专题1.3 极值点偏移第一招--不含参数的极值点偏移问题.docx

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1、专题03,极值点偏移第一招不含参数的极值点偏移问题函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多 元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等 式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.例.(2010天津理)已知函数/(尤)=泥7(%,如果为。%2，且/(为)=/。2).证明：x+x2 2.【解析】法一(判定定理)：/(x) = (l-x)e-易得了(力在(yU)上单调递增，在Q,+00)上单调递减,x f 时 ) /(x) -co /(0) = 0, x +oo 时 /(x) 0,函数

2、/(X)在X = 1处取得极大值/(I)，且/(I) = L如图所示.e由/(再)=/(电),内工)不妨设再天,则必有0再1丐，构造函.数 F(x) = /(I + x) f(l-x)9xe (0,1,则 F (x)=广(1 + 1) 一 /(1 = $ - _ 1) o, e所以F(x)在x (0,1上单调递增,F(x) F(0) = 0,也即 /(I + x) /(I - x)对 (0,1恒成立.由。 % 1 /(%2)，又因为2-%,工2 (1，+8)，且/(冗)在(1,+。)上单调递减,所以2-% 2,即证电2再，由法一知0再1巧，故2-4巧e (L*K),又因为“X)在(L+q)上单

3、调递减，故只需证/(电) /(2 -再)，又因为/(再)=/(巧)，故也即证了(须)/(2 再)，构造函数H(x) = /(x)-/(2-x)sxe (0.1),则等价于证明H(x) 0 ,e则H(x)在X e (01)上单调递增，所以H(x) HQ) = 0 ,即已证明H8 2亦成立.法三：由/(%) = /(名)，得为化简得二三, - - 七不妨设马不，由法一知，0%1 0,=% + X，代入式，得d = % 十 %3反解出% =-2t则 为 + =2X| +，= -F t,故要证 xx +x2 2,el - I即证出一 +，2, d 1又因为d10,等价于证明：2/ + (”2)1)0,

4、构造函数 G=2/+ 2)3 1), 0),则 Gf(t) = (t- l)el +1, G)=以 0 ,故G在t e (0,+oo)上单调递增，GQ) G(0) = 0,从而G也在， (0,+oo)上单调递增，G)G(0) = 0,学&科网即证式成立，也即原不等式再+为2成立.法四：由法三中式，两边同时取以。为底的对数，得电-再旦+ 1也即In毛Tn再=,从而再+ %=(&+电)见&*二匕卜&二二E9, 巧一天七一须 w一毛 网 至_ 项玉令才=至1),则欲证再+巧2,等价于证明上hn，2, 再r-13、 Q + l)ln/ 八 2、1/ 八构造 Af =(1H)ln/, 1),t-lt-1

5、,t 2? In t则M=仆1)2又令夕(令=/ 一 1 一 2/In . 1),则“= 2t-2(ln 1 +1) = 2(， 1 hw),由于1 In (对V，e (1, +oo)恒成立，故,0 , 9在， (1, +8)上单调递增，所以。0=0,从而M0,故在， (1, +00)上单调递增，由洛比塔法则知,:由洛比塔法则知,:.“/、 (r + l)lnZ(Z + l)lnty.八，+ 1.lim M (?) = hm -=lim -=lim(ln t + )=2 i i t-l-Q-l)i t即证M2,即证式成立，也即原不等式办+马2成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等

6、式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函 数来达到消元的目的，方法三.、四则是利用构，造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达 到消元的目的.x1+x2 0.x例.(2013湖南文)已知函数/(%) = 证明：当/(%) = /(9)(%。修)时, 1 + x【解析】易知i, /(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,+00)上单调递减.学&科网I Y当X0=0,所以/(x)0; 1 + x同理,当1时,/(x)0.当/(再)=/(第)(再H巧)时，不妨设再巧，由函数单调性知甬e(YO,0),电(0,1).下面证明：Vxe(M)J(x)，(T),即证：上当/x 一 5xe(0

7、sl),则 F(x)= -/十/ 一 1) , e当X e (0,1)时,尸3 0 ,尸(力单调递遍,从而F(x) F(0) = 0,1 + x即 Q-力/一e所以 Vxe(U)J(力/(-力.而巧e(01)， 所以/(巧)/(一巧)，又/(再)= /(巧)，从而/(w)/().由于再,一为(-8,0),且/(x)在(-8,0)上单调递增，所以项 一巧 , 即证再+毛 -.【解析】由 /(%1)+ /(x2) + XjX2 = 0 ,得 In X + Xy + % + In / + x2 + xxi =。2从而(为+%2)+(芯+%)二皿(工2)，令t = XX?,构造函数0(力=，-ln%,

8、1t-得,=1 = ，可知夕在(0,1)上单调递减，在Q+o。)上单调递增，学&科网 t t所以 0 =1,也即(%1 +X2)2 +(%1 +X2) 1 ,75-1解得：Xj +.-2已知函数/(x) = lnxx.(I )求函数的单调区间；(II )若方程/(x) = 2 (机一2)有两个相异实根玉，工2，且为工2，证明：*20可得函数得外力的增区间，/,(X)0得可得函数得 /(X)的减区间；(2 )由可设/(x) = w 的两个相异实根分别为冷巧满足 0 jq(l:X2)lsln -xl-w = O:lnx2 -Xj-m =0 ,只需证明.g(再) 0所以y = /(x)在(0,1)递增当x W (1,+00)时尸 0所以y = /(x)在(1,400)递减(2)由可设/(x) =活的两个相异实根分别为占，%满足Mx-x一加=。且0 0 1, lnz1-x1-w = lnx2-x2-w=0由题意可知 In x2 - x2 = m -2 2，2所以0,丁 2),则#=_铐虫.r t t5r3当2时，a0,即)是减函数，所以即)双2) = 2必2-5 2 时，g(xj- g(y) 0 ,即 g(xj g() 叼町2因为0占, g)在3D上单调递增，X22所以对 J 故占句 2 .%综上所述：勺叼2 2.