1）， 10，102. 根据班级内男、女同学的人数编一道应用题，和同学交流一下3. 小赵去商店买练习本，回来后问同学：“店主告诉我，如果多买一些就给我八折优惠我就买了20本，结果便宜了1.60元你猜原来每本价格多少?”你能列出方程吗？6.2 解一元一次方程1. 方程的简单变形联 想测量一些物体的质量时，我们经常将它们放在天平的左盘内，在右盘内放上砝码，使天平处于平衡状态，这时两边的质量相等，我们就可测得该物体的质量如果我们在两边盘内同时添上（或取下）相同质量的物体，可以发现天平依然平衡；如果

5、我们将两边盘内物体的质量同时扩大到原来相同的倍数（或同时缩小到原来的几分之一），也会看到天平依然平衡图6.2.13反映了由天平联想到的几个方程的变形x+2=5 x=5-2图6.2.13x=2x+2 3x-2x=2图6.2.22x=6 x=62图6.2.3归 纳我们可以看到，方程能够这样变形：方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解例1解下列方程：（1） x57； （2） 4x3x4 解 （1） 由 x57，两边都加上5，得 x75 ，即x12（2） 由 4x3x4，两边都减去3x，得

6、4x3x4，即 x4概 括像这样，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项（transposition）例2解下列方程：（1） 5x2； （2）x 解 （1） 方程两边都除以5，得x （2） 方程两边都除以（或乘以），得x ，即 x这里的变形通常称作“将未知数的系数化为1”概 括以上例1和例2解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到xa的形式练 习1 列方程的变形是否正确？为什么？（1） 由3x=5,得x=5+3; （2）由7x=-4,得x=-;（3） 由,得y=2; （4）由3=x-2,得x=-2-3.2. (口答)求下列方程的解：（1）x-6=6; （2）7x=

7、6x-4;（3）-5x=60; （4）.3.用方程的变形解6.1中问题1所列出的方程.做一做利用方程的变形，求方程2x31的解，并和同学讨论与交流.例3解下列方程：（1） 8x2x7； （2） 682x；（3） 解 （1） 8x2x7，8x2x7，6x7，x=.（2） 682x，82x6，2x2，x1（3） ，y=练 习解下列方程：1. 3x40 . 2. 7y66y3. 5x27x8 4. 3y2y16y.5. . 6. 1xx习题6.2.11. 解下列方程：（1）185x; （2）;（3）3x74x6x2; （4）10y511y52y;（5）a152a; （6）0.3x1.22x1.22.

8、7x.2. 解下列方程：（1）2y3116y （2）2x15x7（3）x12x1; （4）x35x3. 已知y13x2,y24x.(1)当x取何值时，y1=y2? (2)当x取何值时，y1比y2大4？2. 解一元一次方程前面我们遇到的一些方程，例如44x64328，13x（45x）等等，有一个共同特点，它们都只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）我们再一起来解几个一元一次方程例4解方程： 3（x2）1x（2x1） 解 原方程的两边分别去括号，得3x61x2x1， 3x5x1

9、， 3xx15， 4x6， x练 习1 解下列方程：（1）5（x2）2(5x1);（2）(x1)2(x1)=13x;（3）2(x2)(4x1)=3(1x).2 列方程求解：（1）当x取何值时，代数式3（2x）和2（3+x）的值相等？（2）当y取何值时，2（3y+4）的值比5（2y-7）的值3？3解6.1中问题2所列出的方程.例5解方程： 解 由原方程得 3（x3）2（2x1）6， 3x94x26， 3x4x692， x17， x17 在上述解方程的过程中，第一步是方程的两边都乘以同一个数6，使方程中的系数不出现分数这样的变形通常称为“去分母”讨 论 在以上各例解一元一次方程时，主要进行了哪些变

10、形？如何灵活运用这些变形合理、简洁地解一元一次方程？练 习1 指出下列方程求解过程中的错误，并给予纠正：（1）解方程： （2）解方程：解： 15x-5=8x+4-1, 解： 2x-2-x+2=12-3x15x-8x=4-1+5, 2x-x+3x=12+2+2 7x=8 4x=16 x=4.2解下列方程：（1） （2）例6如图6.2.4，天平的两个盘内分别盛有51 g、45 g盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内，才能使两者所盛盐的质量相等？分析 设应从盘A内拿出盐x g，可列出表6.2.1 解 设应从盘A内拿出盐x g放到盘B内，则根据题意，得51x45x解这个方程，得x3经检验，符合题意答

11、： 应从盘A内拿出盐3 g放到盘B内例7 学校团委组织65名新团员为学校建花坛搬砖女同学每人搬6块，男同学每人搬8块，每人搬了4次，共搬了1800块问这些新团员中有多少名男同学？ 分析 设新团员中有x名男同学，可列出表6.2.2解 设新团员中有x名男同学，则根据题意，得32x24（65x）1800解这个方程，得x30经检验，符合题意答： 新团员中有30名男同学 练 习1. 学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米/秒的速度跑完了大部分路程,最后以8米/秒的速度冲刺到达终点,成绩为1分零5秒,问小刚在冲刺阶段花了多少时间?2. 将上题的分析和列得的方程与例7相比较，看看是否相似.将你的想法和

12、同学交流一下.3 第1题中，若问“小刚在离终点多远时开始冲刺”，你该如何求解？归 纳用一元一次方程解答实际问题，关键在于抓住问题中有关数量的相等关系，列出方程.求得方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答.这一过程也可以简单地表述为：其中分析和抽象的过程通常包括：（1）弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；（2）找出能表示问题含义的一个主要的等量关系；（3）对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得到方程.在设未知数和解答时，应注意量的单位.习题6.2.21解下列方程：（1）; （2）2 解下列方程：（1）； （2）；（3）.3（1）在等式S=中，已知S=27

13、9，b=7，n=18，求a的值.（2）已知梯形上底a=3，高h=5，面积S=20,根据梯形的面积公式S=，求下底b的长.4 球的表面是由一些呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，共计有32块，已知黑色块数比白色块数的一半多2，问两种皮块各有多少？5 学校大扫除，某班原分成两个小组，第一组26人打扫教室，第二组22人打扫包干区.这次根据工作需要，要使第二组人数是第一组人数的2倍，那么应从第一组调多少人到第二组去？6 学校所在地的出租车计价规则如下：行程不超过3千米，收起步价8元，超过部分每千米路程收费1.20元.某天李老师和三位学生去探望一位病假的学生,坐出租车付了17.60元,他们共乘坐了多少路程?

14、阅读材料方程史话你知道吗?现存世界上最古老的方程出现在英国考古学家兰德1858年找到的一份古埃及人的“纸草书”上，经破译，上面都是一些方程，共85个问题.如“啊哈，它的全部，它的，是19”；“一堆，它的，居然是33”.译得更明白一点就是：在我国，“方程”一词最早出现于东汉初年（公元前后）的数学经典著作九章算术的第八章“方程”，到唐、宋时期，对方程的研究达到我国古代的鼎盛阶段.这时所创立的用“天元术”解题，从设未知数到列方程都和现代数学十分相似.也就是在这段时期，方程的知识从中国传入日本.古希腊数学家丢番图（Diophantus），是以研究一类方程（不定方程）著称于世的数学家.在他的墓碑上，刻写

15、着这样一段墓志铭：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄.6.3 实践与探索问题1用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形（1） 使长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽（2） 使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积（3） 比较（1）、（2）所得两个长方形面积的大小还能围出面积更大的长方形吗？讨 论每小题中如何设未知数？在

16、第（2）小题中，能不能直接设面积为x平方厘米？如不能，该怎么办？探 索将题（2）中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0厘米（即长与宽相等），长方形的面积有什么变化？练 习1 一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱,它的高是多少?(精确到0.1厘米,取3.14)2 在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.读一读 本节问题1中，通过探索我们发现，长方形的周长一定的情况下，它的

17、长和宽越接近，面积就越大.当长和宽相等，即成为正方形时，面积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理.有趣的是：若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形（包括随意七凹八凸的不规则图形），面积最大的是圆.这里面的道理需要较为高深的学问.将来你有兴趣去认识它吗？小常识本章6.1练习中讨论过的教育储蓄，是我国目前暂不征收利息税的一种储蓄国家对其他储蓄所产生的利息，征收20%的个人所得税，即利息税问题2 小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器问小明爸爸前年存了多少元？讨 论 扣除利息的20%，那么实际得到利息的多少？你

18、能否列出较简单的方程？练 习填空：1. (1)学校图书馆原有图书a册,最近增加了20%,则现在有图书_册;(2)某煤矿预计今年比去年增产15%,达到年产煤60万吨,设去年产煤x万吨,则可列方程_;(3)某商品按定价的八折出售,售价14.80元,则原定价是_元.2. 肖青的妈妈前年买了某公司的二年期债4500元,今年到期,扣除利息税后,共得本利和约4700元.问这种债券的年利率是多少 (精确到0.01%)?习题6.3.11. 一个角的余角比这个角的补角的一半小40，求这个角的度数2. 一张覆盖在圆柱形罐头侧面的商标纸，展开是一个周长为88厘米的正方形（不计接口部分），求这个罐头的容积（精确到1立

19、方厘米，取3.14）3. 有一批截面是长11厘米、宽10厘米的长方形铁锭，现要铸造一个42. 9千克的零件，应截取多长的铁锭（铁锭每立方厘米重7.8克）？4. 某市去年年底人均居住面积为11平方米，计划在今年年底增加到人均13.5平方米求今年的住房年增长率（精确到0.1%）5. 某银行设立大学生助学贷款，分34年期，57年期两种贷款年利率分别为6.03%、6.21%，贷款利息的50%由国家财政贴补某大学生预计6年后能一次性偿还2万元，问他现在大约可以贷款多少（精确到0.1万元）？问题3 小张和父亲预定搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷在行驶了一半路程时，小张向司机询问行车时间，司机

20、估计继续乘公共汽车到火车站时火车将正好开出根据司机的建议小张和父亲随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达火车站已知公共汽车的平均速度是30千米时，问小张家到火车站有多远？ 吴小红同学给出了一种解法： 设小张家到火车站的路程是x千米，由实际乘车时间比原计划乘公共汽车提前了小时，可列出方程解这个方程：,4x2xx30，x30经检验，它符合题意答： 小张家到火车站的路程是30千米张勇同学又提出另外一种解法：设实际上乘公共汽车行驶了x千米，则从小张家到火车站的路程是2x千米，乘出租车行驶了x千米注意到提前的小时是由于乘出租车而少用的，可列出方程 解这个方程，得 x15 2x

21、30 所得的答案与解法一相同讨 论 试比较以上两种解法，它们各是如何设未知数的？哪一种比较方便？是不是还有其他设未知数的方法？试试看练 习1. 为庆祝校运会开幕,初一(2)班学生接受了制作小旗的任务.原计划一半同学参加制作,每天制作40面.完成了三分之一以后,全班同学一起参加,结果比原计划提前一天半完成任务,假设每人的制作效率相同,问共制作小旗多少面?2. 将上题与问题3比较,你发现了什么?3. 编一道联系实际的数学问题,使所列的方程是3x+4(45-x)=150.并与同学交流、比较一下.习题6.3.21. 师徒两人检修一条长180米的自来水管道，师傅每小时检修15米，徒弟每小时检修10米现两

22、人合作，多少时间可以完成整条管道的检修？2. 学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元店方表示：如果多购，可以优惠结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润求每套课桌椅的成本3. 师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成要10小时，徒弟单独完成要15小时现两人合作，需多少小时完成？4. 中国民航规定： 乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李， 超过部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票一名旅客带了35千克行李乘机，机票连同行李费共付1 323元，求该旅客的机票价5. 小王每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼两人沿400米跑道跑步，每次总是小王跑2圈

23、的时间，叔叔跑3圈一天，两人在同地反向而跑，小明看了一下记时表，发现隔了32秒钟两人第一次相遇求两人的速度第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑，看叔叔隔多少时间再次与他相遇你能先给小王预测一下吗？问题4 课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”，就因校长叫他听一个电话而离开教室 调皮的小刘说：“让我试一试”上去添了“两人合作需几天完成?” 有同学反对：“这太简单了!”但也引起了大家的兴趣，于是各自试了起来：有添上一人先做几天再让另一人做的，有两人先合作再一人离开的，有考虑两人合作完成后的报酬问题的 李老师

24、回教室后选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出： 现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？ 试解答这一问题，并与同学们一起交流各自的做法习题6.3.31. 试将下题内容改为与我们日常生活、学习有关的问题，使所列得的方程相同或相似：食堂存煤若干吨，原来每天烧煤3吨，用去15吨后，改进设备，耗煤量改为原来的一半，结果多烧了10天，求原存煤量2. 试对以下情境提出问题，并讨论解答（必要时可对情境作适当补充）：某班级组织去风景区春游，大部分同学先坐公共汽车前往，平均速度为24千米时；4名负责后勤的同学晚半小时坐校车出发，速度为60千米时，同

25、时到达山脚下到达后发现乘坐缆车上山费用较大，且不能游览沿途风景于是商定： 大部队步行上山，4名后勤改为先遣队，乘缆车上山，做好在山顶举行活动的准备缆车速度是步行的3倍，步行同学中途在一个景点逗留了10分钟，到达山顶时比先遣队晚了半小时阅读材料23？小红和小兵一起讨论方程的解法.小红说，移项求解：x=1小兵边听边想，只见他写下了如下的式子：23小红一看，怎么，23？！你能帮助他们解开这个谜吗？ 小结一、知识结构二、注意事项1 对一元一次方程的认识，要联系生活实际，在学习中体会：方程是反映现实世界中数量相等关系的一个有效的数学模型.2 解一元一次方程时，要注意合理地进行方程的变形，也要注意根据方程

26、的特点灵活运用.3 在应用一元一次方程解实际问题时，要学会分析问题的本领.能根据题意，将实际问题转化为数学问题，特别是寻求主要的数量相等关系，列出方程.求得方程的解后，要注意检验所得结果是否符合实际问题的要求.复习题A组1 解下列方程：（1）（2）（3）4x32(x1)1；（4）（5）（6）2（1）x取何值时，代数式4x5与3x6的值互为相反数？（2）k取何值时，代数式的值比的值小1？3课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样比原来减少2组问这些学生共有多少人？4一种药品现在售价每盒56.10元，比原来降低了15%，问原售价多少元？5用一根直径12厘米的圆柱

27、形铅柱，铸造10只直径12厘米的铅球，问应截取多长的铅柱（球的体积为R3）？6一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上数字的3倍少2.若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1 171，求这个三位数7 一年级三个班为希望小学捐赠图书1班捐了152册，2班捐书数是三个班级的平均数，3班捐书数是年级总数的40%，三个班共捐了多少册？B组8 （1）（2）（3）（4）9 已知x是方程的解，求m的值10当k取何值时，方程2（2x3）12x 和 8k2（x1）的解相同？11（1） 阅读以下例题： 解方程3x1 解： 当3x0时，原方程可化为一元一次方程3x1， 它的解是

28、; 当3x0时，原方程可化为一元一次方程 3x1， 它的解是. 所以原方程的解是，（2） 解下列方程： x32； 2x1512学校在植树活动中种了杨树和杉树两类树种，已知种植杨树的棵数比总数的一半多56棵，杉树的棵数比总数的三分之一少14棵两类树各种了多少棵？13一家商店将某型号彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”经顾客投诉后，执法部门按已得非法收入的10倍处以每台2 700元的罚款求每台彩电的原售价.C组14从甲地到乙地公共汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，路程近了30千米，而车速平均每小时增加了30千米，只需4个小时即可到达。求甲乙两地之间高速公路的路程。15

29、当x2时，代数式2x2（3c）xc的值是10，求当x3时这个代数式的值 16一批树苗按下列方法依次由各班领取：第一班取100棵和余下的，第二班取200棵和余下的，第三班取300棵和余下的，最后树苗全部被取完，且各班的树苗数都相等求树苗总数和班级数 17小赵为班级购买笔记本作晚会上的奖品回来时向生活委员小陈交账说：“一共买了36本，有两种规格，单价分别为1.80元和2.60元去时我领了100元，现在找回27.60元”小陈算了一下，说：“你肯定搞错了”小赵一想，发觉的确不对，因为他把自己口袋里原有的2元钱一起当作找回的钱款给了小陈请你算一算两种笔记本各买了多少？想一想有没有可能找回27.60元，试应用方程的知识给予解释 18初一（5）班有46名学生，安排值日生时要考虑： 周一至周五每天除打扫教室外，还要打扫学校包干区；包干区面积不大，平时人数可少些，周五大扫除要和打扫教室人数差不多；周一早晨需安排1至2名同学整理教室；每位同学每周轮到一次值日请你代理劳动委员，安排值日人数