计算机数值计算方法实验报告.docx

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1、试验内容(包括试验详细内容、算法分析、源代码等等)：姓名学号试验组试验时间指导老师成绩试验项目名称Jacobi迭代法试验目的及要求目的：用JacoZ?(4 1 iVx, 1 4 1 x2Il 1的解为玉=0.994、用上述程序i迭代法解线、，=109980,x2 = 1. = (0,0,0/7.28.3 , = 10- x=(0,0,0)4.2)试验(或算法)原理：设 Ax=b,A/TC / 宠。若 | A建立迭代格式，x(k+i) = Bx(k) + /(& = 0,1,k表示迭代次数。Jacobi迭代格式：工1 = b ,)B称Al) = J_黑则Ax二b有唯一解。 为迭代矩阵，一加/Ax

2、 = bx= Bx(n) + f,)=()称为迭代初始向量，(，=1，2)试验硬件及软件平台：PC 机,vc+6. 0, Internet 网。试验步骤：1 .依据算法事先写出相应程序。2 .启动PC机，进入vc集成环境，输入代码。3 .编译调试。4 .调试通过，计算出正确结果#include#includeSdefine MAX_n 100define PRECISION 0. 000001解输出void SulutionOutput(float x, int n) (int i;for(i=l;i=n;+i)printf(nx%d=%f”, i, xi);三对角方程组元素输入void Tr

3、iDiagonalMatrixInput(float a, float b, float c, float f, int n) (int i;printf (Input bl, cl, f 1:z，);scanf”,;for(i=2;in;+i)(printf(Input a%d,b%d,c%d, f%d:, i, i, i, i);scanf”, &ai,&bi,&ci,&fi);printf (Input a%d, b%d, f%dn, n,n);scanf&an, &bn, &fn);三对角方程组求解一-直接法void Z_G_method(float a, float b, float

4、 c, float f, int n) (int i;cl/=bl;for(i=2;in;+i)ci/=(bi-ai*ci-l);fl/=bl:for(i=2;i0;-i) fi-=ci*fi+l;void main 0(int n;float aMAX_n,bMAX_nfloat cMAX n,fMAX n;printf(，znlnput n=);scanf($d”, &n);TriDiagonalMatrixInput(a, b,c, f,n);Z_G_method (a, b, c, f, n);SulutionOutput(f, n);)3 1、2.验证线性方程组2 3 12 3 1%

5、X,01的解为、1 3)x, = 0.552632, x2 =-0.657895, x. =0.86842 l,x4 =-0.289474r 2 -1、1、-1 2 -103.用上述程序解线性方程组-1 2 -1刍=0,要求输出方程组-1 2 -1%0、-1 2)0)的解结果:验证结果例3的结果:争论：三对角线方程组是方程组中一种比较特殊的方程组，它的系数矩阵A是对角占优的三对角阵。对待 这类特殊的矩阵我们使用“追逐法”来解方程组。它首先对系数矩阵A作crout分解，通过与系数矩阵A对比得到两个矩阵即一个下三角阵L和一 个单位上三角阵U,这就是“追逐法”追的过程。接着对LY=f求解Y,再使用求

6、解的Y,对欧=丫求解得到X。这个过程就是“追逐法”赶得过程。通过这次试验，我们发觉对待不同的方程组，应当使用不同的方法，虽然三对角方程组也是方程组 的-种，我们对它虽然也能使用前面一个试验的Gauss消元法，但相对于gauss消元法，追逐法的 计算次数要少很多，这有利于节约资源，便利计算。指导老师意见:签名：年 月 日试验项目名称变步长法试验目的及要求：复合S而5。公式是提高精度的行之有效的方法，但是在使用求积公式之前，必需先给 出步长。步长取得太大精度难以保证，步长太小则导致计算量的增加，而事先给出一个 合适的步长往往是困难的，因此提出了在求积过程中依据精度要求自动确定积分步长的公式的逐次分

7、半加速法。试验（或算法）原理:将a, b等分成n个子区间，其长度为二区,在每个子区间上使用低阶求积公式进行计算，然n后把全部子区间上的计算结果求和，就得到了（幻在a, b上积分的近似值。本算法用复合simpson公式计算定积分/（工）Z的近似值，自动选取步长，使得相邻两次计算值之差的肯定值小于预 先给定的误差限试验硬件及软件平台：PC 机，vc+6. 0, Internet 网。试验步骤：1 .依据算法事先写出相应程序。2 .启动PC机，进入vc集成环境，输入代码。3 .编译调试。4 .调试通过，计算出正确结果试验内容（包括试验详细内容、算法分析、源代码等等）:算法设计。输入 a,= 1, o

8、ld = O, /? = O计算 f(a)Jhcon = /() + f(b)输出s2.编写相应的程序上机调试。#include#includedouble f(double x) double y;if(x=0)else y=sqrt(l-x*x);return y;double simp(double a,double b,double e) int n,j;double p,con,h,s,old,t,x；n=l；p=0；con=f(a)+f(b);h=b-a;s=h*(con+4*f(a+0.5*h)/6;old=f(a+0.5*h);while(fabs(s-p)/15e)n=2*n

9、;p=s； h=(b-a)/n;t=0;for(j=l;j=n;j+)x=a+(j-0.5)*h;t=t+f(x);s=h*(con+4*t+2*old)/6;old=old+t;|return s;1void main()double a,b,e,s;a=0;b=l;e=le-6;s=siinp(a,b,c);prinlf(,s=%fn,s);)3.用上述程序验证J：色丝小的值为0.946083, = lxl0-6o4、用上述程序计算公, = 10”。5、用上述程序计算J； J1 d火 = 10 .试验结果与争论:验证结果例4的结果cT *C:zslDebugzsl.exe*s=0.7468

10、24Press any key to continue.例5的结果言 -C:zslDebugzsl. exe-s=0.785395Press any key to continue争论:采用变步长复合Simpson求积法解决那些用微积分方法所不能求解的积分问题。避开使用高阶newlon-coles公式带来的误差，能提高求积的精确度，但是采纳这种方法 从余项表达式可以看出，计算的精度与步长有关，从理论上讲，可以依据复合求积公式 的余项公式或其近似式，预先确定出恰当的h来，但是在实际使用中，由于被积函数的 高阶导数很难估量，或者被积函数没有解析表达式，因此，这个预先估量h的方法就不 便使用。指导老

11、师意见：签名：年 月 日a a2 4”、如试验目的及要求：用Gauss列主元素消去法解线性方程组a22* a2n工2*=b24 凡2力$试验项目名称Gauss列主元素消元法试验（或算法）原理：用二维数组编写程序实现Gauss列主元素消去解方程组。线性方程组求解问 题在很多科学计算问题中都会遇到，编写用于求解线性方程组的工具在现实中是特别有必要的。这 次试验的原理是应用gauss消元法来编写程序的，在肯定程度上gauss消元法便利了我们对线性方 程组的计算。试验硬件及软件平台：计算机Microsoft visua 1 C+ 6. 0试验步骤：1.依据算法事先写出相应程序。2 .启动PC机，进入v

12、c集成环境，输入代码。3 .编译调试。4 .调试通过，计算出正确结果。#include#include#dcfine N 3 void main() int i,j,k,l;float aNN,bN,xN,max,p,q,s;for(i=0;iN;i+)for(j=0;jN;j+)printf(a%dl%d=,i,j);scanf(%f,&alijj)；for(i=0;iN;i+)printf(Mb%d=H,i);scanf(M%f;&bi);fbr(k=O;kN-l;k+) max=fabs(akk);l=k;for(i=k+l;imax) max=fabs(aik);l=i；) if(l!

13、=k) for(j=k;jN;j+) p=alkJUl；ak|j=alj;aUU=p；) P=bk;bk=bl;bl=p；Ifor(i=k+l ;iN;i+) q=aik/akk;for(j=k+ l;j=0;i-)(s=0;for(j=i+l;jN;j+) s=s+aij*xj;xi=(bi-s)/aii;)for(i=0;iN;i+) printf(x%d=%f,i,xi);)3-113-11的解为X =2,当=3r 12 -33、用上述程序验证线性方程组-18 3J 1，要求输出方程组的解。，要求输出方程组的解。1 -I4、用上述程序解线性方程组-2 114 T试验结果与争论:验证的结果

14、：4的结果:指导老师意见:签名：年 月 日试验内容(包括试验详细内容、算法分析、源代码等等)：#include#include#define N 3阶数void jacobi (double aNN, doubIe bNt double xN, doubIe e) lint i,j;doubIe p, x1N, ep, sub;do(for(i=0;iN;i+)x1i=xi;for(i=0;iN;i+)lp=0;for(j=0;jN;j+)if(j! = i)P=p+aij*x1 j;xi = (bi-p)/ai i;)ep=0;for(i=0;iN;i+)sub=fabs(xi-x1 i);

15、if (epe);)void mainO(double aN N = 4, 1,1,1,4,1,1,1.4):double bN = 7, 10, 7;doub I e xN = 0, 0, 0);doubIe e;int i;e=1e-4;误差范围jacobi (a, b, x, e);for(i=0;iN;i+)printf (x%d=%fn, i,xi);)例4#include#includedefine N 3阶数void jacobi(double aNN, double bN, double xN, double e) int i,j;double p, xlN, ep sub;试

16、验项目名称I常微分方程初值问题的数值方法试验目的及要求：用数值微分法与数值积分法求一阶常微分方程初值问题S在离散点a xQ xx Xe0，1,输y（0） = 1出精确解与数值解.，并分析结果，精确解），=侬、3.欧拉法#include#includedoub1e f (doub1e x,doubIe y) double z;3.改进欧拉法# i nc1ude#includedoub1e f(doub1e x,double y)z=y-(2*x)/y;return z;)doubIe g (doubIe x)z=y-2*x/y;return z;)doubIe g(doubIe x)(doubl

17、e y;y=sqrt(1+2*x);return y;)void main()(int n, i;doubIe a, b, h, xO, yO,x1,y1, e;a=0;b=1;n=10;y0=1;h= (b-a) /n;xO=a;for(i=0;i=n-1;i+)x1=x0+h;y1=y0+h*f(xO, yO);e=fabs(g (x1)-y1);p r i ntf (e%d=%fn, i+1, e);y0=y1；x0=x1;)精确值与计算值#i ncIude#i ncIudedoubIe f (double x, double y) (double z;z=y-(2*x)/y;retur

18、n z;)double g(double x) (double y;y=sqrt(l+2*x);return y;void main()int n,i;double a,b,h,xO,yO,x 1 ,y 1 ,e,yp,yc;a=0;b=l;n=10;yO=l;h=(b-a)/n;xO=a;for(i=0;i=n-l;i+)(xl=xO+h:yp=yO+h*f(xO,yO);yc=yO+h*f(xl,yO);yl=0.5*(yp+yc);e=fabs(g(xl)-yl);printf(x I =%f,g(x l)=%f,y l=%f,e%dl=%fn,x l,g(x l),y l,i+1 ,e

19、);yo=yi;xO=x1;试验结果与争论: 欧拉法改进欧拉法c： C:DocuBents and Sett.e11=0.005445 et2=0.011739 e33=0.018967 e4=0.0272858(5)-0.036897 e6)-0.048057 e?=0.061073 e8)=0.076318et9=0.094240 e10=0.115386Pi*ess any key to continue精确值1 C:Docuaents and SettingsGZDX桌面Debug3. exe” xl=0.100000,g=l.095445,yl=l.090000,etl=0.0054

20、45 xl=0.200000,g=l.183216,yl=1.171477,e23=0.011739 xl=0.300000,g=l.264911,yl=1.245944,e31=0.018967 xl=0.400000,g =1.341641,yl=1.314356,e4=0.027285 xl=0.500000,g=l.414214,yl=1.377317,e53=0.036897 xl=0.600000,g=l.483240,yl=1.435183,e63=0.048057 xl=0.700000,g=l.549193,yl=l.488120,e73=0.061073 xl=0.8000

21、00,g=l.612452,yl=l.536134,e8=0.076318 xl=0.900000,g=l.673320,yl=1.579080,e93=0.094240 xl=1.000000,g=l.732051,yl=l.616665,eC10=0.115386 Press any key to continue4.欧拉法(h=0. 025)h=0. 005C： C:DocuMexrts and SettingsGZDX桌面、欧拉法 1 Deb_ . _区JdeC13=0.106531 e23=0.117879 e3 =0-098130 eC4J=0.072835 e51=0.05083

22、5 e63=0.034162 e73=0.022385 e【8 1=0.014409 e9 3=0.009156 eC10-0.005761 etll 1-0.003598 e121-0.002235 e13 J-0.001381 e C143-0.000851 e 15 30.000523 e163=0.000320 e17J=0.000196 e18 3=0.000120 e 19 =0.000073 e203=0.000044 Press any key to continue-lo y ”构造 L4gsge插值多项式 L,(x) = fd)y,用/(xh LM-鹏 /=o xrXj 1

23、3 .已知下列函数表1 0.320.340.36sinx 0.314567 0.333487 0.352274用上述程序验证用线性插值计算sin 0.3367的近似值为0.330365 ,用抛物插值计算sin 0.3367 的近似值为 0.330374。4 .已知下列函数表x 111213nx 2.3979 2.4849 2.5649用上述程序分别用线性插值与抛物插值计算In 11.75的近似值三.试验组织远行要求统一进行试验，一人一组。试验（或算法）原理：算法设计试验硬件及软件平台：PC 机，vc+6. 0, Internet 网试验步骤：1.依据算法事先写出相应程序。2 .启动PC机，进入

24、vc集成环境，输入代码。3 .编译调试。4 .调试通过，计算出正确结果。试验内容（包括试验详细内容、算法分析、源代码等等）:1 .算法设计.编写相应的程序上机调试。#include#includedefine Ndouble lagrange(double xN, double yN, double xx)double yy, t;int j, k;yy=0. 0;for(j=0;jN;j+)(t=l. 0;for (k=0;kentsand SettingsGZDXLocal SettingsTeApRar$/=0.330374Press any key tocont inueM例4的运行结

25、果：线性插值c *C: Docu*ent s and Sett ingsGZDX桌面Lagrange插值法Lagra/V-2.463150 Press any key to continue抛物插值结果:*C:Docuients and SettingsGZDX桌面Lagrange插值法Lag【ayy=2.463806Press any key to continue.争论：采用插值基函数很简洁的到Lagrange插值多项式，公式结构结构紧凑，在理论分析 中甚为便利，但是在使用Lagrange插值多项式时，当插值节点增减时插值基函数会发 生变化，整个公式耶将发生变化，实际计算不便利。大多数函数

26、不能直接用计算机进行数值计算，插值法就能解决关于函数的近似代替 与计算的基本的并且是有效的方法。Lagrange插值多项式要由n+1个n次Lgagrange 插值基函数组合而成，其组合系数恰好是节点上的函数值，这就使得简洁计算。插值次 数较少没有插值次数多是精确，但是假如过多的增加插值次数，插值多项式函数在某些 非节点处的振荡可能增大，因而可能使在非节点处的误差编的更大，此外节点的增加会 使插值多项式的计算次数增多，不利于掌握舍入误差。这时可以用分段二次Lagrange 插值。指导老师意见:签名：年 月 日dofor(i=0;iN;i+)xli=xi;for(i=0;iN;i+)p=0;for

27、(j=0;jN;j+)if(j!=i)p=p+aij*xlj;xi=(bi-p)/ai i;)ep=0;for(i=0;iN;i+)sub=fabs(xi-xli);if(epe);)void main()double aN N=10, -1,-2, -1,10, -2,-1,-1, 5;double bN = 7. 2,8. 3, 4. 2;double xN = 0,0, 0;double e;int i;e=le-5;误差范围jacobi (a, b, x, e);for(i=0;iN;i+)printf (x%d=%fn”, i, xi);试验结果与争论：用儿。而迭代法解线性方程组Ar

28、 =要求：用上述程序验证线性方程组的解为凡=0.999980,占=1.999980,刍=0.999980, e = 1 (T*,1=(0,0,0)7试验项目名称曲线拟合最小二乘法 试验目的及要求：把握数据拟合的思想，清晰数据拟合与插值法的区分及最小二乘原理在数据拟合中的重 要作用及最小二乘解的求法。试验（或算法）原理：最小二乘法是一种数学优化技术。为确定客观寻存在着的变量之间的函数关 系，需要大量的试验、观测或者社会调查所得数据建立函数关系式，这些数据中往往带有随机误差 它通过最小化误差，但有时却无法重新采集。采用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得 这些求得的数据与实际数据之间误差的平

29、方和为最小。例如最小二乘法曲线拟合。试验硬件及软件平台：PC 机，vc+6. 0, Internet 网。试验步骤：1 .依据算法事先写出相应程序。2 .启动PC机，进入vc集成环境，输入代码。3 .编译调试。4 .调试通过，计算出正确结果。试验内容（包括试验详细内容、算法分析、源代码等等）:1.算法设计。#include#include#define N#dcfinc Mvoid gauss(double aNN,double bN,double xN)int i,j,k,l;double max,p,q,s;for(k=0;kN-l;k+)max=fabs(akk);l=k;for(i=k

30、+l；imax)max=fabs(ai k);l=i；if(l!=k)for(j=k;jN;j+)(P=akfj;akU=alU;alj=p；)p=bk;bk=bl;bll=p；1for(i=k+l;iN;i+)q=aik/akk;for(j=k+l;j=0;i-)s=0;for(j=i+l ;jN;j+)s=s+aij*xj;xi=(bi-s)/aii;)void polysimu(double xM,double yM,double wM,double tN) int i,j,k;double aNN,bN;for(i=0;iN;i+)for(j=0;jN;j+)aij=O;for(i=(

31、);iN;i+)for(j=i;jN;j+)for(k=0;kM;k+)aifj=aij+wk*pow(xk,j+i);aUi=aiUl；)for(i=0;iN;i+)bi=0;for(i=0;iN;i+)for(k=();kM;k+)bi=bi+wk*pow(xk,i)*yk;gauss(a,b,t);)void main()int i;double xM=;double yM=;double wM=;double tNJ;polysiinu(x,y,w,t);for(i=0;i FilesMicrosoft Visual StudioMyProjectszsla0J1.897959aCl1

32、-1.077551Press any key to continue.方程 =1.897959 +1.07755 x二次拟合c一D:Progra* FilesMicrosoft Visual StudioMyProjectszsla0-1.415584all=1.258442a2 J=-0.084416Press any key to continueW 5, =-1.415584 +1.258442x- 0.084416x2三次拟合c一D:Progra* FilesMicrosoft Visual StudioMyProjectszsla0=-1.290065aCl1=1.101281a2

33、J=-0.123640a3-e.014382Press any key to continue方程+o.014382/争论：试验根果与争论：在科学试验数据处理中，往往要依据一组给定的试验数据 （如必为=01,幽），求出自变量x与因变量y的函数关系= s（x/,这是 以i为待定参数，由于观测数据总有误差，且待定参数ai的数量比给定数据点的数量少（即 n = s（x） = s（x;a0,即）通过点.(Xi，yi)G = OJ,m),而只要求在给定点外上的误差4=5e)-片 = ，1产.，加)的平方和 次Z?最小.当s(x)espanoo，0i，,0时，即 s (x) = a00(x) + a11(

34、x) + - + (x)(1) 这里仍(立仍(立,0)e C句是线性无关的函数族，假定在。,句上给出一组数据 (看,必),i = 0,1,，。玉46以及对应的一组权值；,这里总为权系数，要求 s(x) =span0o,仍,，叫吏也吗，,分)最小，其中 也必，”)?自国为)-必 这就是最小二乘靠近，得到的拟合曲线为y=s(x),这种方法称为曲线拟合的最小二 乘法.指导老师意见：签名：年 月 日C:DocuBents and SettingsGZDXx0=0.999980xU=l.999980xC2=0.999980Press any key to continue-110-1-110-13)=(

35、0,0,0)7。10用上述程序解线性方程组-1-1C:Docu*entsand SettingsGZDXx0=l.099998 xU=l.199998 x2=l.299997 Press any key tocontinue争论：对大型稀疏矩阵方程组，采用迭代法求解方程就是比较合适的在计算机内存与运算两方面， 雅克比迭代法的优点明显，计算公式简洁，每迭代一次只需要计算一次矩阵和向量的乘法，并且在 计算过程原矩阵A不变，比较简洁计算，但是jacobi迭代法方式收敛速度比较慢，并且占据的存储 空间较大.指导老师意见:签名:试验项目名称Newton迭代法试验目的及要求：采用New.迭代公式 =x,P( = OJ)求非线性方程/(幻=0的近似 fW根。要求：用上述程序验证刀靖-1 = 0在内)=。.5四周的根为0.567143, = 310，允许最大迭代次数为100o3.用上述程序求d-3x-l=0在/=2四周的