专题14 圆锥曲线中的证明问题（解析版）.docx

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1、专题14圆锥曲线中的证明问题一、考情分析 圆锥曲线中的证明问题在高考时有出现，主要有两大类：一是证明点线位置关系，如直线或曲线过某个点、直 线平行与垂直、直线对称等问题，二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系，如相等与不相等.二、解题秘籍（一）证明直线或圆过定点证明直线过定点，通常是设出直线方程尸丘+根，由已知条件确定太加的关系.若根=成+。，则y = 卮 + m = %（x + a） + b,则直线过定点，证明圆过定点，常见题型是证明以A3为直径的圆过定点P,只需证明【例1】（2023届重庆市南开中学校高三上学期质量检测）已知椭圆C：5+营自包。）的离心率为孝, 椭圆的上顶点B到两焦点的距离

2、之和为4.求椭圆。的标准方程;若直线/： y =丘+机与椭圆。交于异于点5的两点P,Q,直线5P石。与x轴相交于M（x,O）,N（凤,0）,若1 1 .一+ = 1,求证：直线/过一定点，并求出定点坐标.XM XN【解析】（1） =立，2。= 4,。=2, = 6,/=2一。2=1. a 2丫2故椭圆方程为L + y2=i；4 .y = kx + m（2）联立直线和椭圆可得x2 2 ，解得(1 + 4-)2 +87tx + 4/%2 4 = 0彳 + y =1于是有：A =(8切 4(1 + 4/)(4m2-4)0m2 =息+ 1,3。： =上、+ 1, 5X?分别和y=。联立得,xm=1 ,

3、无n =.一 y 1 一 %111 )11 )21由+ = 1,得十 一=1,即XNX %2整理得(24+1)西%2+(加_1)(百+%2)=,（2）依题意作如图:设P（%, x）,。（，%），直线/的方程为y =+,设P（%, x）,。（，%），直线/的方程为y =+,将点（2,-1）代入得：m = 2k l.直线/： 二正一（2%+ 1）.丫2由于椭圆 C ： ? + V = 1, A（0-l）,B（2,0）,工2=1联立方程 十，一得（4女2+1）犬2一8（2% + ）工+16公+ 16% = 0,y =履_（2 k+ 1）由 = 64人 0,得 0,16-2+8%4+玉=4公+ 116

4、-2+8%4+玉=4公+ 116/ +16%4k2 +1直线A4的方程为：x-2y-2 = 0,直线8。的方程为：y = -（x-2）9x1一乙直线A4的方程为：x-2y-2 = 0,直线8。的方程为：y = -（x-2）9x1一乙X =烟-（2Z + 1） y2 = kx2 _（2左 + 1）运用运用0力0）的左、右顶点分别 为A，4,右焦点为/（2,0）,点P为。上一动点（异于A，4两点），直线P4和直线P4与直线x = l分别交于MN两点,当尸产垂直于x轴时,的面积为2.（1）求。的方程;（2）求证：NMFN为定值，并求出该定值.【解析】（1）由题意知c = 2,则/+。2=4.当F_L

5、x轴时,|。b|=2, a右2故044的面积S = L.2巴=从=2,解得a = b = a22故。的方程为L- = l.22（2）由（1）得4（-亚0）,4（仓0）,设尸（如心乂土G）,则直线尸4：丁= .）。w（x+3），令7=1,得加=.w（i + 3）；X。+ / 2%0 + 5/2直线 9： y = （x -）,x=iyN = -7=（i-V2）.x0 72x0 v22因为=- =2,故 MN =-1 耘2又 FM = （-1,yM）,FN = （-1,%），则 FM-FN = l + yMyN .因止匕雨.成= l + yMMv=O,故 FM J, F7V,即 ZMFN = 90

6、.5. （2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期10月联考）记以坐标原点为顶点、尸（1,0）为焦点的抛物线为C, 过点尸的直线/与抛物线。交于A,3两点.已知点M的坐标为（-2,0），求ZAMB最大时直线AB的倾斜角；当/的斜率为5时,若平行/的直线加与。交于，N两点，且40与3N相交于点T,证明：点7在定直线上.【解析】（1）设直线的方程为 =缈+ 1,4&,%）,3（巧,）（3。，=工,则曲线后在7处的切线的斜率为4=2=2,所以曲线E在7处的切线方程为y = 2x-2,联立联立y = x+m / jx = 771 + 2y = 2x-2 /*jy = 2m+ 2，所以 N（m+2,2m+2

7、）,所以|NT=（m + 2-2）2+（2m + 2-2）2 =5m2,ry = x+m1联立2 C ，化简得 了2-2x-2m=0,有 Aud + g%,。,解得2-7，x =2y2设 4（%,%2），5（孙%），则% +=2,%=一2 根，因为N,A,5在/上，所以|网=及|%-（m+ 2）,|叫=夜上-（m+2）|.所以|M4、N却=2, （2 + 2川工2 （m+ 2）| =2七% -（2 +2）（% +）+（加+ 2）2 =2m2,因为加开=5,所以7 sN7f =一阿步周.7.已知双曲线：=双曲线的右焦点为圆。的圆心在y轴正半轴上，且经过坐标原点0,圆。与双曲线的右支交于A、B两点

8、.当。助是以尸为直角顶点的直角三角形，求。物的面积； 若点A的坐标是(逐,1),求直线AB的方程；(3)求证：直线A3与圆f+y2=2相切.【解析】(1)由题意。必是以尸为直角顶点的直角三角形，尸(20,0), 所以点4在直线x = 20处，设人(2力代入V y2=4,解得尸2,取产2则A(2立,2),所以。刚的面积Sa”a =2血x2 = 2血；(2)设圆。圆心坐标为(0,间，因其过原点，则故圆C方程为：x2 +(y-m)2 =m2.代入点A(V5,1)，得5 + (1-加=疗，解得z = 3.无2 +( v - 3)2 =9将圆。方程与/ )/=4联立得 J?，消去x得：V_3y + 2

9、= 0 x-y- =4解得X = 1,% = 2.又3点在双曲线右支，故3(2血,2).则A8方程为：导=月上万.化简为=2& +6._乔)+ 即)=逆 +逐/_2而+ 2(3)证明：由题直线AB斜率必存在，故设直线AB的方程为3 =依+加2 (x/,y/) ,B G2J2),圆 C 的方程为x2y-h)2=h2 (0),”,消去y得：(1 - F _ 2协式一(+4=02kmm2 +4h中2=一17*1_ / w 0由题意，得：A八，且X+%2 =A0由吃。消去%化简得:由吃。消去%化简得:丁 一勿+ 2 = 0,所以 y% =2.所以 y % =（入i + 切）（&2 + 6）=k2xx2

10、 + km（x + x2） + m2 = 2,m2 +4m2 +4-k2. 2km 9+ km7 + m-k2-k2nr - 4k2 + 2k2ml +m2 - nrk2-k2=2rrr 4k2 二1-公= 5/299 m= 2nm- =2 + 2K n /J1 +/得原点。到直线A3的距离4 =渭匕=旦所以直线刖与圆f + y2=2相切.8. （2023届湖北省重点高中智学联盟高三上学期10月联考）已知直线4：）: 一当x + 2与椭圆：二十r=1 242相切于点加，与直线4： =走 +，相交于点N （异于点Af ）.2求点M的坐标；（2）直线4交E于点A（/ x）, 8（%）两点,证明：人

11、ANM samNB.【解析】（1） = -y + 2,消y得：工2_2加1 + 2 = 0,解得: x2 +2y2 =4（2）联立（2）联立x+22V2x +，2，解之得：N垃-乌.2 2JV2联立联立一三*+，消得：/+血比+/一2=0, x2 +2y2 =4、2、2由题可得：A=8 2 0,%+9=-V,%/2 =2.3NANB = -xlx2-=。*_2+也 J =力,NM =NM =NMf =NANB.AN MN：.二，又 ZANB = /MNB, ：. ZANMs&MNB.NM NB229. （2023届重庆市巴蜀中学校2023届高三上学期月考）已知椭圆C：=+二=1（。人 0）的左

12、、右顶点分别 矿 /r为A3,椭圆。的长半轴的长等于它的焦距,且过点.求椭圆C的标准方程;设椭圆C的右焦点为心过点厂的直线/与椭圆。相交于M,N两点（不同于A5）,直线A与直线&V相 交于点P,直线AN与直线相交于点。，证明：轴.92【解析】（1）由题意。= 2c,即/；=7 = 6。，故椭圆C：工+1=1， 4c 3c代入点 Hl可得/r +2=1,解得c = La = 22=5V 2；4c 4c22故椭圆的标准方程为：2+ = 1.43（2）由题意右焦点 21,。），42,0）, 5（2,0）,12oQQ若直线/斜率不存在，直线方程为一=1,代入椭圆方程可得%?1,解得尸土于即的产（匚）,

13、1133AM:y = -(x + 2),AN:y = -(x+2)9BM:y = -(x-2),BN:y = -(x-2)9乙乙乙乙=*+2）联立，可得。（4,3）；2） =-* + 2)联立，可得。(4,-3),y = -(x-2)a乙若直线i斜率存在,直线方程为：y = %（工-1），与椭圆联立若直线i斜率存在,直线方程为：y = %（工-1），与椭圆联立y = k(x l)X2 y2,即(4攵2 + 3)x2 -822% + 4攵2-12 = 0, A0恒成立,+ = 1143不妨设3/），（/,%）,故8k2% /=1-必2+34 尸一 12MW7故直线加工小（2）,AMy兀2 +2(

14、x+2),:y=2). 3N: y =2),%)-2， x2 -2联立3Mx+ 2)% + 24x,x. + 2x. - 6x，可得 = , 一 J上_(-2)3%+x4x9 2整理得（加1）（2% + 1 +闻=0,解得加=1或者 z = 1 2h当根=1时，直线/ ： y =阮+1过点反与题意矛盾，应舍去.故直线/的方程为：尸区-1-2%,过定点为【例2】（2023届福建省福州华侨中学高三上学期第二次考试）在平面直角坐标系X。），中，已知点b（2,0）,直 线/:% = ：,点M到/的距离为d,若点M满足|MI= 2d,记M的轨迹为C.（1）求C的方程；过点尸（2,0）且斜率不为0的直线与

15、C交于PQ两点，设4-1,0），证明：以PQ为直径的圆经过点A.【解析】（1）设点M（x,y）,则d =工-；,|加可=2）2 + y2 , 由眼耳=2d,得7（x-2）2 + / = 2 x-；，两边平方整理得3x2-/=3, 则所求曲线c的方程为犬r=i.3（2）设直线加的方程为了 = ） + 2,2（%,乂）,0（%2，%），联立方程衰；=3，消去x并整理得 -1） V +12“ + 9 = 0,因为直线力与C交于两点，故/w 土#，此时=（y-4（3/-l）-9 = 36/ + i）o, 2.9所以 X+%=7?*必而西+*2=1%+%） + 4,平2=（电+2乂。2+2）=/*%+2

16、，（*+%） + 4.又 4尸=（玉 +1,凹）,40 = （%2+1,%），所以 APAQ = （x +。（%2 + 1） + %必= y%+X1 +工2 +为工2 + 1=92+1卜跖+3心+%） + 9 =纥-享-+9 = 止二 + 9 = 0.所以APJ_AQ,即以RQ为直径的圆经过点A（二）证明与斜率有关的定值问题证明与斜率有关的定值问题通常是证明斜率之和或斜率之积为定值问题,此类问题通常是把斜率之和或斜率 之积用点的坐标表示，再通过化简使结果为定值，此外证明垂直问题可转化为斜率之积为-1,证明两直线关于 直线X*或y =，对称，可转化为证明斜率之和为0.22【例3】（2023届河南

17、省安阳市高三上学期10月月考）已知椭圆陷：点+方=1（，匕0）的左、右焦点分别(x + 2)联立联立+ 2xl - 6x2(x-2)3%+”4xp-xQ4x,x2 + 2(g + /)-4xx2 -6(x)+x2) + 8%32A2484k2+38攵 2124公+33(X| + %) 2内4(X| + )+ 2%4o 3222+48 o14r+3 +式2 + 2%14k2+3132 公4832 公484k2+38 攵 2 124k2+3综上：PQJLx轴.10.已知抛物线C y2=2px(p0)淇焦点为F,。为坐标原点，直线/与抛物线。相交于不同的两点ARM为A3的中点.若p=2 ,M的坐标为

18、(1/),求直线/的方程.若直线/过焦点EA5的垂直平分线交x轴于点N,求证：自等为定值.FN【解析】(1)由题意知直线/的斜率存在且不为0, 故设直线/的方程为工-1 =心-1) 即X = O, + 1T,设2 ,得产一4(y4+4%=0,y-=4x, ，A = 16 +16 16/= 16(/7 +l)0,x +% =4/,4%=2,即，=.，直线/的方程为2xy 1=0.(2)证明如下:抛物线C y2=2p%(),焦点厂的坐标为go .I， /由题意知直线I的斜率存在且不为0,;直线/过焦点E故设直线/的方程为x = ） + f（。）,设44%）（生必）.,x=ty+?由 J 2，得y-

19、2y-/r =0,y2 =2px/. y+ % =2pt ,A = 4p2t2 +4p2 0.， +x2 =t（yl + %）+ = 2Pt2 + P ,：M（p +,，）./. MN 的方程为 y - pr = T（x - pt2 - -）.令丁二。,解得工=产+岑声（/+子,0）, 乙乙/. mn = / + p2r fn = pt2 +- = pt2 + p,2= 2p,为定值.= 2p,为定值.2|MAf = 2（2+2/2） FN pt2 + p2211. （2023届河北省邯郸市大名县第一中学高三月考）己知椭圆。: +?二。）的左、右焦点分别 为”,尸2,左顶点为4（-2,0）,离

20、心率为变.（1）求。的方程；若直线/：尸Mx+l）（ZwO）与。交于点。互线段A2AE的中点分别为P,。.设过点大且垂直于X轴的直 线为，若直线OP与直线/交于点S，直线。与直线/交于点T,求证：旗 FJ为定值.【解析】（1）.椭圆C左顶点为A（-2,0）, =2,又离心率e =正,.c = VL a 2/. b1 = a2/. b1 = a22- 44=i-（2）设。（王,%），石（马,%），则0,Q由产k（x+l）14J 得：（1 + 2-b2+4入 + 2224 = 0、 +T-14k22k2-4则 = 16 左 4 4（1 + 2公）（2 公4） = 24k2 +16 0,X. + X

21、9 =7, X,X?=；121 + 2 /1 21 + 2 左 2.直线。尸方程为： =34/:% = 0,S -V2, X2I同理可得：T -&-弱，乂痔）.，可二-272,2k2(2k2-44k2=8 +2%2一48k 2+1=8 +-6k218F=8；3 3玛5 2/2,.孽.可=8 + 7_+2/(竺).+1)=8+2.(t(%+,) + 1)(内一2)(电一2)(玉一2)(x)-2)为工)一2(% + X) + 41 + 2/1 + 22223.季T为定值12.已知抛物线C:x2= 2py （p 0）的焦点到直线/：尸2x-5的距离为述.（1）求。的方程;存在定点H,使得存在定点H,

22、使得若点P在/上,以，依是。的两条切线,A,3是切点，直线A5与/交于点。，证明:PHLQH .【解析】（1）由题可知。的焦点为（。,9,依距离公式可得|2xO-|-5|2xO-|-5|百+(-1)?=孚（0），解得 =2.所以。的方程为f=4y；（2 ）设 A.,才）,B（x2 ,才）.由V =；，可知直线PA的方程为y -5）,即y 乙一 Nxx X； 同理直线总的方程为y =同理直线总的方程为y =x2x X；xxx X；联立2f解得尸（工产，苧）.xx X?乙 若记PQ2-5）厕有若记PQ2-5）厕有M + X）= 21,在4-5）所以可写出直线的方程为（% 一%）（号）=令一?（%f

23、），即 y=X+9丫中2X由A3与/相交可知/。4.联立y = 2x-5,t c u可得Q( y = x - 21+ 5,4(- 5) 3f 20r-4t-4).设(x,y),则由可知PH QH =(x-t,y-(2t-5)yPH QH =(x-t,y-(2t-5)y4(，一5)3- 20), y4 )(xT, y (2，_5),(_4)x_4(，_5),(，_4)y (3/_20)t-x, 2z-( + 5)-(x-4)/-4(x-5),(y-3)Z-4(y-5)r-4L(x-4)/ _(* -20)/ + 4Mx-5)+ 2(y -3)J + 0y -55). + 4(y + 5)(y -

24、5)(x + 2y_10)/ _(%2 + J + 0,_75)/ + 4卜2 + 丁 _5x_25)J = 0上式关于广恒成立当且仅当x + 2y-10 = 0,Y + V+io一 75 = 0, x2 + y2 -5x-25 = 0.解得一：或y = 5x = 8,y = i因此，存在定点(。，5)或(8,1),使得P J. QH .22Q 713.设。为坐标原点椭圆c ：=十二=1(。人 0)的离心率为士，且过点(0,1). a2 b23(1)求。的方程;3(2)若直线/6 m与C交于p,Q两点，且OPQ的面积是-，求证：2-k2=9.220万【解析】因椭圆c：,力Sb。)过点(o,D,

25、则又椭圆C的离心率为平,mi 士b-则有e 272，解得。=3,所以。的方程为 + 丁=1./ +m 2 -9 = 0,r2 + Q V2 = 9/、(2)依题意,2。0,由(2)依题意,2。0,由消去x并整理得：公+9 9+2k町x = ky-mA = 4%2 m 2 - 4(22 + 9)(m 2 9)= 36(/ +9-m2 )0,设尸（石,%）,0（%2，%），则，设尸（石,%）,0（%2，%），则，- 2km x + %=E m? - 9I 2 I ，点。到/的距离心户,I 2 I ，点。到/的距离心户,于是得|尸Q|= J1 +r- J(y= 6川+ *：+9-K I V因此 S/

26、WPQ =-PQd= 3lWf+91 = 3,即 4m4_4m2 (22 + 9)+ (%2 + 9)2 = 0, 2攵 + 92L-12整理得2 (/ + 9) = 0,即2/_公=9，显然2m2 一左2 = 9满足0,所以 2m2 k2 = 9 - 14. （2023届福建师范大学附属中学2023届高三上学期月考）在平面直角坐标系中，设点尸J点G与尸,Q两点的距离之和为3N为一动点，点N满足向量关系式： 5 ） 5 J3gngp-gq = 6 .求点N的轨迹方程C；（2）设。与x轴交于点A 8（A在B的左侧），点M为C上一动点（且不与A B重合）.设直线轴与直线x = 4分别交于点R,S,

27、取E（L0）,连接旗，证明：旗为NMES的角平分线.【解析】（1）设点Mx,y）,G（Hy）,4/2、则由点G与P，。两点的距离之和为耳IPQI= ,4可得点G的轨迹是以P，。为焦点且长轴长为飞的椭圆，其轨迹方程为,2+3）产=1, 4由W +齐+苑=0，可得X, = ；，V =，代入点G的轨迹方程，2 I 7 y- 3 zr k3 +2 7X - 3 z/n 9 - 42 I 7 y- 3 zr k3 +2 7X - 3 z/n 9 - 472所以点N的轨迹方程C 土 +乙=1 ； 43（2）设点”（如 外）,则M），=4（x-l）,即%一-1）八%=0,蛇：=/（ + 2）,令1 = 4,

28、得, =%， 玉）十,玉）十Z则点R到直线ME的距离为:4v _6%(%二1)跖+2|3y0(4-x0)|(12-3x)|y|Jy； + (% -1)?(X。+ 2)Jyi + (% -1)?(x()+ 2) Jy； + (x0 -1)2要证ER为/MES的角平分线,只需证d RS I,又 IRS |=| % |=6|%1% + 2, W。，4 x所以力斗鹿1,当且仅当J）,； +（；_）2 =2,即（4-/）2=4幅+（%1）2时,又（为为）在c上厕+ g = l,即4$=12-3片, 43代入上式可得16 -8% + x； = 12 - 3片+ 4片-8% + 4恒成立，；ER为AMES的

29、角平分线. 22E : 7 + -17 = l（4Z/?0）15.（2023届山东省济宁市汶上县高三上学期质量联合检测）已知椭圆 / b-的左顶点为A ,左、右焦点分别为勺尸2,动点5在E上且位于第一象限，忸制+1网=4.当阳：死时，直线A5的斜率为会 求E的方程；（2）设/区4乙=。，/5区人=/,证明：tan6Z-tan=-.【解析】（1）由椭圆的定义，得2。= |%|+|%| = 4，即 =2,（h2设,勾=24由38_1,4鸟,得点3的坐标为C,一,61 7由直线A3的斜率为;，得 + c = 2x2,结合。=2及/ =2一2,得02+一2 = 0,解得c = i或。=一2 （舍去）,

30、所以 / = cr c2 =4 1 = 3,22所以E的方程为土 +匕=1;43（2）由题意得A（2,0）,6（1,0）,当毛=1 时,tan 0 =,尸=90, tan 2 = tan 45 = 1, 22故 tan a tan成立;2%即tan/? _ 2（/一1）一（4-%） _ 3（）2）2%2%。,考虑到白为锐角，应舍去;或tan/? _ 2（/一 1） + （4-） _ 4+22%2yo0.又 tana = &5Xq + 22 tan 当 飞。1 时,1。4=一女竺=一,即 = 一3,一 飞一1 1-tan22整理，得 为 tan2 ,一2（% -1） tan ?- % = 0,解

31、得tan2所以tan atan综上,tan a , tan =一.2 242为，尸2,旧闻=2，面积为三的正方形ABCD的顶点都在M上.求陷的方程；已知p为椭圆2：工+工=1上一点，过点P作M的两条切线4和4,若44的斜率分别为勺,七,求证: 27 2b2勺22为定值.【解析】（1）根据对称性,不妨设正方形的一个顶点为A（%x）, 由4 + 1 = 1，得/=孚声所以2点各X2值与=y，整理得12（储+b2） = 7a2b2 .又 / -b1 =1,由解得/=4/2 =3,22故所求椭圆方程为土+ = 1.43（2）由已知及（1）可得此：片+ 21 = 1, 86设点尸（刈%）,则%=6 1-

32、千. O设过点P与陷相切的直线/的方程为y-为=（7。），与:+ = 1联立消去整理可得（48+3卜2+弘（%丘。）% + 4（% 5）23卜0, 令二 次（%-纹）-4x（4左2+3）x4 （九-底（）-3 二0.整理可得(片4*2 -2。为 + 3 = 0根据题意K和左2为方程的两个不等实根,根据题意K和左2为方程的两个不等实根,即认为定值= l（6Z/;0）的右焦点和上顶【例4】（2023届天津市第四十七中学高三上学期测试）已知椭圆C： 点均在直线x+y G =。上.(1)求椭圆。的方程;(2)已知点A(2,l)，若过点5(3,0)的直线/与椭圆C交于不同的两点M, N .直线AM和直线

33、AN的斜率分别为 匕和左2,求证：K+包为定值.【解析】(1)对于直线x+y-G =。,当x=0时,y = 6,当 =。时,x = G,因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线x+y-百=0上, 所以z? = G, =石，所以= 2 += 6 ,22所以椭圆方程为9 + J = l, 63(2)因为6(3,0)在椭圆外，过点3(3,0)的直线I与椭圆C交于不同的两点,所以直线/的斜率一定存在,x2 v2 ，得(1 + 2/)/ 1+18- 6 = 0,+ = 1所以设直线/方程为y = %(x-3),设“(xqJNG，%), y-k(x-3)163A = 144/ _4(i + 2k2)(18k2-6

34、) = -24k2 + 24 0,得一1 v1 v 1,12k2X + X)=1- 1 + 2R因为吊=%4M18 攵 26，XX2=i2kr，X 1 kx、 3k 1. y9 1 kx, - 3k 1，八二F所以用+ & 二Xj - 2kx、 3k 1 + kjC) 3k 1(何一3攵一1)(/ - 2) + (kx? 3攵-1)(X 2) - 2)(x2 - 2)k2xx2 -5(Xj + =2)+一(为 + /)+ 4XjX2 -2(Xj +/)+ 418“-6$ 里: +1+21+2/12k21 + 2二4k - + 42k2-218F-6.2.邛+ 41 + 2/=-2(三)证明与线段长度有关的等式 证明与线段长度有关的等式问题,一般是利用距离公式或弦长公式写出长度表达式，再借助根与系数之间的 关系或斜率、截距等证明等式两边相等.【例5】(2023届江苏省高三上学期起航调研)在平面直角坐标系X。)，中,抛物线C：V=2x. A,4为。上两点，且4,4分别在第一、四象限.直线Ad与工正半轴交于4,与y负半