实验二　线性方程组与矩阵特征值.ppt

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1、实验二实验二 线性方程组与矩阵特征值线性方程组与矩阵特征值 实验目的：理解线性方程组和解的概念，一般实验目的：理解线性方程组和解的概念，一般线性方程组的解的结构及基础解系的概念，矩阵的线性方程组的解的结构及基础解系的概念，矩阵的特征值和特征向量的概念和求法，理解特征值的性特征值和特征向量的概念和求法，理解特征值的性质。熟悉质。熟悉Mathematica软件求线性方程组的解的命软件求线性方程组的解的命令和求矩阵特征值、特征向量的命令。令和求矩阵特征值、特征向量的命令。求解线性方程组与求矩阵的特征值、特征向量求解线性方程组与求矩阵的特征值、特征向量(1)RowReduceA 消元得到矩阵消元得到矩

2、阵A的行最简形式的行最简形式(2)LinearSolveA,b(3)NullSpaceA求非齐次线性方程组求非齐次线性方程组 的一个特解的一个特解.求齐次线性方程组求齐次线性方程组 的一个基础解系的一个基础解系.(4)EigenvaluseA 求矩阵求矩阵A的特征值表的特征值表(5)EigenvectorsA 求矩阵求矩阵A的特征向量表的特征向量表(6)EigensystemA求矩阵求矩阵A所有的特征值和特征向量组成的表所有的特征值和特征向量组成的表例例1.1.已知矩阵已知矩阵计算计算 的秩的秩,并计算并计算 的基础解系的基础解系.例例2 2设向量组设向量组求该向量组的秩和一个极大无关组求该向

3、量组的秩和一个极大无关组例求下列方程组的通解例求下列方程组的通解例确定线性方程组例确定线性方程组满足什么条件时，方程组满足什么条件时，方程组(1)(1)无解无解;(2);(2)有非零解有非零解;(3);(3)有非零解时求其通解有非零解时求其通解.例例5 5已知矩阵已知矩阵求求:(1):(1)矩阵矩阵 的特征值表的特征值表;(2);(2)矩阵矩阵 的特征向量表；的特征向量表；(3)(3)矩阵矩阵 的所有特征值，特征向量组成的表的所有特征值，特征向量组成的表例例6.6.设函数设函数 ,矩阵函数矩阵函数这里为方阵这里为方阵,为单位阵为单位阵.验证如果是的特验证如果是的特征值征值,则为矩阵函数则为矩阵

4、函数 的特征值的特征值用矩阵用矩阵 来验证来验证.例例7.7.有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮含氮70g70g、磷、磷8g8g、钾、钾2g2g；乙种化肥每千克含氮；乙种化肥每千克含氮64g64g、磷磷10g10g、钾、钾0.6g0.6g；丙种化肥每千克含氮；丙种化肥每千克含氮70g70g、磷、磷5g5g、钾钾1.4g1.4g。若把此三种化肥混合。若把此三种化肥混合,要求总重量要求总重量23kg23kg且且含磷含磷149g149g、钾、钾30g30g，问三种化肥各需多少，问三种化肥各需多少kgkg？问题分析与求解问题分析与求解设甲、乙、丙三种化肥各需设

5、甲、乙、丙三种化肥各需kg,kg,则则工资问题工资问题 现有一个木工现有一个木工,一个电工和一个油漆工一个电工和一个油漆工,三人相三人相互同意彼此装修他们自己的房子互同意彼此装修他们自己的房子,在装修之前在装修之前,他们他们达成如下协议：达成如下协议：(1)(1)每人总共工作每人总共工作1010天天(包括给自己包括给自己家干活在内家干活在内);(2);(2)每人的日工资根据一般的市价每人的日工资根据一般的市价60-60-8080元之间元之间;(3);(3)每人日工资数应使得每人的总收入和每人日工资数应使得每人的总收入和总支出相等下表为他们协议后制定出的工作天数总支出相等下表为他们协议后制定出的

6、工作天数分配方案分配方案.如何计算出他们每人应得的工资如何计算出他们每人应得的工资?木工木工电工电工油漆工油漆工在木工家工作天数在木工家工作天数6 6在电工家工作天数在电工家工作天数在油漆工家工作的天数在油漆工家工作的天数3 3问题分析与求解问题分析与求解设木工，电工和油漆工的日工资分别为设木工，电工和油漆工的日工资分别为根据收支平衡原则有根据收支平衡原则有即即其通解形式为其通解形式为使每人日工资在使每人日工资在60-8060-80之间之间.确定确定,通过求解得通解为：通过求解得通解为：由于每人日工资在由于每人日工资在60-8060-80之间，故有之间，故有解得解得如果要整数解，可取如果要整数

7、解，可取三人工资分别为三人工资分别为 。1.1.求下列矩阵的秩和对应的线性方程组求下列矩阵的秩和对应的线性方程组 的的基础解系基础解系.练习题练习题2.2.求下列线性方程组的通解求下列线性方程组的通解.3.3.设向量组为设向量组为求该向量组的秩和一个极大无关组求该向量组的秩和一个极大无关组4.4.取何值时取何值时,线性方程组线性方程组有唯一解有唯一解,无穷多解或无解无穷多解或无解?在有解时求其解在有解时求其解.5.5.求解如下矩阵方程中矩阵求解如下矩阵方程中矩阵 .6.6.求下列矩阵的全部特征值和特征向量求下列矩阵的全部特征值和特征向量.7.7.用用Mathematica命令检验结论命令检验结论:如果如果 是是方阵方阵 的特征值的特征值,则有则有 是方阵是方阵 的特征值的特征值.(.(随随机定义机定义 矩阵进行检验矩阵进行检验)8.8.设实对称矩阵设实对称矩阵求正交矩阵求正交矩阵 ,使得使得 为对角矩阵为对角矩阵,并写并写出对角矩阵出对角矩阵 .