第六章 集合代数.ppt

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1、1第六章第六章 集合代数集合代数 第一节：第一节： 集合的基本概念集合的基本概念 第二节：集合的运算与集合恒第二节：集合的运算与集合恒等式等式2第六章第六章 集合代数集合代数q 主要内容主要内容l 集合的基本概念集合的基本概念 属于、包含属于、包含 幂集、空集幂集、空集 文氏图等文氏图等l 集合的基本运算集合的基本运算 并、交、补、差等并、交、补、差等l 集合恒等式集合恒等式 集合运算的算律、恒等式的证明方法集合运算的算律、恒等式的证明方法 3第六章第六章 集合代数集合代数德国著名数学家康脱（德国著名数学家康脱（GEORGE CANTOR，18451918)在总结前人的基础上，创立了（古典、朴

2、素）集合论。在总结前人的基础上，创立了（古典、朴素）集合论。集合论为整个经典数学的各分支提供了共同的理论基础。集合论为整个经典数学的各分支提供了共同的理论基础。朴素集合论由于在定义集合的方法上缺乏限制，会导致朴素集合论由于在定义集合的方法上缺乏限制，会导致悖论。悖论。另一个德国数学家蔡梅罗（另一个德国数学家蔡梅罗（ERNST ZERMELO）于）于1908年建立了集合论的公理系统，由这个公理系统，他推出年建立了集合论的公理系统，由这个公理系统，他推出了所有数学上的重要结果。他的公理使数学哲学中产生了所有数学上的重要结果。他的公理使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到统一，在此基础上形成了公理化的

3、一些矛盾基本上得到统一，在此基础上形成了公理化集合论和抽象集合论。集合论和抽象集合论。46.1 集合的基本概念集合的基本概念集合是能作为整体论述的事物的集体。又称为类、集合是能作为整体论述的事物的集体。又称为类、族、搜集。族、搜集。组成集合的每个事物叫做这个集合的元素或成员。组成集合的每个事物叫做这个集合的元素或成员。用符号用符号表示某个元素属于某个集合，表示某个元素属于某个集合， 表示不表示不属于。属于。任意元素，对于某一集合而言任意元素，对于某一集合而言 ，或属于该集合，或属于该集合，或者不属于，二者必居其一，不可兼得。这或者不属于，二者必居其一，不可兼得。这也符合命题演算中，命题要么是真

4、，要么是也符合命题演算中，命题要么是真，要么是假的二值逻辑。假的二值逻辑。5通常有三种方法表示集合：通常有三种方法表示集合：1) 列举法列举法2) 描述法描述法用谓词描述出集合元素的公共特征来表示这个集用谓词描述出集合元素的公共特征来表示这个集合。合。例如：例如：A=a|aR0a a4S=a|P(a) 表示表示a属于属于S当且仅当当且仅当 P(a)为真。为真。3) 归纳定义法归纳定义法 6.1 集合的基本概念集合的基本概念6有限集合的元素的个数称为该集合的基数或势。有限集合的元素的个数称为该集合的基数或势。记为记为|A|。例：。例：A=0,1 |A|=2；|A|=1。外延公理外延公理：两个集合

5、：两个集合A和和B相等，即相等，即A=B，当且，当且仅当他们有相同的成员（也就是，仅当他们有相同的成员（也就是，A的每一元的每一元素是素是B的一个元素而的一个元素而B的每一个元素也是的每一个元素也是A的一的一个元素）。个元素）。用逻辑符号表达是：用逻辑符号表达是：A=B x(xA xB)6.1 集合的基本概念集合的基本概念7讨论集合讨论集合:1)集合中元素的次序是无关紧要的集合中元素的次序是无关紧要的2)集合中的元素的重复出现无足轻重集合中的元素的重复出现无足轻重3)集合的表示不是唯一的。一个集合可以用多集合的表示不是唯一的。一个集合可以用多种方法表示种方法表示例如：例如： a,b,c=c,b

6、,a=a,c,b=a,a,b,c,c 讨论讨论P=a,b,c 与与 Q=a,b,c， PQ 设设A=x | x*(x-1)=0与与 B=0, 1， 有有A=B6.1 集合的基本概念集合的基本概念8集合间的包含关系集合间的包含关系定义定义：设：设A和和B是集合，如果是集合，如果A的每一个元素是的每一个元素是B的一个元素，那么的一个元素，那么A是是B的子集合，记为的子集合，记为A B，读做读做“ B包含包含A”或或“A包含于包含于B中中”。A B x(xA xB)注意注意：可能：可能A A B B或或B B A A，也可能两者均不成立，也可能两者均不成立，不是两者必居其一。不是两者必居其一。 定义

7、定义：设：设A和和B是集合是集合, 如果如果A B和和B A则称则称A和和B相等，记做相等，记做A=B。定义定义：如果：如果A B，且，且AB，那么称，那么称A是是B的真子的真子集，记作集，记作A B，读作，读作“B真包含真包含A”A B (A B) (AB)6.1 集合的基本概念集合的基本概念9本章中讨论的集合和元素都是限于某一论述域的。本章中讨论的集合和元素都是限于某一论述域的。我们记该论述域为我们记该论述域为E，又称为全集合。，又称为全集合。定义定义：没有任何元素的集合称为空集，记为：没有任何元素的集合称为空集，记为 v 前者是空集，是没有元素的集合；后者是前者是空集，是没有元素的集合；

8、后者是以以作为元素的集合作为元素的集合定理定理：对任意集合：对任意集合A有：有： A 提示：提示： A x(x xA)推论推论：空集是唯一的：空集是唯一的 提示：提示： 1 2 2 1 定理定理：对任意集合：对任意集合A有有A E6.1 集合的基本概念集合的基本概念10例：确定下列命题是否为真例：确定下列命题是否为真（1） （2） （3） （4） 含有含有n个元素的集合简称个元素的集合简称n元集，它的含有元集，它的含有m个个（mn）元素的子集称为它的）元素的子集称为它的m元子集元子集。6.1 集合的基本概念集合的基本概念11例：例：A=a,b,c,求求A的全部子集的全部子集解：解：将将A的子集

9、从小到大分类：的子集从小到大分类：0元子集：只有一个空集。元子集：只有一个空集。1元子集：有元子集：有3个个a,b,c。2元子集：有元子集：有3个个a,b,a,c,b,c。3元子集：有元子集：有1个个A本身。本身。A共有共有8个子集，分别为个子集，分别为,a,b,c, a,b,a,c, b,c,a,b,c 。所以一般所以一般n个元素的集合有个元素的集合有2n个不同的子集合个不同的子集合6.1 集合的基本概念集合的基本概念12幂集合幂集合定义：定义：由集合由集合A的所有子集（包括空集及的所有子集（包括空集及A本身）本身）所组成的集合叫做所组成的集合叫做A的幂集，记以的幂集，记以 , ,即即 =B

10、|B=B|B AA。一个给定集合的幂集是唯一的。一个给定集合的幂集是唯一的。例例:(a):(a)如果如果A=A=, ,那么那么 = 。 （b b）如果）如果A=a,b,A=a,b,那么那么 =,a,b,a,b,a,b,a,b。)(A)(A)(A)(A6.1 集合的基本概念集合的基本概念13设设A为一个有限集，为一个有限集，A的基数为的基数为|A|，则，则 的基数的基数| |=2|A|。例：例：A=, =, , )(A)(A)(A6.1 集合的基本概念集合的基本概念14定义：设定义：设A和和B是集合是集合A和和B的的并并记为记为AB,是集合是集合 AB=x|xA xBA和和B的的交交记为记为AB

11、,是集合是集合 AB=x|xAxB A和和B的的差差，或，或B关于关于A的相对补的相对补，记为，记为AB,是集合是集合 AB =x|xAx B命题演算中的各种运算性质，和集合论中的各种命题演算中的各种运算性质，和集合论中的各种运算性质极为相似运算性质极为相似6.1 集合的基本概念集合的基本概念156.2 集合的运算集合的运算例：设例：设A= a,b,c， B =b,c,d，求，求AB， AB ， AB 。解解 AB=a,b,cb,c,d = a,b,c,d AB=a,b,cb,c,d = b,c AB =a,b,cb,c,d = a定定义义 设设 A 与与 B 是是两个两个集合。若有集合。若有

12、AB =，那那么称么称 A 和和 B 是不相交的。是不相交的。如果如果C是一个集合的是一个集合的族，使族，使C的任意两个不同元素（集合）都不相的任意两个不同元素（集合）都不相交，那么交，那么C是（两两）不相交集合的族。是（两两）不相交集合的族。16定义定义：设：设A，B是两集合，集合是两集合，集合(A-B)(B-A)称为称为集合集合A，B的对称差（对称差），记作的对称差（对称差），记作A B。即即 A B=x x Ax Bx Bx A文氏图表示如下：文氏图表示如下： A B 将将A B中同时属于中同时属于A，B的元素去掉的元素去掉定理定理 A B=（AB）- -（AB） 6.2 集合的运算集合

13、的运算17定义定义. 设设E是论述域而是论述域而A是是E的子集。的子集。A的（绝对）的（绝对）补，记为补，记为A，是集合，是集合AEAx|xEx A=x A。例：若例：若 E= 1，2，3，4 和和 A= 1，2 ，則，則A = 3，4。 若若 E = N 且且 A= x | x 0， 則則A= 06.2 集合的运算集合的运算18例：例：A=x x -2,x R,E=x x2,x R求求A，A A。解：解：A=x x2x -2 =x -2x2，x R AA=A A=(A-A) (A-A)= =6.2 集合的运算集合的运算19文氏图文氏图(Venn Diagrams)利用图来图解全集的各子集的关

14、系的图称为文氏利用图来图解全集的各子集的关系的图称为文氏图。图。文氏图约定文氏图约定: (1)全集合用一个大矩形表示全集合用一个大矩形表示（2）设）设A是是E的一个子集，的一个子集，A用圆形表示用圆形表示（3）通常在图中画有阴影的区域表示新组成的）通常在图中画有阴影的区域表示新组成的集合。集合。 6.2 集合的运算集合的运算20文氏图文氏图集合运算的表示集合运算的表示ABABABABABA BA BABA BA21一般说来证明两个集合相等有以下几种方法。一般说来证明两个集合相等有以下几种方法。(一一)利用集合相等的定义证明利用集合相等的定义证明 A=B x(xA xB)(二二)利用已知集合等式

15、证明利用已知集合等式证明(三三)利用文氏图利用文氏图即只需通过画出文氏图证明即可即只需通过画出文氏图证明即可证明证明(AB) (AC)= (AC)(AB)6.2 集合的运算集合的运算22通过画出文氏图即可证明，如下所示：通过画出文氏图即可证明，如下所示： AB AC ( AB) ( AC) A C A B (AC)(AB)ACBBAC6.2 集合的运算集合的运算23q在在165个学生中，个学生中，8个人既学习微积分和心理学个人既学习微积分和心理学又学习计算机科学；又学习计算机科学；33个人既学习微积分又学个人既学习微积分又学习计算机；习计算机；20个人既学习微积分又学习心理学；个人既学习微积分

16、又学习心理学；24个人既学习心理学又学习计算机；个人既学习心理学又学习计算机；79个人学个人学习微积分；习微积分；83个人学习心理学；个人学习心理学；63个人学习计个人学习计算机。问有多少人三门课程中一门都没有学？算机。问有多少人三门课程中一门都没有学？6.2 集合的运算集合的运算241284734162514PSYCOMCAL96.2 集合的运算集合的运算25有限集合的计数有限集合的计数: : 定理定理(1)max( A , B )A BA + B (2) A Bmin( A , B )(3) A BABA (4) A B = A + B -2 A B 6.2 集合的运算集合的运算26定理定

17、理 (包含排斥定理包含排斥定理) A B = A + B - A B 证明证明:A=A (B B)=(A B) (A B)而而(A B) (A B)=A = A B + A B A B = A - A B (1) 而而(A B) B=A B;(A B) B=A B = A B + B 将将(1)(1)式代入式代入 A A B B = = A A + + B B - - A A B B 6.2 集合的运算集合的运算27例例:在在20名青年有名青年有10名是公司职员名是公司职员,12名是学生名是学生,其中其中5名既名既是职员又是学生是职员又是学生,问有几名既不是职员问有几名既不是职员,又不是学生。

18、又不是学生。解解:设职员和学生的集合分别是设职员和学生的集合分别是A和和B。由已知条件由已知条件 A =10, B =12, A B =5 A B = A + B - A B =10+12-5=17则则 (A B) = E - A B =20-17=3有有3 3名既不是职员又不是学生名既不是职员又不是学生从图中可以理解包含排斥定理。从图中可以理解包含排斥定理。6.2 集合的运算集合的运算28三个集合的包含排斥定理三个集合的包含排斥定理 |A B C = A + B + C - A B - A C - B C + A B C 6.2 集合的运算集合的运算29并和交运算的扩展并和交运算的扩展定义定

19、义6.10-11：设：设C是某论述域子集的集合。是某论述域子集的集合。(a)C的成员的并，记为的成员的并，记为 C，是由下式指定的集合，是由下式指定的集合 C=x | S(S C x S)(b)如果如果C,C的成员的交，记为的成员的交，记为 C，是下式指定，是下式指定的集合的集合 C=x | S(S C x S)定义说明如果定义说明如果x C ，那么，那么x至少是一个子集至少是一个子集SC 的元素。如果的元素。如果x C ，那么，那么x是每一个子是每一个子集集SC 的元素的元素6.2 集合的运算集合的运算30注意注意：对：对 C的定义来说，的定义来说，C必须非空，否则，由于必须非空，否则，由于

20、C=，那么蕴含式，那么蕴含式 对于每一对于每一S将是无将是无意义的真。意义的真。 对每一对每一x是真。因此所是真。因此所定义的集合就是定义的集合就是E，是不正确的。，是不正确的。SxCS)(SxCSS6.2 集合的运算集合的运算31例：设论述域是实数例：设论述域是实数R(a)如果如果C=1,2,4,3,4,5,4,6,那么那么 C=1,2,3,4,5,6， C=4(b)我们用我们用0, a)表示集合表示集合x|0 xa如果如果Sa=0,a),aR+,C=Sa | aR+,那么那么 C=0, )， C=06.2 集合的运算集合的运算326.3 集合恒等式集合恒等式设设 A,B,C,D是论述域是论

21、述域E的任何子集，于是有的任何子集，于是有:幂等律幂等律 AA = A AA = A 结合律结合律 (A B) CA ( B C) (A B) CA (B C)交换律交换律 ABBA ABBA分配律分配律 A(BC)= (AB) (AC) A(BC)= (AB) (AC) 33同一律同一律 A = A AE E= A A 零律零律 AE E = E A= 排中律排中律 AAE矛盾律矛盾律 AA吸收律吸收律 A(AB)= A A(AB)= A摩根定律摩根定律 A- (BC)=(A-B) (A-C) A- (BC)=(A-B) (A-C) (BC)= BC (BC)=BC E E双重否定律双重否定

22、律 (A)=A6.3 集合恒等式集合恒等式34qA B A A B B qA AB B AB qA-B A A-B=ABqAB=B A B A B =A A-B= qA B = B Aq(A B) C=A (B C)qA=A A A=qA B=A CB=C6.3 集合恒等式集合恒等式35例：例： 证明证明ABA B证：证：对任意的对任意的x，x(AB) xA x B xA x B x A B 所以所以ABA B6.3 集合恒等式集合恒等式36例例： 如果如果A B和和C D，那么，那么(AC) (BD)证明：设证明：设x是属于是属于(AC)的任意元素，的任意元素， 那么那么xA xC，现分情况

23、证明：，现分情况证明：如果如果xA，因为，因为A B，所以，所以xB 所以所以x BD；如果如果xC，因为，因为C D，所以，所以xD 所以所以x BD因此，如果因此，如果x AC，那么，那么x BD所以有所以有 (AC) (BD)6.3 集合恒等式集合恒等式37证明：证明： AB=B A B A B =A A-B= 证明证明:先证先证AB=B A B。假设任意假设任意x，x A x A x B x ABx B所以所以A B 再证再证A B A B =A ，显然，显然A B A ，对任，对任意意x，x A x A x A x A x B x A B 所以所以A B =A 6.3 集合恒等式集合

24、恒等式38再证：再证：A B =A A-B= AB A B (A B ) B A (BB)= 再证：再证： A-B= AB=B因为因为(A-B)B=AB,而而A-B= AB=B6.3 集合恒等式集合恒等式39第六章第六章 习题课习题课q 主要内容主要内容l 集合的两种表示法集合的两种表示法l 集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与联系别与联系l 特殊集合：空集、全集、幂集特殊集合：空集、全集、幂集l 文氏图及有穷集合的计数文氏图及有穷集合的计数l 集合的集合的 , , , , 等运算以及广义等运算以及广义 , 运算运算l 集合运算的

25、算律及其应用集合运算的算律及其应用40基本要求基本要求l 熟练掌握集合的两种表示法熟练掌握集合的两种表示法l 能够判别元素是否属于给定的集合能够判别元素是否属于给定的集合l 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系系l 熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算）熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算）l 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法41练习练习1 1判断下列命题是否为真判断下列命题是否为真 (1) (2) (3) (4) (5) a, b a, b, c, a, b, c (6)

26、 a, b a, b, c, a, b (7) a, b a, b, a, b (8) a, b a, b, a,b 解解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假为真，其余为假.42方法分析方法分析(1) 判断元素判断元素a与集合与集合A的隶属关系是否成立基本方法：的隶属关系是否成立基本方法： 把把 a 作为整体检查它在作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的中是否出现，注意这里的 a 可可 能是集合表达式能是集合表达式. (2) 判断判断A B的四种方法的四种方法若若A,B是用枚举方式定义的，依次检查是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否在的每个元素是否在B中出现

27、中出现. 若若A,B是谓词法定义的，且是谓词法定义的，且A, B中元素性质分别为中元素性质分别为P和和Q, 那那么么“若若P则则Q”意味意味 A B，“P当且仅当当且仅当Q”意味意味=通过集合运算判断通过集合运算判断A B，即，即A B = B, A B = A, A B = 三三个等式中有一个为真个等式中有一个为真.通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证明通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证明43练习练习22设设 S1=1, 2, , 8, 9， S2=2, 4, 6, 8 S3=1, 3, 5, 7, 9 S4=3, 4, 5 S5=3, 5 确定在以下条件下确定

28、在以下条件下X是否与是否与S1,S5中某个集合相等？如中某个集合相等？如果是，又与哪个集合相等？果是，又与哪个集合相等？ （1）若）若 X S5= （2）若）若 X S4但但 X S2= （3）若）若 X S1且且 X S3 （4）若）若 X S3= （5）若）若 X S3 且且 X S144解答解答解解(1) 和和S5不交的子集不含有不交的子集不含有3和和5，因此，因此 X=S2. (2) S4的子集只能是的子集只能是S4和和S5. 由于与由于与S2不交，不能含有偶数，不交，不能含有偶数， 因此因此 X=S5.(3) S1, S2, S3, S4和和S5都是都是S1的子集，不包含在的子集，不

29、包含在S3的子集含有的子集含有 偶数，因此偶数，因此 X=S1, S2或或S4. (4) X S3=意味着意味着 X是是S3的子集，因此的子集，因此 X=S3或或 S5.(5) 由于由于S3是是S1的子集，因此这样的的子集，因此这样的X不存在不存在.45练习练习33. 判断以下命题的真假，并说明理由判断以下命题的真假，并说明理由. （1）A B = A B= （2）A (B C) = (A B) (A C) （3）A A = A （4）如果）如果A B = B，则，则A = E. （5）A = x x，则，则 x A且且x A. 46解题思路解题思路先将等式化简或恒等变形先将等式化简或恒等变形

30、.查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符，结果为真查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符，结果为真.注意以下两个重要的充要条件注意以下两个重要的充要条件 A B = A A B = A B = A B A B = B A B = A 如果与条件相符，则命题为真如果与条件相符，则命题为真.如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示集如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示集合，看看命题是否成立合，看看命题是否成立.如果成立，再给出证明如果成立，再给出证明.试着举出反例，证明命题为假试着举出反例，证明命题为假.47解答解答解解(1) B=是是A B=A的充分条件，但不是必要条

31、件的充分条件，但不是必要条件. 当当B不空但不空但 是与是与A不交时也有不交时也有A B=A. (2) 这是这是DM律，命题为真律，命题为真.(3) 不符合算律，反例如下：不符合算律，反例如下： A=1，A A=，但是，但是A.(4) 命题不为真命题不为真. A B=B的充分必要条件是的充分必要条件是 B A，不是，不是A=E. (5) 命题为真，因为命题为真，因为 x 既是既是 A 的元素，也是的元素，也是 A 的子集的子集 48练习练习44证明证明 A B = A C A B = A C B = C解题思路解题思路分析命题：含有分析命题：含有3 3个命题：个命题： A B = A C ,

32、A B = A C, B = C 证明要求证明要求 前提：命题和前提：命题和 结论：命题结论：命题 证明方法：证明方法： 恒等式代入恒等式代入 反证法反证法 利用已知等式通过运算得到新的等式利用已知等式通过运算得到新的等式49解答解答方法一：恒等变形法方法一：恒等变形法 B = B (B A) = B (A B) = B (A C) = (B A) (B C) = (A C) (B C) = (A B) C = (A C) C = C 方法二：反证法方法二：反证法.假设假设 B C，则存在，则存在 x (x B且且x C), 或存在或存在 x (x C且且x B). 不妨设为前者不妨设为前者.

33、 若若x属于属于A，则，则x属于属于A B 但但x不属于不属于A C，与已知矛盾；，与已知矛盾；若若x不属于不属于A，则，则x属于属于A B但但x不属于不属于A C，也与已知矛盾，也与已知矛盾. 50解答解答方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式.由已知等式和可以得到由已知等式和可以得到 (A B) (A B) = (A C) (A C)即即 A B = A C 从而有从而有 A (A B) =A (A C) 根据结合律得根据结合律得 (A A) B = (A A) C 由于由于A A = , 化简上式得化简上式得B = C. 51练习练习55设设A,

34、B为集合，试确定下列各式成立的充分必要条件：为集合，试确定下列各式成立的充分必要条件：(1) A B=B(2) A B=B A(3) A B=A B(4) A B=A52分析分析解题思路解题思路: 求解集合等式成立的充分必要条件可能用到集合的算律、不求解集合等式成立的充分必要条件可能用到集合的算律、不同集合之间的包含关系、以及文氏图等同集合之间的包含关系、以及文氏图等. 具体求解过程说明具体求解过程说明如下：如下： (1) 化简给定的集合等式化简给定的集合等式 (2) 求解方法如下：求解方法如下：利用已知的算律或者充分必要条件进行判断利用已知的算律或者充分必要条件进行判断先求必要条件，然后验证

35、充分性先求必要条件，然后验证充分性利用文氏图的直观性找出相关的条件，再利用集合论的利用文氏图的直观性找出相关的条件，再利用集合论的证明方法加以验证证明方法加以验证 53解答解答解解(1) A B=B A=B=. 求解过程如下：求解过程如下： 由由A B=B得得 (AB) B = B B 化简得化简得B=. 再将这个结果代入原来的等式得再将这个结果代入原来的等式得A= . 从从而得到必要条件而得到必要条件A=B=.再验证充分性再验证充分性. 如果如果A=B=成立，则成立，则A B=B也成立也成立. (2) A B=B A A=B. 求解过程如下：求解过程如下：充分性是显然的，下面验证必要性充分性

36、是显然的，下面验证必要性. 由由A B=B A得得 (A B) A=(B A) A从而有从而有A=A B, 即即A B. 同理可证同理可证B A.54解答解答(3) A B=A B A=B. 求解过程如下：求解过程如下：充分性是显然的，下面验证必要性充分性是显然的，下面验证必要性. 由由A B=A B得得 A (A B) = A (A B)化简得化简得A =A B，从而有，从而有A B. 类似可以证明类似可以证明B A. (4) A B=A B=. 求解过程如下：求解过程如下：充分性是显然的，下面验证必要性充分性是显然的，下面验证必要性. 由由A B = A得得 A (A B) = A A根据结合律有根据结合律有 (A A) B = A A即即 B = , 就是就是B = .