第32讲 复数（讲）（教师版）.docx

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1、第32讲复数思维导图题型1:复数的有关概念b 题型2:复数的运算题型3:复数的几何意义知识梳理1 .复数的有关概念(1)复数的概念：形如a+bi(aR)的数叫复数,其中a, b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数；若厚0, 则。十折为虚数；若，=0且8/)，则+0i为纯虚数.(2)复数相等：a+/?i = c+di= = c 且 Z?=d(，/?, c, dR).(3)共加复数：a+/?i 与 c+di 共轨=q=c, b= d(a9 b, c, dR).(4)复数的模：向量为N的模厂叫做复数z=a+/?i(a, Z?R)的模，记作|z|或|o+bi|,即|z| = |a+列=4片

2、+业2 .复数的几何意义一 一对应(1)复数z=q+历复平面内的点Z(6Z, b)(a, bR).一 一对应(2)复数 z=Q+Z?i(，/?eR) 平面向量 OZ.3 .复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 zi=o+/?i, Z2 = c+di(a, b, c, dR),则加法：Z + Z2 = (。+ 历)+ (c+di) = (。+c) + (b+d)i;减法：z Z2 = (q + i) (c+di) = (ac) + (Z?d)i ；乘法：z-Z2(a+/?i)-(c+(ii) = (acbd) + (ad + /?c)i；除法:ZiZ2a-bibi)(c- di) ac

3、+bd bc-ad 1=T%i=正丽二=7奇奇i十&#。).（2）复数加法的运算定律设zi，Z2, z3ec,则复数加法满足以下运算律:交换律：Z1+Z2 = Z2 + Z；结合律：(Z1+Z2)+ Z3 = Z1 +(Z2 + Z3).题型归纳题型1复数的有关概念【例1-1】（2020新课标ni）复数一的虚部是（）1 3，A. -B. -C.101010D.310【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解:1 l + 3i 13 .-=+ I ,1-3/ (1 - 3/)(1 + 3/) 10 10，复数上的虚部是a.l-3z10【例1-2】（2020春宜宾期末）已知复数z

4、 = a + 4（,H）满足|z|=逐，且z-l为纯虚数，则z =（）A. 1 + 2，B. 2-iC. 2zD. l2z【分析】由已知可得/+6=5, = 1,求得 =2,则答案可求.【解答】解:由2 =+砥区打3）,且满足|Z|=逐,得+加=5 ,又zi=m-1)+为纯虚数,a = 1 ,代入，得b = i2.:.z = l2i 故选：D.【例1-3】（2020春朝阳区期末）已知复数z = 2L则z的共飘复数彳等于（）A. 0B. 21C. -2zD. -4【分析】直接根据共枢复数的定义求解即可.【解答】解：因为复数z = 2i,则z的共狮复数5 = -2i； 故选：C.【跟踪训练1-1】

5、（2020春湖南期末）若（3-if的实部为，（2 + i）（l-，）的虚部为 则。+ 6 =（）【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由题意求得与的值，则答案可求.【解答】解：（3-，）2=8-6，（2 + 0（1-/） = 3-/,.4 = 8, h = -l,则 a + Z; = 7.故选：C.【跟踪训练1-2】（2020春德州期末）已知复数z = （l i） + m（l +，）是纯虚数,则实数m=（）A. -2B. -1C. 0D. 1【分析】把复数Z化为Q +砥力出的形式，再由实部为。且虚部不为。列式求得加值.【解答】解：z = （l ，） +m（1 +，）=（加+ 1） + （m

6、1），是纯虚数，【跟踪训练1-3】（2020春无锡期末）已知复数z =+ L为虚数单位），则z的虚部为（ ）A. -B. -zC. -D.-5555【分析】利用虚部的定义即可得出.17【解答】解:由复数z =+4i（i为虚数单位）,7 则z的虚部为.5故选：C.【跟踪训练1-4 （2020春沙坪坝区校级期中）若复数2 =疗+加+ （加+ 1），是纯虚数,其中z是实数，则【分析】由复数Z = +2 + （2 + 1），是纯虚数，列出方程组,求解可得加的值,然后代入Z = +相+ （加+ 1），求出Z,进而求得答案.【解答】解：因为复数z = +/72 + O+1），是纯虚数，其中m是实数，所以：

7、2 =。且m+i 0 ；故加=。；故：,；所以：5 = ，；故答案为：-Z .【名师指导】解决复数概念问题的方法及注意事项（1）求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式Z=Q+bi（，R）,则该复数的实部为 a,虚部为b.（2）求一个复数的共相复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得 原复数的共相复数.复数zi = a+/?i与Z2=c+i共机=Q=c, b=d（a, b, c, dR）.题型2复数的几何意义【例2-1】（2020春湖北期末）已知复数z满足（l + i）z = 40为虚数单位），则复数2-0在复平面内对应的 点所在的象限为（ ）A.第一

8、象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出2-血的坐标得答案.【解答】解：由（l + i）z = 4,得 z = = = 2-2l + Z （1 + Z）（l - 0z-0 = （2-0）-21,在复平面内对应的点的坐标为（2-0, -2）,所在的象限为第四象限.故选：D.【例2-2】（2020春开封期末）在复平面内，O是坐标原点，向量函对应的复数是-2 +心 若点A关于实 轴的对称点为点则向量而对应的复数的模为.【分析】由已知求得A的坐标，得到3的坐标，进一步求出向量砺对应的复数，再由复数模的计算公式求 解.【解答】解：向量函对应的

9、复数是-2 + i,.4-2,1）,又点A关于实轴的对称点为点2,-1）.向量9对应的复数为-2-L该复数的模为I-2-，|=石.故答案为：逐.【跟踪训练2-1】（2020春泉州期末）若复数z = 3-41,则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【分析】根据复数的几何意义先求出对应点的坐标，然后进行判断即可.【解答】解：复数z在复平面内对应的点的坐标为（3,-4）,位于第四象限，故选：D.【跟踪训练2-2 （2020春六盘水期末）复数z = 3-2L则z的共钝复数彳在复平面内所对应的点位于（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】由

10、已知求得N,进一步得到彳的坐标得答案.【解答】解：,.,z = 3- 23,5=3 +万，则彳在复平面内所对应的点的坐标为（3,2）,位于第一象限.故选：A.【跟踪训练2-3 （2020春赤峰期末）复数z满足（l + i）z = 2 + 3i,则z在复平面表示的点所在的象限为（A.第一象限A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.缶刀死冷刀rhc o 夕曰 2 + 3/（2 + 3/）（1 z）51 .【解答】 触： 由（1 + i）z = 2 + 3i , 得 z = + %；1 + i（1 +1）0 - 022复数z在复平

11、面内对应的点的坐标为（*, 1）,所在的象限为第一象限.22故选：A.【跟踪训练22春平顶山期末）已知复数2 =芸则，在复平面内对应的点位于（A.第一象限A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z在复平面内对应点的坐标得答案.），10-位于第四象限.10【解答】解:【解答】解:出=(2 +，)(3一)=巾=工+。3 + i (3 + z)(3 - 01010 107z在复平面内对应的点的坐标为（今7彳在复平面内对应的点的坐标为（历,【跟踪训练2.5】（2020春内江期末）已知复数z = 2-d是虚数单位

12、），则复数z?在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z,则答案可求.【解答】解：z = 2 z,z2 =(2-1)2 =3-4/ ,.复数z2在复平面内对应的点的坐标为(3,-4),位于第四象限.故选：D.【跟踪训练2-6】(2020春宜宾期末)已知复数z = 3 + 4儿 则z的共辄复数彳在复平面内对应的点位于第象限.【分析】利用虚数单位i的运算性质变形，再由共飘复数的概念求得彳，则答案可求.【解答】解：,.,z = 3 + 4=3-4， z=3 + 4z,则复数彳在复平面内对应的点的坐标为(3,4),位于第一象限.故答

13、案为：一.【名师指导】1 .准确理解复数的几何意义(1)复数z、复平面上的点Z及向量/相互联系，即z=i+历(a, bR)=Z(a, b)=OZ.(2)由于复数、点、向量之间建立了对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解 题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.2 .与复数的几何意义相关问题的一般步骤(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数Q+/?i(a, bR)与复平面上的点(a, h)一一 对应.题型3复数的运算【例 3-1】(2020新课标 I )若 z = l + i,则|z? -2z|=()A.

14、 0B. 1C. V2D. 2【分析】由复数的乘方和加减运算，化简z2-2z,再由复数的模的定义，计算可得所求值.【解答】解:若 z = l + i,则 z22z = (l +，)22(1 +，) = 2，-2 2，= 一2, 则 |z22z|=|-2|=2, 故选：D.【例 3-2】 (2020新课标III)若5(l + i) = l-i,则 z =()A. 1-zA. 1-zB. 1 + zC. -ID.【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简,然后利用共貌复数的概念得答案.【解答】 解： 由 三(1 +，) = 1 一，W z =- = -=-i 1 + z (1 + 1)

15、()【例 3-3】(2020新课标H) (1-04=()A. -4A. -4B. 4C. -41D.4,【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：(l-D4=(l-022 =(-202 =-4.【跟E宗训练3-1】（2020山东）2 =（）1 + 2，A. 1A. 1B. -1C. iD.【分析】运用复数的除法运算法则，化简可得所求值.【解答】解：高券覆j【跟踪训练3-2】（2020海南）（1 + 2。（2 +，）=（A. 4 + 5zB. 4 + 5zC. 5iD. -5iD.2 + 3z【分析】根据复数的乘法公式计算.【

16、分析】根据复数的乘法公式计算.【解答】解：(l + 2i)(2 + i) = 2 + i + 4i + 2/=5i,【跟踪训练3.3】（2020春沙坪坝区校级月考）【跟踪训练3.3】（2020春沙坪坝区校级月考）已知复数 z = (l)(2 + 7),则 z.z=()A. 2B. 5C. 10D. 18【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z泛二|Z求解.【解答】解：由 z = (l ，)(2 + i) = 2 + i 2i + l = 3 i,得 Z互=|Z|2=(JI6)2 =1。.故选：C.【跟踪训练3-4】(2020河南模拟)已知2(1-i) = 5 + i,则z =()A. -

17、2 + 3/B. -2-3/C. 2-3/D. 2 + 3/【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：z(l i) = 5 + i,5 + i (5 + i)(l + i) z = 2 + 311-i (1 - z)(l + i)故选：D.【名师指导】复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的 乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共粗复数，解题中要注意把i的露写成最简形式