定积分的概念及运算.ppt

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1、3.3 3.3 定积分定积分要点梳理要点梳理1.1.用用化化归归法法计计算算矩矩形形面面积积和和逼逼近近的的思思想想方方法法求求出出曲曲边边梯形的面积的具体步骤为梯形的面积的具体步骤为 、.分割分割 近似代替近似代替求和求和取极限取极限基础基础知识知识 自主自主学习学习2.2.定积分的定义定积分的定义 如如果果函函数数f f(x x)在在区区间间a a,b b上上连连续续，用用分分点点将将区区间间a a,b b等分成等分成n n个小区间，在每个小区间上任取个小区间，在每个小区间上任取 一一点点i i(i i=1,2,=1,2,n n)，作作和和式式 .当当n n时时，上上述述和和式式无无限限接

2、接近近于于某某个个常常数数，这这个个常常数数叫叫做做函数函数f f(x x)在区间在区间a a,b b上的定积分上的定积分,记作记作 ,即即 =,其中其中f f(x x)称为称为 ,x x称为称为 ,f f(x x)d)dx x称为称为 ，a a,b b为为 ，a a为为 ，b b为为 ，“”称为积分号称为积分号.被积函数被积函数积分变量积分变量被积式被积式积分区间积分区间积分下限积分下限积分上限积分上限3.3.的实质的实质 （1 1）当）当f f(x x)在区间在区间a a,b b上大于上大于0 0时，时，表示表示 由由 ，这也是定积分的几何意义，这也是定积分的几何意义.（2 2）当）当f

3、f(x x)在区间在区间a a,b b上小于上小于0 0时，时，表示表示 .(3)(3)当当f f(x x)在区间在区间a a,b b上有正有负时，上有正有负时，表表 示介于示介于x x=a a，x x=b b(a ab b)之间之间x x轴之上、下相应的曲轴之上、下相应的曲 边梯形的面积的代数和边梯形的面积的代数和.直线直线x x=a a,x x=b b(a ab b),),y y=0=0和曲线和曲线y y=f f(x x)所围成所围成的曲边梯形的面积的曲边梯形的面积由直线由直线x x=a a，x x=b b(a ab b),),y y=0=0和曲线和曲线y y=f f(x x)所围成的所围

4、成的曲边梯形的面积的相反数曲边梯形的面积的相反数4.4.定积分的运算性质定积分的运算性质(1)=(1)=.(2)=(2)=.(3)=(3)=.5.5.微积分基本定理微积分基本定理 一一般般地地，如如果果f f（x x）是是区区间间a a，b b上上的的连连续续函函数数，并且并且F F(x x)=)=f f(x x),),那么那么 .这这个个结结论论叫叫做做微微积积分分基基本本定定理理,又又叫叫做做牛牛顿顿莱莱布尼兹公式布尼兹公式.可以把可以把F F（b b）-F F（a a）记为）记为F F(x x).).即即 (a c b)6.6.利用牛顿利用牛顿莱布尼兹公式求定积分的关键是莱布尼兹公式求定

5、积分的关键是 ，可可将将基基本本初初等等函函数数的的导导数数公公式式逆逆向使用向使用.7.7.定积分的简单应用定积分的简单应用 （1 1）求曲边梯形的面积）求曲边梯形的面积 （2 2）匀变速运动的路程公式）匀变速运动的路程公式 做做变变速速直直线线运运动动的的物物体体所所经经过过的的路路程程s s，等等于于其其速速度度函函数数v v=v v(t t)(v v(t t)0)0)在在时时间间区区间间a a,b b上上的的定定积分，即积分，即s s=.求被求被积函数的原函数积函数的原函数(3)(3)变力作功公式变力作功公式 一一物物体体在在变变力力F F（x x）（单单位位：N N）的的作作用用下下

6、做做直直线线运运动动，如如果果物物体体沿沿着着与与F F相相同同的的方方向向从从x x=a a移移动动到到x x=b b(a ab b)（单位：（单位：m),m),则力则力F F所作的功为所作的功为WW=.基础自测基础自测1.sin 1.sin x xd dx x等于等于（）A.0 A.0B.2B.2C.C.D.2D.2 解析解析 =-cos-(-cos 0)=1+1=2.=-cos-(-cos 0)=1+1=2.D x x2 2(x x0)0)2 2x x(x x0)0)，则，则 f f(x x)d)dx x的值是的值是（）A.A.x x2 2d dx xB.2B.2x xd dx xC.C

7、.x x2 2d dx x+2+2x xd dx xD.2D.2x xd dx x+x x2 2d dx x解析解析 由分段函数的定义及积分运算的性质知：由分段函数的定义及积分运算的性质知：D2.2.设设f f(x x)=)=3.3.如如图图所所示示，函函数数y y=-=-x x2 2+2+2x x+1+1与与y y=1=1相相交交形形成成一一个个闭闭合合图图形形（图图中中的的阴阴影影部部分分），则则该该闭闭合合图图形形的的面面积积是是（）A.1 A.1B.B.C.C.D.2D.2 y y=-=-x x2 2+2+2x x+1+1 y y=1=1，S S=（-x x2 2+2+2x x+1-1

8、+1-1）d dx x=（-x x2 2+2+2x x）d dx x B由由解析解析得得x x1 1=0,=0,x x2 2=2.=2.4.4.曲曲线线y y=cos=cos x x（00 x x )与与坐坐标标轴轴所所围围成成的的面面积积是是（）A.2 A.2B.3 B.3 C.C.D.4D.4 解析解析 如图所示，如图所示，B5.5.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为 （x x）=x x3 3（取细棒的一端为原点，所在直线为（取细棒的一端为原点，所在直线为x x 轴），棒长为轴），棒长为1 1，则棒的质量，则棒的质量MM为为 （）A.1 A.1

9、B.B.C.C.D.D.解析解析D题型一题型一 利用微积分基本定理求定积分利用微积分基本定理求定积分【例例1 1】(1)(1)(x x2 2+2+2x x+1)+1)d dx x;(2)(sin;(2)(sin x x-cos-cos x x)d)dx x;(3)(3)（x x-x x2 2+）d dx x;(4)(cos;(4)(cos x x+e+ex x)d)dx x.先先由由定定积积分分的的性性质质将将其其分分解解成成各各个个简简单单函数的定积分函数的定积分,再 再利利用用微积分基本定理求解微积分基本定理求解.解解 (1)(1)(x x2 2+2+2x x+1)d+1)dx x =x

10、x2 2d dx x+2+2x xd dx x+1d+1dx x =思维启迪思维启迪题题型分类型分类 深度深度剖剖析析 探探究究提提高高 计计算算一一些些简简单单的的定定积积分分，解解题题的的步步骤骤是是：（1 1）把把被被积积函函数数变变形形为为幂幂函函数数、正正弦弦函函数数、余余弦弦函函数数、指指数数函函数数与与常常数数的的和和或或差差；（2 2）把把定定积积分分用用定定积积分分性性质质变变形形为为求求被被积积函函数数为为上上述述函函数数的的定定积积分分；（3 3）分分别别用用求求导导公公式式找找到到一一个个相相应应的的原 原函函数数；（4 4）利利用用牛牛顿顿莱莱布布尼尼兹兹公公式式求求

11、出出各各个个定定积积分分的的值值；（；（5 5）计）计算原始算原始定积分的定积分的值值.计计算算f f(x x)d dx x的的关关键键是是找找到到满满足足F F(x x)=)=f f(x x)的的函函数数F F（x x）.其其中中F F（x x）可可将将基基本本初初等等函函数数的的导导数数公公式式逆逆向向使用使用得到得到.知能迁移知能迁移1 1 求下列函数的定积分求下列函数的定积分.(1)(4 (1)(4x x3 3+3+3x x2 2-x x)d)dx x;(2)(2)（e e2 2x x+）d dx x;(3)sin (3)sin2 2 d dx x.解解（1 1）(4(4x x3 3+

12、3+3x x2 2-x x)d)dx x =(4 =(4x x3 3)d)dx x+(3+(3x x2 2)d)dx x-x xd dx x =(2 =(24 4-0)+(2-0)+(23 3-0)-(2-0)-(22 2-0)-0)=16+8-2=22.=16+8-2=22.题型二题型二 求分段函数的定积分求分段函数的定积分【例例2 2】计算下列定积分】计算下列定积分.（1 1）|sin|sin x x|d|dx x;(2)|;(2)|x x2 2-1|d-1|dx x.对对于于第第（1 1）小小题题，应应对对在 在区区间间0 0，2 2上上的的正正、负负进进行行分分情情况况计计算算；而而对

13、对于于第第（2 2）小小题题，在 在00 x x22的的条条件件下下，对对x x2 2-1-1的的正正、负负情情况况进进行行讨论讨论.解解 （1 1）（-cos-cos x x）=sin=sin x x，|sin|sin x x|d|dx x=|sin=|sin x x|d|dx x+|sin+|sin x x|d|dx x =-=-（cos-cos 0cos-cos 0）+（cos 2-cos cos 2-cos）=4.=4.思维启迪思维启迪 x x2 2-1(1-1(1x x2)2)1-1-x x2 2(0(0 x x1)1)|x x2 2-1|d-1|dx x=(1-=(1-x x2 2

14、)d)dx x+(+(x x2 2-1)d-1)dx x（2 2）00 x x22，于是，于是|x x2 2-1|=-1|=当当被被积积函函数数含含有有绝绝对对值值（或或平平方方根根）时时，须须按按绝绝对对值值内内的的正正、负负号号将将定定积积分分区区间间分分段段，然然后后按按区区间间的的可可加加性性逐逐段段积积分分；同同样样，当当被被积积函函数数为为分分段段函函数数时时，也也须按函数的定须按函数的定义 义的分段情形相的分段情形相应应的的逐逐段积分段积分.探究提高探究提高 x x3 3(0(0 x x1)1)(1(1x x4),4),2 2x x-14-14(4(4x x5)5)在区间在区间0

15、 0，5 5上的定积分；上的定积分；(2)(2)求求|3-2|3-2x x|d|dx x;(3)(3)求求知能迁移知能迁移2 2 （1 1）求函数）求函数f f(x x)=)=解解 （1 1）由定积分性质知）由定积分性质知(3)(3)当当x x0,0,时时,=|sin =|sin x x-cos-cos x x|-sin -sin x x+cos+cos x x （00 x x ）sin sin x x-cos-cos x x （x x ）=,题型三题型三 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积【例例3 3】求求由由抛抛物物线线y y=x x2 2-1,-1,直直线线x x=2,=2,y y=0=0

16、所所围围成成的的图图形的面积形的面积.画出图象画出图象求出求出抛抛物线物线与与x x轴轴交点交点 用用定积分求面积定积分求面积.解解 作出直线作出直线x x=2,=2,曲线曲线y y=x x2 2-1-1 的草图的草图,所求面积为图中阴影所求面积为图中阴影 部分的面积部分的面积.由由x x2 2-1=0-1=0得抛物线与得抛物线与x x轴的轴的 交点坐标是交点坐标是(-1,0)(-1,0)和和(1,0),(1,0),因此所求图形的面积为因此所求图形的面积为思维启迪思维启迪S S=|=|x x2 2-1|d-1|dx x+(+(x x2 2-1)d-1)dx x=(1-(1-x x2 2)d)d

17、x x+(+(x x2 2-1)d-1)dx x 对对于于求求平平面面图图形形的的面面积积问问题题,应应首首先先画画出出平平面面图图形形的的大大概概图图形形,然然后后根根据据图图形形特特点点,选 选择 择相相应应的的积积分分变变量量及被积函数及被积函数,并并确确定被积区间定被积区间.探究提高探究提高 知知能能迁迁移移3 3 求求抛抛物物线线y y2 2=2=2x x与与直直线线y y=4-=4-x x围围成成的的平平面面图形的面积图形的面积.y y2 2=2=2x x y y=4-=4-x x（2 2，2 2）及）及(8,-4).(8,-4).方法一方法一 选选x x作为积分变量，由图可看出作

18、为积分变量，由图可看出S S=A A1 1+A A2 2 在在A A1 1部分：由于抛物线的上半支方程为部分：由于抛物线的上半支方程为y y=,=,下半支方程为下半支方程为y y=，所以，所以解解 由方程组由方程组解出抛物线和直线的交点为解出抛物线和直线的交点为方法二方法二 选选y y作积分变量，作积分变量，将曲线方程写为将曲线方程写为x x=及及x x=4-=4-y y.题型四题型四 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用【例例4 4】(12(12分分)一辆汽车的速度一辆汽车的速度时间曲线如图所示，时间曲线如图所示，求此汽车在这求此汽车在这1 min1 min内所行驶的路程内所行驶的路程.

19、由题意知，在由题意知，在t t0 0，1010）和）和t t4040，6060）物体作匀变速直线运动，）物体作匀变速直线运动，t t1010，4040）作匀速）作匀速运动，运动，v v（t t）应为分段函数，应分三段求积分）应为分段函数，应分三段求积分.思维启迪思维启迪解解 由速度由速度时间曲线易知，时间曲线易知，3 3t t，t t0 0，1010）30 30，t t1010，4040）-1.5 -1.5t t+90+90，t t4040，6060 4 4分分由变速直线运动的路程公式可得由变速直线运动的路程公式可得v v（t t）=8 8分分1111分分答答 此汽车在这此汽车在这1 min1

20、 min内所行驶的路程是内所行驶的路程是1 350 m.121 350 m.12分分 探探究究提提高高 用用定定积积分分解解决决变变速速运 运动动的的位位置置与与路路程程问问题题时时，将将物物理理问问题题转转化化为为数数学学问问题题是是关关键键.变变速速直直线线运 运动动的的速速度度函函数数往往往往是是分分段段函函数数，故故求求积积分分时时要要利利用用积积分分的的性性质质将将其其分分成成几几段段积积分分，然然后后求求出出积积分分的的和和，即即可可得得到到答答案案，由由于于函函数数是是分分段段函函数数，所所以以运 运算算过过程程可可能能稍稍微微复复杂 杂些些，因因此此在 在运 运算算过过程程中中

21、一一定定要要细细心，不心，不要要出现计出现计算上算上的错误的错误.知知能能迁迁移移4 4 一一物物体体按按规规律律x x=bt bt3 3做做直直线线运运动动,式式中中x x为为时时间间t t内内通通过过的的距距离离,媒媒质质的的阻阻力力与与速速度度的的平平方方成成正正比比,试求物体由试求物体由x x=0=0运动到运动到x x=a a时时,阻力做的功阻力做的功.解解 物体的速度物体的速度v v=x x(t t)=()=(bt bt3 3)=3)=3bt bt2 2,媒质阻力媒质阻力f f阻阻=kvkv2 2=k k（3 3bt bt2 2）2 2=9=9k kb b2 2t t4 4.（其中（

22、其中k k为比例常数，为比例常数，k k0)0)当当x x=0=0时，时，t t=0=0，当，当x x=a a时，时，t t=t t1 1=,=,阻力做的功是：阻力做的功是：W W阻阻=f f阻阻d dx x=kvkv2 2v vd dt t =v v3 3d dt t=(3=(3b bt t2 2)3 3d dt t=k kb b3 3t t方法与技巧方法与技巧1.1.求定积分的方法求定积分的方法 （1 1）利用定义求定积分（定义法），可操作性不强）利用定义求定积分（定义法），可操作性不强.（2 2）利用微积分基本定理求定积分步骤如下：）利用微积分基本定理求定积分步骤如下：求被积函数求被积函

23、数f f（x x）的一个原函数）的一个原函数F F（x x）；）；计算计算F F（b b）-F F（a a）.（3 3）利用定积分的几何意义求定积分）利用定积分的几何意义求定积分 当当曲曲边边梯梯形形面面积积易易求求时时，可可通通过过求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积求定积分求定积分.如如：定定积积分分 d dx x的的几几何何意意义义是是求求单单位位圆圆面面积积的的 ，所以，所以思思想方法想方法 感悟感悟提提高高2.2.求曲边多边形的面积求曲边多边形的面积 其步骤为：其步骤为：（1 1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的 大致图象大致图象.（2

24、2）借借助助图图形形确确定定被被积积函函数数，求求出出交交点点坐坐标标，确确定定积分的上限、下限积分的上限、下限.（3 3）将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和）将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和.（4 4）计算定积分）计算定积分.失误与防范失误与防范1.1.被被积积函函数数若若含含有有绝绝对对值值号号，应应去去绝绝对对值值号号，再再分分段段积分积分.2.2.若若积积分分式式子子中中有有几几个个不不同同的的参参数数，则则必必须须先先分分清清谁谁是被积变量是被积变量.3.3.定定积积分分式式子子中中隐隐含含的的条条件件是是积积分分上上限限不不小小于于积积分分下下限限.4.4.定定积积分分的的几

25、几何何意意义义是是曲曲边边梯梯形形的的面面积积，但但要要注注意意:面积非负，而定积分的结果可以为负面积非负，而定积分的结果可以为负.5.5.将将要要求求面面积积的的图图形形进进行行科科学学而而准准确确的的划划分分，可可使使面面积的求解变得简捷积的求解变得简捷.一、选择题一、选择题1.1.（sin sin x x+cos+cos x x）d dx x的值是的值是（）A.0A.0B.B.C.2C.2D.4D.4C 解析解析 定定时时检测检测2.2.若函数若函数f f(a a)=)=（2+sin 2+sin x x)d)dx x,则则f f（f f（）等）等于于 （）A.1 A.1B.0B.0 C.

26、2+3+cos 1 C.2+3+cos 1D.1-cos 1D.1-cos 1 解析解析 f f(a a)=(2+sin)=(2+sin x x)d)dx x =(2 =(2x x-cos-cos x x)|=2)|=2a a-cos-cos a a+1,+1,f f（）=+1,=+1,f f（f f（）=f f(+1)=2(+1)-cos(+1)+1(+1)=2(+1)-cos(+1)+1=2+cos 1+3.=2+cos 1+3.C3.3.若若 (2 (2x x-3-3x x2 2)d)dx x=0,=0,则则k k等于等于 （）A.0 A.0B.1B.1 C.0 C.0或或1 1D.D.

27、以上均不对以上均不对 解析解析 （2 2x x-3-3x x2 2）d dx x=2=2x xd dx x-3-3x x2 2d dx x =k k2 2-k k3 3=0=0，k k=0=0或或k k=1.=1.Cx x2 2，x x0 0，1 1，2-2-x x，x x（1 1，2 2，4.4.设设f f（x x）=f f（x x）d dx x等于等于（）A.A.B.C.D.B.C.D.不存在不存在解析解析 本题应画图求解，更为清晰，本题应画图求解，更为清晰，f f（x x）d dx x=x x2 2d dx x+（2-2-x x）d dx x则则C5.5.曲曲线线y y=cos=cos

28、x x(0(0 x x )与与坐坐标标轴轴围围成成的的面面积积是是（）A.4 A.4B.C.3B.C.3D.2D.2 解解析析 先先作作出出y y=cos=cos x x（00 x x ）的的图图象象，从从图图象象中可以看出中可以看出C6.6.一物体在变力一物体在变力F F（x x）=5-=5-x x2 2（力单位：（力单位：N N，位移单，位移单 位：位：m m）作用下，沿与）作用下，沿与F F（x x）成）成3030方向作直线运方向作直线运 动，则由动，则由x x=1=1运动到运动到x x=2=2时时F F（x x）作的功为）作的功为（）A.J A.JB.JB.JC.JC.JD.2 JD.

29、2 J 解析解析 由于由于F F（x x）与位移方向成）与位移方向成3030角角.如图：如图：F F在在 位移方向上的分力位移方向上的分力F F=F Fcos 30,cos 30,C二、填空题二、填空题7.7.（1+cos 1+cos x x）d dx x=.解析解析 (x x+sin+sin x x)=1+cos)=1+cos x x,(1+cos (1+cos x x)d)dx x=(=(x x+sin+sin x x)+2+28.8.(2(2x xk k+1)d+1)dx x=2,=2,则则k k=.解析解析9.9.(2008(2008山东理，山东理，14)14)设函数设函数f f(x

30、x)=)=axax2 2+c c(a a0),0),若若 f f(x x)d)dx x=f f(x x0 0),0),0 x x0 01,1,则则x x0 0的值为的值为 .解析解析 (axax2 2+c c)d)dx x=a a0,0,又又00 x x0 01,1,x x0 0=.=.1 1三、解答题三、解答题10.10.计算下列定积分计算下列定积分 （1 1）（2 2）（3 3）解解 （1 1）(3)(3)11.11.已知已知f f(x x)为二次函数，且为二次函数，且f f(-1)=2,(-1)=2,f f(0)=0,(0)=0,f f(x x)d)dx x=-2.=-2.（1 1）求）

31、求f f(x x)的解析式；的解析式；（2 2）求）求f f(x x)在在-1-1，1 1上的最大值与最小值上的最大值与最小值.解解 （1 1）设）设f f(x x)=)=axax2 2+b+bx x+c c(a a0),0),则则f f(x x)=2)=2axax+b b.a a-b b+c c=2 =2 c c=2-=2-a a b b=0=0 b b=0=0 f f(x x)=)=axax2 2+(2-+(2-a a).).由由f f(-1)=2,(-1)=2,f f(0)=0,(0)=0,得得即即，.又又 f f(x x)d)dx x=axax2 2+(2-+(2-a a)d dx x

32、=axax3 3+(2-+(2-a a)x x|=2-|=2-a a=-2.=-2.a a=6=6，c c=-4.=-4.从而从而f f(x x)=6)=6x x2 2-4.-4.(2)(2)f f(x x)=6)=6x x2 2-4,-4,x x-1,1-1,1,所以当所以当x x=0=0时时,f f(x x)minmin=-4;=-4;当当x x=1=1时时,f f(x x)maxmax=2.=2.12.12.如图所示，抛物线如图所示，抛物线y y=4-=4-x x2 2与直线与直线y y=3=3x x的两交点为的两交点为A A、B B，点，点P P在抛物线上从在抛物线上从A A向向B B

33、运动运动.(1)(1)求使求使PABPAB的面积最大的的面积最大的P P点的点的 坐标坐标(a a,b b););(2)(2)证明由抛物线与线段证明由抛物线与线段ABAB围成的围成的 图形，被直线图形，被直线x x=a a分为面积相等的分为面积相等的 两部分两部分.y y=4-=4-x x2 2 y y=3=3x x，抛物线抛物线y y=4-=4-x x2 2与直线与直线y y=3=3x x的交点为的交点为A A（1 1，3 3），），B B（-4-4，-12-12），），P P点的横坐标点的横坐标a a(-4,1).(-4,1).点点P P（a a,b b)到直线到直线y y=3=3x x的

34、距离为的距离为d d=P P点在抛物线上，点在抛物线上，b b=4-=4-a a2 2，d da a=(4-3=(4-3a a-a a2 2)=(-2)=(-2a a-3)=0,-3)=0,a a=-=-，即当，即当a a=-=-时，时，d d最大，最大，这时这时b b=4-=,=4-=,P P点的坐标为（点的坐标为（-,-,）时，）时，PABPAB的面积最大的面积最大.（1 1）解解 解方程组解方程组得得x x1 1=1,=1,x x2 2=-4.=-4.（2 2）证明证明 设上述抛物线与直线所围成图形的面积设上述抛物线与直线所围成图形的面积为为S S,位于位于x x=-=-右侧的面积为右侧的面积为S S1 1.S S=（4-4-x x2 2-3-3x x)d)dx x=,=,S S1 1=（4-4-x x2 2-3-3x x)d)dx x=,=,S S=2=2S S1 1,即即直直线线x x=-=-平平分分抛抛物物线线与与线线段段ABAB围围成成的的图图形的面积形的面积.返回返回