定积分的换元法和分部积分法.pptx

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1、定积分的换元法定积分的换元法 上一节我们建立了积分学两类基本问题上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系之间的联系微积分基本公式，利用这微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。换元积分公式和分部积分公式。先来看一个例子先来

2、看一个例子例例1换元求不定积分换元求不定积分 令令则则故故为去掉根号为去掉根号令令则则 当当 x 从从0连续地增加到连续地增加到4时，时，t 相相应地从应地从1连续地增加到连续地增加到3于是于是尝试一下直接换元求定积分尝试一下直接换元求定积分将上例一般化就得到定积分的换元积分公式将上例一般化就得到定积分的换元积分公式 由此可见，定积分也可以象不定积分一样由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积下限换成新变量的上

3、、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量分，而不必回代原积分变量一、换元公式一、换元公式证证应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）计算计算解解1 由定积分的几何意义由定积分的几何意义等于圆周的第一象限部分的面积等于圆周的第一象限部分的面积解解2 故故o例例2令令解解4令令仍可得到上述结果仍可得到上述结果解解3解解 令令 例例3 3 计算计算定积分的换元积分公式也可以反过来使用定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计为方便计将换元公式的左、右两边对调将换元公式的左、右两边对调同时把同时把 x 换成换成 t ，t 换成换成 x这说明可用这说明可用 引入新变量引入新变量但须注

4、意如明确引入新变量，则必须换限但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限整体视为新变量，则不必换限注注例例4 4 计算计算解解例例5 5 计算计算解解原式原式例例6 6 计算计算解一解一 令令原式原式解二解二接解一接解一对对令令则则证证即：即：奇函数在对称区间上的积分等于奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍部分区间上积分的两倍 由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的例例8 8 计算计算

5、解解原式原式偶函数偶函数奇函数奇函数四分之一单位圆的面积四分之一单位圆的面积（1）设）设（2）设）设证证另证另证 将上式改写为将上式改写为奇函数奇函数例例10 设设 f(x)是以是以L为周期的连续函数，证明为周期的连续函数，证明证明证明与与 a 的值无关的值无关例例11 设设 f(x)连续，常数连续，常数 a 0 证明证明证明证明比较等式两边的被积函数知，比较等式两边的被积函数知，例例12 设设 f(x)连续连续解解定积分的换元法定积分的换元法几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式 二、小结二、小结思考题思考题解解 令令 思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二

6、步是错误的.正确解法是正确解法是定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导定积分的分部积分法定积分的分部积分法一、分部积分公式一、分部积分公式解解 令令则则 例例1 1 计算计算例例2 2 计算计算 解解例例3 3 计算计算解解例例4 4 设设 求求解解为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证设设 例例5 5 证明定积分公式证明定积分公式积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止于是于是设设 f(x)连续连续 证明证明证一证一记记 则则而而故故例例6证二证二 注意到注意到 是是 f(t)的一个原函数的一个原函数故故定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）思考题思考题应用公式的关键是选择应用公式的关键是选择 u,v，次序仍然是：，次序仍然是：反反、对对、幂幂、指指、三三 二、小结二、小结 思考题解答思考题解答