2023届新高考大一轮复习真题源解析几何专题讲义第25讲 调和点列-极点极线.docx

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1、第25讲调和点列一极点极线一、问题综述（-）概念明晰（系列概念）：1 .调和点列：如图，在直线/上有两基点A3,则在/上存在两点C,。到A8两点的距离比值为定值，即 江=丝=义，则称顺序点列AC8,力四点构成调和点列（易得调和关系2 = -L + -L）.BC BDAB AC AD同理，也可以C,。为基点，则顺序点列AC4,。四点仍构成调和点列。所以称A4和C,D称为调和共规。2 .调和线束：如图，若4cB。构成调和点列，O为直线45外任意一点，则直线QAOC,。及QQ称为调和线束。若另一直线截调和线束，则截得的四点4,C,从。仍构成调和点列。3 .阿波罗尼斯圆：如图，为平面中两定点，则满足丝

2、的点尸的轨迹为圆O, A,B互为反BP演点。由调和点列定义可知，圆O与直线A笈交点CO满足AC8,。四点构成调和点列。则过“作直线/垂直44,则称A为/的极点，/为A的极线.（1）.二次曲线A/+C9 + nr+y + ” = 0极点夕（七,兄）对应的极线为%+珍。y + C型产+ 吟”第+八0f T小X,），2 f ），。），,孙.过产手号2 （半代半不代）乙乙乙极点夕（小,为）在椭圆外，PAPB为椭圆的切线，切点为则极线为切点弦A8：N +岑=1；极点夕（为,为）在椭圆上，过点尸作椭圆的切线/,则极线为切线/:学+邪=1;cr b2极点%,为）在椭圆内，过点尸作椭圆的弦AB，分别过AB作椭

3、圆切线，则切线交点轨迹为极线学+芈=1；a- b（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.（二）重要性质性质1：调和点列的几种表示形式如图，若AC,a。四点构成调和点列，则有A4 r、。=4。=+ OC2 = OB OA AC AD=AB AO AB OD=AC-BDBC BDAB AD AC性质2：调和点列与极点极线如图，过极点P作任意直线，与椭圆及极线交点M,D,N则点M,2N,尸成调和点列（可由阿圆推广）M /性质3：极点极线配极原则若点A的极线通过另一点。，则。的极线也通过A . 一般称人、。互为共规点.推广：如图，过极点尸作两条任意直线，与椭圆分别交于点MN,”G,则MG,HN的交

4、点必在极线上，反 之也成立。IIBM二、典例分析类型1:客观题中结论的直接运用例1（2013 山东）过点（3,1）作圆（x-l）2 +），2=l的两条切线，切点分别为A、A则直线的方程为（ ）A. 2x+y-3 = OB. 2x-y-3 = 0C. 4x-y-3 = 0D. 4x+y-3 = 0解析：直线A3是点（3,1）对应的极线，则方程为（3-l）（x-l） + Ix），= l,即2x+.y-3 = O.故选A.例2 （2010 湖北）已知椭圆C：, + y2=i的两个焦点片,f2 ,点PC%,），。）满足0苧+），；|,则 |尸用+|。%|的取值范围为，直线等+）犷=|与椭圆c的公共点个

5、数是.解析：由题知，点P在椭圆内部且与原点不重合.则当一点在线段耳已上除原点时,（1W1 + 1尸51）的=2, 当P在椭圆上时，（IP6I + IP玛|=2a = 2则|P | + | 的取值范围为2,2垃）.点户（与，九）和直线少+ %） = 1恰好是椭圆的一对极点和极线，因为点P在椭圆内，所以极线与椭圆相离, 故极线与椭圆公共点的个数为0.点评：因客观题不需要严格证明，所以一些高观点的运用，往往能达到秒解的效果，从这两个高考题也可 看出，用普通方法也可解出结果，但用极点极线理论基本秒解，这就拉开了尖子生和普通生的差距，达到 了高考选拔人才的功能。类型2：解答题中高观点分析记2010年江苏

6、卷一题多解（硬解/整体代换/仿射变换/调和点列/曲线系/极点极线）例3 （2010江苏18）在平面直角坐标系町，中，如图，已知椭圆工+工=1的左右顶点为A.B,右顶点为 95（第18题图）（第18题图）F,设过点T （t.m ）的直线7A7B与椭圆分别交于点“（.凹）,N,%），其中O, y 0办0 （2）设=2，w=g,求点7的坐标;（1）设动点P满足PF2P序=4,求点P的轨迹;（3）设/=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点.（其坐标与机无关）解析：方法一（高考标准答案1）：3 AT: y =(x+3) t 直线 8T: y = %(x-3),设 M(X,y ),N(x”)、)， 126

7、m /、联立47与椭圆，则)%=；(%+3)E+=i95240-31*二7, gp；w(240-W同理2(3,当)40m80 +病 80 + 20 +tn2 20 + 加-80 + /n2处理一（特殊+验证）: 当（MN垂直x轴），解得? = 2jid, MN方程为x=l,过定点。（1,0）；40/zz-20m,及M,）,N三点共线，即M,N过定,及M,）,N三点共线，即M,N过定80 + /_ 1。】 卜 : 20；?2 _ 1。？240 二 3，d -40-/n2 ND - 3m-60 _1 一 40 80 + m220 + in2240 -240 - 3/ 3m2 - 60处理二(硬解直

8、线方程)：由得MN方程为： 一吗秒L =书式_噤应_40？40/77, -20/7/ xV()80 + /80 + w2 20 + w2令），=0,解得工=1,即M,N过定点（1,0） 方法二（多元未知数整体处理此法适用于过椭圆两顶点问题）:直线 AT: y = 乂& +3),直线 8T: y =丝(x-3),设加*叫),(,1y2)， 126带入直线人了,8丁消去?得1-xZn/一 % + 3 x, -3y 9 x-322T = ,带入得,带入得由椭圆二 十二二1 可得：/一9 = 一2)3,即 X + 3)955y _ 9 x+3x-35 y一2.32x2 = 2.玉2,即士工X2 = 土

9、史，可变形（取倒）为土S=上x25 ）15 必 X %（+）/3得：土土 = 土二1 （对比直线两点式或与（1,0斜率），即M,N过定点（1,0） X 为方法三（伸缩（仿射）变换+调和点列）: 补充知识.（1）放射变换为另一专题AC 4/7（2）如图，在A43C中，三条高交于点产，高的垂足力后交4厂于G,则AG,f ”成调和点列，即一 = GF FH本题证明:如图，可将椭圆二+亡=1伸缩变换为f+），2=9,因为ZAA/8 = N4VB = 90,则8为A47F高的交点, 95An apio由上述性质运用知AQ,B,成调和点列，即第=卷，设0（4。），则妥力，解得1，即MN过 定点。（1.0）

10、 方法四（二次曲线系）: 补充：二次曲线系性质：若三个二次曲线系工（苍），）,人（x,），）J,（x,y）过4个相同的点，则一定存在两实数观察y与冲的系数有观察y与冲的系数有九，使得义工*,），） + 6*,），）=人（乂），）.（可根据六个单项式系数关系求解问题） 本题证明：如图，本题过AM,RN四点的二次曲线有抛物线上+广=； 95直线 AM Aly- nix - 3m = 0 和 BN: 6y - nix + 3m = 0 ；在线 AB: y = 0 和直线 MN: ax + by+ c = 0%22所以 Ay (ax + by + c) + (12y - ntx - 3?)(6y in

11、x + 3rn) = + -1Ac +18m口 = 0. 产 ,则 c = -。，所以 MN的，= a(17),则 M,N 过定点 0(1,0) /,a -1= 0方法五（极点极线）: 补充：性质3本题证明（利用性质3）：如图，点7的轨迹方程为x = 9, 即殍+ = 1,又AM,BN交点在x = 9上,由性质2知， 。（1,0）为极点，x = 9为对应的极线，即ARMN交点为2X1,0）, 即M,N过定点。（1,0） 点评：2010年江苏高考题被公认为史上最难高考之一，又一次把葛军老师推向风口浪尖，此题官方解答 为常规解法，看似简洁，其实其中计算量很大，据说当年没有考生在考场上将此题拿到满分

12、，难度可想而 知，但通过高观点（仿射变换/调和点歹!1/二次曲线系/极点极线）分析，我们会发现原来如此“简单”（直 接是结论的考察），所以在平时教学中渗透高观点下的解题思路十分必要，特别是对尖子生的培养。三、巩固练习已知点P为2x +），= 4上一动点.过点P作椭圆上+=1的两条切线，切点分别4、B,当点Q运动时,43直线过定点，该定点的坐标是.1. （2014辽宁）已知点4-2,3）在抛物线。：），2 = 2/的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点尸，则直线跖的斜率为（）2. （2011 希望杯）从直线/+上=1上的任意一点P作圆O： /+ 2=8的两条切线，切点为4 8

13、,则弦 8 4AB长度的最小值为.3. （2009安徽）已知点尸“0，70）在椭圆上? + = 1（。）上，a0 =acos/3, yQ = Z?sinP , 0/?0）与直线4的唯一交点；a2 b2（II）证明:tan a, tantan y构成等比数列.4. （2011 四川）椭圆有两顶点A（-l,0）、4（1.0）,过其焦点尸（0,1）的直线/与椭圆交于C、。两点，并与 x轴交于点P.直线AC与直线8。交于点Q.（1）当|CO|=3&时，求直线/的方程；222（2008安徽）设椭圆+ =过点且左焦点为耳（-夜，0）.（1）求椭圆C的方程；（2）当过点P（4,l）的动直线/与椭圆C相交于两

14、不同点A，8时，在线段上取点Q,满足 证明：点Q总在某定直线上.参考答案.解析：设点P的坐标是（加,-2根+ 4）,则切点弦A4的方程为吧+（-2? + 4），=,化简得 43（3x-8y）m = 12-16y,令 3x8y = 12 16y = 0 ,可得 x = 2,y = 2,故直线 AB 过定点（2:）.44.解析：由题知，-=-2= = 4,则抛物线方程为），2=8x,设过点A作直线与抛物线C相切与另一4点。，则经过这两个切点的连线比） 就是点A对应的极线，其方程是3），= 4（x-2）-），=三1-1。由于点A在抛物线的准线上，则焦点/在点A的极线上，8、尸、。三点共线=攵跖=如0

15、=3,故选D. 33解析:设尸（8-2椁），易知P的极线方程为+易-2m）x = 8,即m（2x-y） = 8x-8可得弦AB必过 （1,2）,易得圆。：/ +丁 =8上，过（1,2）的最短的弦长为- J3 =26.4 .分析：（I ）由题知，2见,打）与直线人是椭圆的一对极点极线，则直线丸与椭圆相切，点尸为切点，.解析：（2）此题可以用常规方法和曲线系法，具体内容请参考上一讲，本专题研究一下其极点极线性质, 对椭圆f+ “2=1,若以点。为极点，则其对应的极线过点Q,设P（成0）,其极线方程为竽+ 忒=1,即22x = ,故可设点Q的坐标为,必）,所以而而=（肛0）（,、），0）= 1,即方而为定值1. mmmc2=2.解析：（1）由题意得， + 1 = 1 ,解得/=4/2=2,所求椭圆方程为三+上=1.a2 h242c2=a2-b2（2）解法：已知殴=殴，说明点P,Q关于椭圆调和共挽，根据定理3,点Q在点Q对应的极线上，此1PAi 刨极线方程为号+修=1,化简得2x+）， 2 = 0.故点。总在直线2x+），2 = 0.