导数在研究函数几何性态中的应用.ppt

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1、返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性返回注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图

2、3.7 3.7 曲率曲率曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点返回返回曲线拐点的求法曲线拐点的求法返回例例解解注意注意:返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作

3、图3.7 3.7 曲率曲率3.6 3.6 曲线作图曲线作图函数的作图需要研究函数的几何性态函数的作图需要研究函数的几何性态,是是导数应用的综合考察导数应用的综合考察.极极大大值值极极小小值值拐拐点点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减极极小小值值单减单减单增单增拐拐点点拐拐点点拐拐点点返回例例1 1解解注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点不能用一点处的处的导数符号来判别一个区间上的单调性导数符号来判别一个区间上的单调性 函数的单调性的判断函数的单调性的判断返回例例2 2解解返回3

4、.4.2 单调区间求法单调区间求法如右图，如右图，函数在定义区间上不是单调的，但在各函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的内是单调的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和导数等于零的点和不可导点不可导点，可能是单调区间，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法:返回解解单调区间为单调区间为返回利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式？返回返回利用函数的单调性证明方程仅有一根利用函数的单调性证明方程仅有一根返回曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法1 1

5、、定义、定义2 2、拐点的求法、拐点的求法返回例例2 2解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点注：注：拐点是曲线上的点拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需从而拐点的坐标需用横坐标用横坐标与纵坐标同时表示与纵坐标同时表示,不能仅用横坐标表示不能仅用横坐标表示.这与驻点及这与驻点及极值点的表示方法不一样极值点的表示方法不一样.返回例例2 2返回方法方法2:2:例例3 3解解返回例例5 判断曲线判断曲线 的凹性的凹性,并求其拐点并求其拐点.x0(0,)+不存在不存在0+y拐点拐点(0,0)拐点拐点 返回思考题思考题返回思考题解答思考题解答例例返回曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线

6、的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方返回返回利用函数的凹凸性证明不等式利用函数的凹凸性证明不等式P.200 第第2题题例例6 6返回例例6 6证证利用函数的凹凸性证明不等式利用函数的凹凸性证明不等式返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3.5 3.5 函数的极值函数的极值极大值极

7、大值:f(x2),f(x5);极大值点极大值点:x2和和x5极小值极小值:f(x1),f(x4),f(x6);极小值极小值点点:x1,x4和和x6返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3.5 3.5 函数的极值函数的极值极大值极大值:f(x2),f(x5);极大值点极大值点:x2和和x5极小值极小值:f(x1),f(x4),f(x6);极小值极小值点点:x1,x4和和x6定理定理定义定义曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点返回导数与

8、函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3.5 3.5 函数的极值函数的极值不不是是极极值值点点情情形形返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3.5 3.5 函数的极值函数的极值返回例例解解注意注意:函数的不

9、可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.3.5 函数的极值函数的极值返回求极值的步骤求极值的步骤:3.5 函数的极值函数的极值返回极极大大值值极极小小值值返回返回3.5.3 小结小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4

10、函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率函数的最值函数的最值步骤步骤:1.1.求嫌疑点求嫌疑点;2.2.比较区间端点及嫌疑点的函数值比较区间端点及嫌疑点的函数值;3.3.最大的就是最大值最大的就是最大值,最小就是最小值最小就是最小值;注意注意:对于实际问题，如果区间对于实际问题，如果区间内部只有一个极值内部只有一个极值,则这个极值就是最值则这个极值就是最值.ab返回步骤步骤:1.1.求嫌疑点求嫌疑点;2.2.比较区间端点及嫌疑点的函数值比较区间端点及嫌疑点的函数值

11、;注意注意:3.3.最大的就是最大值最大的就是最大值,最小就是最小值最小就是最小值;对于实际问题，如果区间内部对于实际问题，如果区间内部只有一个极值只有一个极值,则这个极值就是最值则这个极值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)函数的最值函数的最值返回求函数的最值求函数的最值例例1 1解解计算计算返回比较得比较得返回实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;返回点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例2 2返回解解返回返回在开区间上如何求最值？有这样的结论，实际在开区间上如何求最值？有这样的结论，实际问题中：可知有最小（大）值存在

12、而函数只有一问题中：可知有最小（大）值存在而函数只有一个极小（大）值，则这个极小（大）就是最小个极小（大）值，则这个极小（大）就是最小（大）值。（大）值。注意注意：最值与极值的关系：最值与极值的关系返回小结小结注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.返回思考题思考题返回思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例在在 有最小值，但有最小值，但返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹

13、凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3.6 3.6 曲线作图曲线作图函数的作图需要研究函数的几何性态函数的作图需要研究函数的几何性态,是是导数应用的综合考察导数应用的综合考察.极极大大值值极极小小值值拐拐点点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减极极小小值值单减单减单增单增拐拐点点拐拐点点拐拐点点返回3.6 函数图形的描绘函数图形的描绘图形描绘的步骤图形描绘的步骤返回返回3.6.1 渐近线渐近线返回返回3.6.3 作图举例作图举例例例2 2解解非奇非偶函数非奇非偶函数,无周期性无周期性.返回列表确定

14、函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:拐点拐点极小值点极小值点返回作图作图拐点拐点极小值点极小值点返回返回思考题解答思考题解答思考题思考题返回练练 习习 题题 返回练习题答案练习题答案1图图2图图二、二、返回3图图三、三、返回返回返回返回返回返回3.6.2 图形描绘的步骤图形描绘的步骤返回拐点拐点极大值极大值极小值极小值3.6.3 作图举例作图举例列表：列表：返回拐点拐点极大值极大值极小值极小值返回返回例例3 3解解偶函数偶函数,图形关于图形关于y轴对称轴对称.返回拐点拐点极大值极大值列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸

15、区间及极值点与拐点:拐点拐点返回返回3.6.4 小结小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是是导数应用的综合考察导数应用的综合考察.极极大大值值极极小小值值拐拐点点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减返回导数与函数几何性态的关系导数与函数几何性态的关系3.4 3.4 函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点3.5 3.5 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值3.6 3.6 曲线作图曲线作图3.7 3.7 曲率曲率3.7 3.7 曲率曲率返回第七节第七节 曲率曲率一、弧微分一、弧微分二、二、曲率及其计算公式曲率及其计算公式三、三、曲率圆

16、与曲率半径曲率圆与曲率半径四、小结四、小结在生产实践和工程技术中，常常需要研在生产实践和工程技术中，常常需要研究曲线的弯曲程度，例如，设计铁路、究曲线的弯曲程度，例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。速来确定弯道的弯曲程度。返回一、弧微分一、弧微分规定：规定：返回单调增函数单调增函数如图，如图，弧微分公式弧微分公式返回例如，铁轨的曲率就是个关键问题：例如，铁轨的曲率就是个关键问题：曲率曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度返回 曲率曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度.再看同一条曲线再看

17、同一条曲线返回M1M2M3曲率曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度.返回M1M2M3 曲率曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度.返回M1M2M3 1 1 与切线转角与切线转角与切线转角与切线转角 成正比成正比成正比成正比曲率曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度.返回ABB1 1 与切线转角与切线转角与切线转角与切线转角 成正比成正比成正比成正比 S S 2 2 与曲线弧长与曲线弧长与曲线弧长与曲线弧长 S S成反比成反比成反比成反比 S S故定义曲线故定义曲线AB平均曲率平均曲率平均曲率平均曲率.曲线弯曲的程度曲线弯曲的程度曲线弯曲的

18、程度曲线弯曲的程度曲率.=.A返回二、曲率二、曲率)返回定义（返回)yxo设曲线设曲线C C是光滑的，是光滑的，（定义定义（曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率二、曲率二、曲率(定义为正的值定义为正的值)例子返回注意注意:(1)直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大且半径越小曲率越大.即直线不弯曲即直线不弯曲返回2、曲率的计算公式、曲率的计算公式yxo？返回例例1 1解解显然显然,返回定义定义三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径返回三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径返回例例2 2解解设设Q为座椅对飞

19、行员的反力为座椅对飞行员的反力,P为飞行员的体重为飞行员的体重。视飞行员在点视飞行员在点o作匀速圆周运动作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径如图如图,受力分析受力分析返回得曲率为得曲率为曲率半径为曲率半径为即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为641.5千克力千克力.返回点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停返回返回（在缓冲段上在缓冲段上,实际要求实际要求返回四、小结四、小结运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性研究曲线和曲面的性质的数学分支质的数学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念:弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).