2019年高考理数真题试卷（北京卷）.docx

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1、阅卷入得分在每小题列出的四个选共40分）D. 52019年高考理数真题试卷（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分 项中，选出符合题目要求的一项。（共8题;.（5分）已知复数z=2+i,则z3 =（）A. V3B. V5C. 3.（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）、开始,D. 40）到直线1的距离是D -5A. 1B. 2C. 3. （5分）已知直线1的参数方程为匕二（t为参数），则点（1, 一乙十包（ ）A.1B. IC.3JJJ1 . （5分）已知椭圆 与+彳=1 （ab0）的离心率为； 贝汁（）A. a2=2b2B. 3a2=将C. a=2bD. 3a=4b根据正

2、弦定理，当=三 , smB sinC得 4 = ，解得 sinC =，所以 cosC =，T1414日斤 l、J . /n 二、 - n r 二 遮 11 z 1、5/316/34/3所以 sin(B C) sinBcosC - cosBsinC - x -r-r - (5) x . - - y乙JL 1-乙JL i-乙 CJ/【解析】【分析】(I)根据余弦定理，解方程即可求出C和b；(II)根据同角三角函数的平方关系，求出sinB,结合正弦定理，求出sinC和cosC,即可依据两角 和的正弦公式，求出sin (B-C).16 .【答案】 证明：因为PA 1平面ABCD,所以PA 1 CD,又

3、因为CD 1 AD, ADHPA = D ,所以CD 1平面PAD；(II)过 A 作 AM 1 BC 交 BC 于 M,以A为原点，AM, AD, AP所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系,由于PA=AD=CD=2,BC=3,E为PD的中点，嚣=卜A (0, 0, 0), C (2, 2, 0), D (0,2,0), P (0,0,2),9(|,|片)，E (0,1,1), M (2,0,0)由已知，平面AEP的法向量为前=(0。2)，设平面AEF的法向量为n=xtyfz),且 版=(0,1,1),而= (|,|2),y + z = 0，得 |”|y + ，令 Z=J，设二面角F-

4、AE-P的夹角为0 ，同 IrcBI底初I 2 _V3则Issei一河南一元后一手 而二面角F-AE-P为锐二面角，故其余弦值为 噂；(III)设点 B (2, -1,0),由于 第=|，且 丽=(2,-1,-2),则阳=1而=焉|,_今，所以而=而+万=1,|),而平面AEF的法向量五=(11),且n-AG = 0，所以nLAG，而4 G平面AEF,所以AG在平面AEF内.【解析】【分析】(I)根据线面垂直的判定定理，证明线线垂直，即可得到线面垂直；(II)建立空间直角坐标系，表示点的坐标，写出相应的向量，求出平面的法向量，结合空间向量的 数量积运算，即可求出二面角的余弦值；(III)根据空

5、间向量，证明法向量与直线的方向向量垂直，再根据点在平面内，即可证明直线在平 面内.17 .【答案】解：(I)抽取的100人中，A, B两种支付方式都使用的人数为100-5-18-9-3-10-14- 1=40,设A, B两种支付方式都使用为事件A,则P (A)=黑二1， JL yJ U J即A, B两种支付方式都使用的概率为| ；(ID X的可能取值为0,1,2；其中 P (X=0) = |x| = A , p (X=l) = |x| + |x| = | , DD 乙。ODO。 乙。P(X=2)= |x|4，所以分布列为X012P6251325625(III)不能认为样本仅使用A支付的学生中本

6、月支付金额大于2000元的人数有变化，因为概率是在大量重复试验下得到的一个预测结合，不能确定是不是一定发生。【解析】【分析】(I)求出相应的人数，结合古典概型求出相应的概率即可；(II)求出离散型随机变量X的可能取值和相应的概率，即可得到相应的分布列；(III)根据概率的含义，从统计的角度进行分析即可.18 .【答案】解：(I)将(2,-1)代入抛物线方程，得22 = -2p X (-1),解得p=2,故抛物线方程为%2 = -4y ,其准线方程为y=l；(II)过焦点(0, -1)作直线1,由于直线与抛物线有两个交点，故直线1的斜率存在,设 1： y=kx-1, 叭1，_),N(%2，_)，

7、将直线方程与抛物线方程联立，得/ + 4依-4 = 0 ,山韦达定理 工1 + %2 = -= -4 , 则 ioM-y = ?%/oN：y =令 y=l,则 4(右 一 1),8(3-1),b),PB =(2a,l /?),b),PB =(2a,l /?),设以AB为直径的圆上点P (a, b),则而=*一。,一1一 PA - PB =(看。)(2 - a) + (-1 - b)(1 b) = 0 ,整理得 一4 + a(-4/c) + M +(1 + 切2 = o , 令 a=0,则(1 +5)2=4 ,所以 b=l 或 b=-3,即以AB为直径的圆经过y轴的两个定点(0)和(0, -3)

8、.【解析】【分析】(I)将点的坐标代入，即可求出抛物线的方程和准线;(II)将直线方程与抛物线方程联立，表示点的坐标，结合圆的特点，求出圆的方程，即可求出相应定点坐标.19 .【答案】解(I) ，(%)=,%22% + 1 ,令/。)=1 ,r I只则 = 0, %2 = W，因为 /(0) = 0,/(1)= ,故斜率为1的直线为y=X或=,整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或-y -翳=0 ； 乙/(II)构造函数 g (x) =f (x) -x+6,则 g(x) = jx2 2x ，令 g(%) = 0 ，则 %1=(J,2=2，故g (x)在-2,0上单调递增，在0,|上单调递减，

9、在|,4上单调递增，故g (x)的最小值为g(-2)或渭)，而 g(-2)=0, 渭)=瑞 o ,故g(切皿也=g(2)= o ,所以 0(二)之 0，故在-2,4上，% - 6 /(%)；构造函数h (x) =f (x) -x,则 hf(x) = x2 2x ，令(%) = 0 ,则 = 0,x2 = | 故h (x)在-2,0上单调递增，在0,1上单调递减，在今4上单调递增，故h (x)的最大值为 JJh (0)或 h (4),因为 h (0) =0, h (4) =0,所以 /i(x) 0 ,故在-2,4上，/(x) % ,综上在-2,4上，x-6 /(%) x ；(III)令(p(x)

10、 = /(%) (% + a) = -x3 x2 a ，则 “(%) = 7%2 2x ,令(p(x) = 0 ,则 %i = 0/2 =趣,故(P (x)在-2,0上单调递增，在0点上单调递减，在|,4上单调递增， JJ所以(p (x)的最小值为(p (-2) =-6-a或0(寺)=一招一 a ,最大值为(p (0) =-a 或 cp (4) =12-a,故 F(x) = |9(%)| 其最大值 M(a) =，故当a=3时，M (a)有最小值9.【解析】【分析】(I)求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1,求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；(II)构造函数，要证x - 6

11、/(%) 0和h(x) = /(%) - % 0即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；(III)求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M (a)的表达式，即可求出M(a)取最小值时相应的a值.20 .【答案】 解：1,3,5,6或1,3,5,9或1,3,6,9或356,9或1,5,6,9 (写出任意一个即可);(II)设数列&J的长度为q的一个递增数列为1，四2，七3，由且=斯0 ;设数列。九的长度为p的一个递增数列为ajlfaj2faj3f.fajpf且ajp = am0 ；因为 P Qjp , Bp a几o 。小。；(Ill) an = n+1 = 2k

12、1(keN (用数学归纳法证明即可). n l,n = 2k【解析】【分析】(I)根据题意直接写出符合题意的数列即可；(II)构造数列证明即可；(III)根据题意写出通项公式即可.5.（5分）若x, y满足冈口-y,且yN-L则3x+y的最大值为（）A. -7B. 1C. 5D. 7（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足m2= flgfj，其中星等为mk的星的亮度为Ek （k=l, 2）.已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是- 1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A. IO101B. 10.1C. IglO.lD. IO1。（5分）设点A,

13、 B, C不共线，则“荏与前的夹角为锐角”是AB + AC BC的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C： x2+y2=l+|x|y就是其中之一（如图）.曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任一点到原点的距离都不超过V2 ;曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（）A.阅卷人得分A.B.C.D.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（共6题；共30分）（5分）函数f （x） =sin22x的最小正周期是.6. （5分）设等差数列an的前n

14、项和为Sn.若a2=-3, S5=-10,则as=, Sn的最小值 为.7. （5分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得.其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形 的边长为1 .那么该几何体的体积为8. （5分）已知1, m是平面a外的两条不同直线,给出下列三个论断:l_Lm：ma：l_La.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命 题：O（5分）设函数f （x） =ex+ae-x （a为常数）。若f （x）为奇函数，则a=：若f （x）是R 上的增函数，则a的取值范围是.9. （5分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价

15、格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒。为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次 购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元。每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款 的 80%.当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 o阅卷人三、解答题共6小题，共80分。（共6题；共80分）得分10. (13 分)在 ABC 中，a=3, b-c=2, cosB=- i .(I)求b, c的值；(II)求 sin (B-C)的值.11. (14 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，P

16、A_L平面 ABCD, ADCD, ADBC, PA二AD二CD=2, BC=3。E为PD的中点，点F在PC上，且需=卜（I）求证：CD_L平面PAD；（II）求二面角F-AE-P的余弦值；（III）设点G在PB上，且第=| .判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由。12. （13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方 式之一。为了解某校学生上个月A, B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中A, B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付 金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式(0,

17、1000(1000, 2000大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（I）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A, B两种支付方式都使用的概率;（II）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额 大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化。现从样本仅使用A的学生中，随机抽查 3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元，根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本 月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.13. (14分)已知抛物线C： x2=-2py经过点(2, -1

18、).(I)求抛物线C的方程及其准线方程；(II)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线1交抛物线C于两点M, N,直线y=- 1分别交直线OM, ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.14. (13 分)已知函数 f (x) =x3-x2+x.(I)求曲线y=f (x)的斜率为1的切线方程；(II)当 x-2, 4时,求证：x-6f (x) x；(III)设 F (x) =|f (x) - (x+a) | (aeR),记 F (x)在区间-2, 4上的最大值为 M (a).当 M (a)最小时，求a的值.15. (13分)已知数列an,从中选取第ii项、第i2项

19、第im项(iii2V.im) .若aii次2Vaim.则称 新数列ai, %2,，aim.为a“的长度为m的递增子列,规定:数列的任意一项都是的长度为 1的递增子列.(I)写出数列1, 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；(II)已知数列an的长度为P的递增子列的末项的最小值为amo,长度为q的递增子列的末项的 最小值为ano,若pq,求证：amoano；(III)设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若%的长度为S的递增子列末 项的最小值为2S-1,且长度为s末项为2s-l的递增子列恰有2E个(s=L2.)，求数列aQ的通项公 式。答案解析部分.【答案】D

20、【解析】【解答】根据z = 2 + i ,得2 = 2 - i ,所以 z-2=(2 + i)2 i) = 4 + l = 5 , 故答案为：D.【分析】根据z得到其共粗，结合复数的乘法运算即可求解.1 .【答案】B22【解析】【解答】k=l, s=l, s= 2x12 , k3,故执行循环体k=l + l=2, s = 2x23x1-2 4s 3x2-22此时k=2y-l【解析】【解答】根据题意，x、y满足x|前一荏| , 所以AB-ACX)，故而与前的夹角为锐角； 若 荏与前 的夹角为锐角，则希前 0 ，故|通 +衣| |前一荏| = |前| ， 综上为充分必要条件;故答案为：C.【分析】

21、通过平面向量的线性运算及数量积运算，判定充分必要性即可.8 .【答案】C【解析】【解答】解：曲线经过（1,0）、（-1,0）、（0,1）、（0,-1）、（1,1）、（1, -1）共6个整点, 故正确；曲线上（1,1）和（1,-1）到原点的距离最远，为V2 ,故曲线上任意一点到原点的距离都不超 过V2 ,故正确；心形曲线的面积大于（1, 1）、（1,-1）、（-1,1）、（-1, -1）四个点为顶点的正方形面积-边长为1的正方形面积，所以S3,故错误；故答案为：C.【分析】根据曲线的方程，结合曲线的形状，逐一判断即可.9 .【答案】I【解析】【解答】解:/（%） = sin22x = -c；s4

22、”,所以最小正周期7 =字=*故答案为：2 ,【分析】根据余弦的二倍角公式，结合正弦函数的周期性即可求出相应的最小正周期.10 .【答案】0； -10【解析】【解析】【解答】解:。2 =+ d = -3S 5= 5al += -10 解得。;；，所以 Q5 = % + 4d = 0 ,n2 9n1一下根据二次函数的性质，当n=4或5时，S九有最小值-10.故答案为：0； -10.【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，解方程组求出首项和公差，即可求出的 和 sn ,结合二次函数的性质求出最小值即可.11 .【答案】40【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积6 = 43 = 64 ,去

23、掉的四棱柱体积V（2+?x2x4 = 24 ,故该儿何体的体积V=64-24=40.故答案为40.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.12 .【答案】若，则【解析】【解答】若11a ,则/垂直于a内任意一条直线，若 m II a ,则 / _L m ； 故答案为若，则.【分析】根据空间直线与平面垂直的性质，即可得到相应的结论.13 .【答案】-1； a0【解析】【解答】解：若函数为奇函数，则f (0) =0,代入的l+a=0, 所以a=-l；若函数f (x)在R上单调递增，则y = a?T在R上为常函数或单调递增，所以a 0 ； 故答案为a=-l； a120,故顾客可少

24、付10元，此时需要支付140-10=130元；要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，故实际付款(120-x)元，此时李明得到(120 - %) x 80% , 故(120 -x) x 80% 120 X 0.7 ,解得 % 15 ； 故最大值为15.故答案为130； 15.【分析】根据已知，直接计算即可；根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可, 因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值.15 .【答案】解：(I)根据余弦定理62 = a2 + c2 2accosB，故(2 + c)2 = 9 + c2 - 2 x 3c x (一4,解得 c=5, B=7；(II)根据 cosB =之，得 sinB = g， 4z