定积分的概念、性质.ppt

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1、上页下页铃结束返回首页5.1 定积分的概念与性质一、定积分问题举例 二、定积分定义三、定积分的性质 1上页下页铃结束返回首页一、定积分问题举例曲边梯形 设函数yf(x)在区间a b上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 1.曲边梯形的面积 2上页下页铃结束返回首页观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形 当小矩形的宽度减少时 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?怎样求曲边梯形的面积？3上页下页铃结束返回首页求曲边梯形的面积 (1)分割 ax0 x1 x2 xn1 xn b Dxixixi1;小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dx

2、i (xi1xixi);(2)近似代替(4)取极限 设maxDx1 Dx2 Dxn 曲边梯形的面积为 (3)求和 曲边梯形的面积近似为 ;以直代曲4上页下页铃结束返回首页2.变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数 且v(t)0 计算物体在时间段T1 T2内所经过的路程S(1)分割 T1t0t1t2 tn1tnT2 Dtititi1;(2)近似代替 物体在时间段ti1 ti内所经过的路程近似为 DSiv(i)Dti (ti1 iti);物体在时间段T1 T2内所经过的路程近似为 (3)求和 (4)取极限 记maxDt1 Dt2 Dtn 物体所经过的路程为 以不

3、变代变5上页下页铃结束返回首页v定积分的定义在小区间xi1 xi上任取一点xi(i1 2 n)作和maxDx1 Dx2Dxn;记Dxixixi1(i1 2 n)ax0 x1x2 xn1xnb;在区间a b内插入分点 设函数f(x)在区间a b上有界 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间a b的分法和xi的取法无关 则称此极限为函数f(x)在区间a b上的定积分 记为 即 二、定积分定义6上页下页铃结束返回首页定积分各部分的名称 积分符号 f(x)被积函数 f(x)dx 被积表达式 x 积分变量 a 积分下限 b 积分上限 a b积分区间，二、定积分定义积分和 v定积分的定义7上页下页

4、铃结束返回首页二、定积分定义说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即v定积分的定义8上页下页铃结束返回首页v函数的可积性 如果函数f(x)在区间a b上的定积分存在 则称f(x)在区间a b上可积 定理1 如果函数f(x)在区间a b上连续 则函数f(x)在区间a b上可积 定理2 如果函数f(x)在区间a b上有界 且只有有限个间断点 则函数f(x)在区间a b上可积 二、定积分定义v定积分的定义9上页下页铃结束返回首页例1 用定积分表示极限解二、定积分定义v定积分的定义10上页下页铃结束返回首页注:设f(x)在0,1上连续,则有二、定积分定义v定积分的定义11

5、上页下页铃结束返回首页 这是因为曲边梯形面积曲边梯形面积的负值定积分的几何意义 12上页下页铃结束返回首页各部分面积的代数和定积分的几何意义 曲边梯形面积曲边梯形面积的负值13上页下页铃结束返回首页例2解oxy例3 求极限解原式14上页下页铃结束返回首页v两点规定 三、定积分的性质15上页下页铃结束返回首页 这是因为三、定积分的性质性质1 16上页下页铃结束返回首页三、定积分的性质性质1 性质2 性质3 注：值得注意的是不论a b c的相对位置如何上式总成立17上页下页铃结束返回首页三、定积分的性质性质1 性质2 性质3 性质4 18上页下页铃结束返回首页推论1 如果在区间a b上 f(x)g

6、(x)则 这是因为g(x)f(x)0 从而 所以如果在区间a b上 f(x)0 则 性质5 19上页下页铃结束返回首页 这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|所以推论1 如果在区间a b上 f(x)g(x)则 如果在区间a b上 f(x)0 则 性质5 推论2 20上页下页铃结束返回首页推论1 如果在区间a b上 f(x)g(x)则 如果在区间a b上 f(x)0 则 性质5 推论2 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值 则 21上页下页铃结束返回首页例4 试证:证明 设则在上,有即故即22上页下页铃结束返回首页 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间

7、a b上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为 由性质6 性质7(定积分中值定理)积分中值公式 由介值定理 至少存在一点xa b 使两端乘以ba即得积分中值公式23上页下页铃结束返回首页注:无论从几何上,还是从物理上,都容易理解平均值公式求连续变量的平均值要用到.如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间a b上至少存在一个点x 使下式成立 性质7(定积分中值定理)积分中值公式 24上页下页铃结束返回首页例5 计算从0 秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解 已知自由落体速度为故所求平均速度25上页下页铃结束返回首页例6 求解26上页下页铃结束返回首页作 业 习题51(P233):6.(1)(3)8.(2)(4)27