定积分的换元法储宝增高数.ppt

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1、二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节第三节不定积分不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五五章 定理定理1则有则有定积分换元公式定积分换元公式假设函数假设函数一、定积分的换元法一、定积分的换元法函数函数满足条件满足条件:(1)(2)具有连续导数具有连续导数,且其值域且其值域definite integral by substitution;)(,)(ba=b bj ja aj j)(txj j=证证故有故有则则由于由于N-L公式公式N-L公式公式则

2、则所以存在原函数所以存在原函数原函数原函数,注注由于积分限做了相应的由于积分限做了相应的故积出来的原函数不必回代故积出来的原函数不必回代;求定积分的方法有两种方法求定积分的方法有两种方法:可用可用N-L公式公式;从换元的观点从换元的观点.(1)换元公式仍成立换元公式仍成立;(2)在定积分换元公式中在定积分换元公式中,改变改变,(3)例例1.计算解解:令则 原式=且例例2.2.计算计算解解 设设，则，则，于是，于是.例例3.计算计算解解 例例4.计算计算解解:令则 原式=且 例例5.5.已知已知连续，连续，求求.解解 令令，则有，则有且当且当从而从而 .于是有于是有两边对两边对x x求导，得求导

3、，得 即即 在上式中，令在上式中，令得得，即，即 .例例5 5续续例例6.证证:(1)若(2)若偶倍奇零偶倍奇零例例7.计算计算解 原式 .可得可得:由定积分的几何意义由定积分的几何意义(面积的代数和面积的代数和)也可得也可得.奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质且有且有则则则则 -+=aaaxxfxfxxf0d)()(d)(由由例例 证证(1)三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式例例 由此计算由此计算设设证毕证毕.20d)(sin xxf -=ttf

4、d2sin 设设证证由此计算由此计算-=ttftd)sin()(周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式这个公式就是说：这个公式就是说：周期函数在任何长为一周期的周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等区间上的定积分都相等.(留给同学证留给同学证)定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 定理定理2.则证证:例例9.9.计算计算 解解 令令则当时，；当时，于是例例10.计算计算解解 例例11.计算计算解解 原式原式 .例例12.证明证明证证:令 n 为偶数 n 为奇数则令则由此得递推公式由此得

5、递推公式于是于是而而故所证结论成立故所证结论成立.例例 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数上公式在计算其它积分时可以直接引用上公式在计算其它积分时可以直接引用.注注=xxxxdcosdsin207207 109例例 解解用公式用公式n为正偶数为正偶数定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法ttxdcos2d=ttdcos2 解解用定积分的分部积分公式用定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法解解则则是奇函数是奇函数,是偶函数是偶函数,周期函数在任何长为一周期的区间上周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等的定积分都相等.定积分的换元

6、法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法n为正偶数为正偶数xxxeed)tan1(sin)2(24+计算计算xxxed)tan1(sin24+xxxeed)tan1(sin4+=+定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法三、小结三、小结定积分的换元公式定积分的换元公式奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式思考与练习思考与练习1.提示提示:令则2.设解法解法1解法解法2 对已知等式两边求导,思考思考:若改题为提示提示:两边求导,得得3.设求解解:(分部积分分部积分)备用题备用题1.证明证明 证：证：是以是以 为为周期的函数周期的函数.是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数.解：解：2.右端试证分部积分积分分部积分积分再次分部积分再次分部积分=左端