(精品)【恒心】高考数学-数列求和突破复习.ppt

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1、 数列求和1走进高考第一关走进高考第一关 基础关基础关2教教 材材 回回 归归3另外,还有一些常见常用的求和公式:(1)1+2+3+(1)1+2+3+n=+n=_,_,(2)1+3+5+(2)1+3+5+(2n-1)=_,+(2n-1)=_,(3)1(3)12 2+2+22 2+3+32 2+n+n2 2=_.n n2 242.2.倒序相加法倒序相加法一个数列如果一个数列如果_相等相等,那么求这那么求这个数列的前个数列的前n n项和项和可用倒序相加法可用倒序相加法.如等差数列前如等差数列前n n项和公式的推导项和公式的推导.3.3.错位相减法错位相减法如果当数列的每一项可分解为两个因式的乘积如

2、果当数列的每一项可分解为两个因式的乘积,各项的第一各项的第一个因子成公差为个因子成公差为d d的等差数列的等差数列,第二个因子成公比为第二个因子成公比为q q的等比数列的等比数列,可将此数列前可将此数列前n n项的和乘项的和乘以以_,然后错项相减从而求出然后错项相减从而求出S Sn n.距首末两项等距离的两项和距首末两项等距离的两项和公比公比q q54.拆项分组法把不能直接求和的数列分解成把不能直接求和的数列分解成_的数列的数列,分别求和分别求和.几个可以求和几个可以求和65.裂项相消法裂项相消法把数列的每一项变为把数列的每一项变为_,以便大部分项能以便大部分项能“正正”“负负”相消相消,只只

3、剩下有限的几项剩下有限的几项.裂项时可直接从通项入手裂项时可直接从通项入手,并且要判断清楚消项后余下哪些并且要判断清楚消项后余下哪些项项,常用裂项公式为常用裂项公式为:两数之差两数之差76.6.并项转化法并项转化法有时候把两项并成一项考虑,这可以实现我们的转化目的.通常适用于数列中各项的符号是正负间隔的情况.8考 点 陪 练1.1.(2010(2010济南模拟济南模拟)数列数列1,1+2,1+2+21,1+2,1+2+22 2,1+2+2,1+2+22 2+2+2n-1n-12.2.,的前的前n n项和为项和为_.2 2n+1n+1-2-n-2-n910111213答案答案:B:B141516

4、171819解读高考第二关 热点关20类型一类型一:公式法求和公式法求和212.数列的通项是关于n的多项式时,要掌握几个常见数列的前n项和:22典例1 1若数列aan n 中,a,an n=-2,=-2,求S S1010和S S9999.分析分析 先研究有限的前先研究有限的前n n项项,再分奇再分奇 偶性讨论偶性讨论.23解法1:1:该数列的奇数项是-4,-8,-12,-16,-20;-4,-8,-12,-16,-20;偶数项是-2,-6,-10,-14,-18.-2,-6,-10,-14,-18.S10=SS10=S奇+S+S偶=-60-50=-110.=-60-50=-110.同理,S,S

5、9999=-9902.=-9902.24解法2:a2:a2m-12m-1=-2(2m-1+1)=-4m,=-2(2m-1+1)=-4m,a a2m2m=-2(2m-1)=-4m+2.=-2(2m-1)=-4m+2.在求数列的前2m2m项和时,因奇数项偶数项分别为m m项,SS奇=-2m(m+1);=-2m(m+1);S S偶=-2m(m+1)+2m=-2m=-2m(m+1)+2m=-2m2 2.S2m=-2m(m+1)-2mS2m=-2m(m+1)-2m2 2=-2m(2m+1).=-2m(2m+1).令m=5,m=5,得S S1010=-110;=-110;令m=50,m=50,得S S10

6、0100=-10100,=-10100,又a a100100=-198,=-198,SS9999=S=S100100-a-a100100=-9902.=-9902.2526【评析评析】若构成数列的项中含有若构成数列的项中含有(-1)n,则在求和则在求和Sn时时,一般要一般要考虑考虑n是奇数还是偶数是奇数还是偶数.2728类型二类型二:分组转化法求和分组转化法求和解题准备:1.有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,但若把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,就能转化为等差数列或等比数列.从而可以利用等差,等比数列的求和公式解决.这种求和方法叫分组转化法.2.此类问题求解的关键是要分析

7、研究数列的通项公式.293031【评析】有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列.若将这类数列适当拆开,可分为几个等差等比或常见的数列,即能分别求和,然后再合并.32类型三类型三:裂项相消法求和裂项相消法求和解题准备解题准备:1.裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用,其实质是将数列中的某些项分解其实质是将数列中的某些项分解,然后重新组合然后重新组合,使之能消去使之能消去一些项一些项,最终达到求和的目的最终达到求和的目的.333435363738类型四:错位相减法求和解题准备解题准备:1.:1.若数列若数列aan n 是等差数列是等差

8、数列,数列数列 b bn n 是等比数列是等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为 a an nb bn n,当求该数当求该数列前列前n n项和时项和时,常常采用将常常采用将 a an nb bn n 的各项乘公比的各项乘公比,并向后错一项并向后错一项与与 a an nb bn n 的同项对应相减的同项对应相减,即可转化为特殊数列的求和即可转化为特殊数列的求和,这种这种求和的方法称为错位相减法求和的方法称为错位相减法.392.2.错位相减法是推导等比数列的前n n项和公式时所用的方法,也是数列求和中经常用到的一种方法.40典例4 4已知数列aan

9、n 是等差数列,且a a1 1=2,a=2,a1 1+a+a2 2+a+a3 3=12.=12.(1)(1)求数列aan n 的通项公式;(2)(2)令b bn n=a an nx xn n(xR(xR).).求数列 b bn n 前n n项和的公式.分析分析 用错位相减法解用错位相减法解(2).(2).41(1)(1)设数列aan n 公差为d,d,则a a1 1+a+a2 2+a+a3 3=3a=3a1 1+3d=12,+3d=12,aa1 1=2,d=2,a=2,d=2,an n=2n.=2n.424344笑对高考第三关 成熟关45名名 师师 纠纠 错错误区误区:错位相减求和时项数处理不

10、当致误错位相减求和时项数处理不当致误46【剖析】解本题易出现的第一个错误就是求错数列的通项公式;第二个错误是在用“错位相减”求和时对相减后的项处理不当,导致漏掉项或添加项,这是这类求和问题最容易出现错误的地方.474849【评析】错位相减求和法错位相减求和法的适用环境:数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的,求其前n项和,基本方法是设这个和式为Sn,在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式,这两个和式错一位相减,就把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n-1项和为主的求和问题.这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理,如本例中相减后的和式要分三个部分:50

11、5152535455解解 题题 策策 略略1.两数列的公共项问题两数列的公共项问题56典例1 1两个等差数列aan n:5,8,11,:5,8,11,和bbn n:3,7,11,:3,7,11,都有100100项,问它们有多少个共同的项.5758解法二:设两数列共同项组成新数列 C Cn n,则C C1 1=11,=11,又a an n=3n+2,b=3n+2,bm m=4m-1,=4m-1,由题意知 C Cn n 为等差数列,且公差d=12,d=12,C Cn n=11+(n-1)=11+(n-1)12=12n-1.12=12n-1.又a a100100=302,b=302,b100100=

12、399,=399,C Cn n=12n-1302,=12n-1302,由nNnN*得n25,n25,两数列有2525个共同的项.592.2.数列|a|an n|的前n n项和问题其关键是化去绝对值符号,首先划分哪些项是负的,哪些项是非负的,再求和.60616263快快 速速 解解 题题典例求下列典例求下列n n2 2个正整数之和个正整数之和:64【解题切入点】共有2n-12n-1个不同的数,其中1 1和2n-12n-1各一个,2,2和2n-22n-2各2 2个,3,3和2n-32n-3各3 3个求其和.【分析思维过程分析思维过程】n n2 2个数个数,而互不相同的个数是而互不相同的个数是2n-

13、12n-1个个,把这把这2n-12n-1个不同的和再相加个不同的和再相加,就是就是n n2 2个数的和个数的和.656667【方法与技巧】详解从不同数的个数考虑,而快解从每行的和考虑.每行的和成等差数列,直接代入等差数列前n n项的公式即得.【得分主要步骤得分主要步骤】本题的关键在于说清楚每个数是几个本题的关键在于说清楚每个数是几个,才才能求出正确的和能求出正确的和.【易丢分原因易丢分原因】每个不同的数的个数数不清每个不同的数的个数数不清,则得不到分则得不到分.快快解的方法不易丢分解的方法不易丢分,但要想到每行数的和成等差数列但要想到每行数的和成等差数列.68教教 师师 备备 选选一函数与方程

14、的思想在数列中的应用在数列中,数列本身就是一种函数,这种函数的定义域是N*(或其子集),从而表现在图象上就是离散的点.有些数列具有单调性,如等差数列(除去公差为0的情况),等比数列(如a10,q1);有些数列具有周期性.因此研究数列问题,可以类比函数的一些性质来研究,用运动变化的观点来研究,例如数列中求某项的范围问题,某个字母的范围问题最值问题等就可以利用函数思想,转化成求函数值域问题,或解不等式.在等差等比数列问题中,已知五个基本量中的几个,求另几个时,往往是设出基本量,建立方程或方程组来解决问题.69典例1 1已知aan n 是一个等差数列,且a a2 2=1,a=1,a5 5=-5.=-

15、5.(1)(1)求aan n 的通项a an n;(2)(2)求aan n 的前n n项和S Sn n的最大值.70【分析】(1)用首项a1与公差d表示a2,a5建立关于a1与d的方程组求出a1与d的值,然后求数列的通项公式.(2)得出数列an的前n项和的表达式,整理变形,利用二次函数的知识求解.71典例2 2已知f(xf(x)=)=logloga ax(ax(a00且a1).a1).设f(af(a1 1),f(a),f(a2 2),),f f(a(an n)(nN)(nN*)是首项为4,4,公差为2 2的等差数列.(1)(1)设a a为常数,求证:a:an n 是等比数列;(2)(2)若b

16、bn n=a an nf(af(an n),b),bn n 的前n n项和是S Sn n,当a=a=时,求S Sn n.分析分析 利用函数的有关知识求得利用函数的有关知识求得a an n的表达式的表达式,再利用再利用表达式解答其余问题表达式解答其余问题.727374二分类讨论思想在数列中的应用分类讨论思想在数列中的体现分类讨论思想在数列中的体现,主要是表现在对字母范围的主要是表现在对字母范围的讨论上讨论上.例如例如,涉及到等比数列前涉及到等比数列前n n项和问题时项和问题时,需要对公比需要对公比q q进行讨论进行讨论;已知已知S Sn n求求a an n时时,需对需对n=1n=1与与n2n2两

17、种情况进行讨论两种情况进行讨论.75典例3 3 数列aan n 是首项为a,a,公比为t t的等比数列,b bn n=1+a=1+a1 1+a+a2 2+a an n(nN(nN*),),c cn n=2+b=2+b1 1+b+b2 2+b bn n(nN(nN*).).(1)(1)求b bn n,c,cn n;(2)(2)是否存在实数对(a,ta,t),),使 c cn n 为等比数列?证明你的结论.76【分析】(1)(1)中公比t t用字母表示,并未注明取值范围,故分t=1 t=1 和t1t1两种情况分别求解.(2)(2)利用(1)(1)求出的c cn n表达式,假设存在实数对(a,ta,

18、t)使得数列c cn n为等比数列,根据等比数列通项公式的形式特点建立关于a at t的方程组,若求出a,ta,t为实数,就存在,否则就不存在.77787980【分析】(1)(1)利用已知条件与等比数列的定义证明.(2)(2)利用(1)(1)的结论,应用叠加法求出数列a an n的表达式,再用定义法证明 c cn n 是等比数列.(3)(3)分n=1n=1和n2,n2,利用已知求解.81【解】(1)(1)证明:由S Sn+1n+1=4a=4an n+2+2得S Sn n=4a=4an-1n-1+2,a+2,an+1n+1=S=Sn+1n+1-S Sn n=(4a=(4an n+2)-(4a+2

19、)-(4an-1n-1+2)=4a+2)=4an n-4a-4an-1n-1(n2),(n2),即a an+1n+1-2a-2an n=2(a=2(an n-2a-2an-1n-1),),b bn n=2b=2bn-1n-1(n2,nN(n2,nN*),),又b b1 1=a=a2 2-2a-2a1 1=3,=3,b bn n 是以3 3为首项,2,2为公比的等比数列,828384三转化思想在数列中的运用在数列中,处处体现转化与化归的思想.例如,求a a1 1、a an n、n n、S Sn n 、d d、q q时,往往是设出基本量,转化为解方程(组)问题;等差数列的单调性前n n项和最值问题

20、可转化为解不等式组二次函数或利用图象来解决,数列的求和问题往往转化为等差等比数列的求和问题;求数列的通项公式解数列应用题等都要进行相应的转化.85(1)(1)求证:数列 b bn n 是等差数列;(2)(2)求a an n;(3)(3)求数列aan n 中的最大项与最小项.86【分析】(1)(1)根据已知a an n与b bn n的关系式利用等差数列的定义证明.(2)(2)利用(1)(1)的结论,数列 b bn n 是等差数列,确定其通项公式,根据已知a an n与b bn n的关系求解.(3)(3)利用(2)(2)的结论,即求出的a an n的表达式,利用函数的单调性求解即可.878889典

21、例6 6在一直线上共插有1313面小旗,相邻两面的距离为10 m,10 m,在第1 1面小旗处有一人要把小旗全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短,应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少?90【分析】设将旗集中到第x x面小旗处,然后建立所走路程S S与x x的函数解析式,即把其他1212面小旗集中到第x x面小旗处的距离分别用x x表示,然后相加就是路程S,S,相应的把实际问题转化为求函数的最值问题.【解解】设将旗集中到第设将旗集中到第x x面小旗处面小旗处,则从第则从第1 1面旗到第面旗到第x x面旗处面旗处,共走路程为共走路程为10(x-1),10(x-1)

22、,然后回到第然后回到第2 2面处再到第面处再到第x x面处是面处是20(x-20(x-2),2),从第从第x x面处到第面处到第(x+1)(x+1)面处的路程为面处的路程为20,20,从第从第x x面处到第面处到第(x+2)(x+2)面取旗再到第面取旗再到第x x面处面处,路程为路程为20202,2,.9192课时作业三十一 数列求和93一一 选择题选择题答案答案:A:A9495评析:本题考查数列的基本问题以及用函数思想解决数列问题的方法,解题中通过对数列的前几项的求值结果进行归纳概括,发现数列各项的值具有周期性,从而用一个分段函数表示其通项公式,然后再求和.962.(2.(能力题,中)数列a

23、an n 的通项公式为a an n=(-1)=(-1)n-1n-1(4n-3),(4n-3),则它的前100100项之和S S100100等于()()A.200 B.-200 C.400 D.-400A.200 B.-200 C.400 D.-400答案答案:B:B97答案答案:B:B9899答案答案:D:D100101答案答案:A:A1021036(2010石石家家庄庄质质检检二二)(综合题，中中)已已知知函函数数f(x)2x1，xR.规规定定：给给定定一一个个实实数数x0，赋赋值值x1f(x0)，若若x1255，则则继继续续赋赋值值x2f(x1)，以以此此类类推推，若若xn1255，则则x

24、nf(xn1)，否否则则停停止止赋赋值值，如如果果得得到到xn后后停停止止，则则称称赋赋值值了了n次次(nN*)已已知知赋赋值值k次次后后该该过过程程停停止止，则则x0的的取取值值范范围围是是()A(2k9,2k8 B(2k81,2k91C(28k1,29k1 D(27k1,28k1答案：答案：C104二填空题10510610710810001000解析:a:a2n2n=f(2n)+f(2n+1)=-4n=f(2n)+f(2n+1)=-4n2 2+(2n+1)+(2n+1)2 2=4n+1,=4n+1,a a2n-12n-1=f(2n-1)+f(2n)=-(2n)=f(2n-1)+f(2n)=-(2n)2 2+(2n-1)+(2n-1)2 2=-4n+1=-4n+1所以数列的前10001000项和可分为两部分:(a(a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a999999)+(a)+(a2 2+a+a4 4+a+a6 6+a+a10001000)=1000.)=1000.109110111112(1)(1)求证:数列aan n 为等差数列;(2)(2)求证:数列 b bn n-a-an n 为等比数列;(3)(3)求数列 b bn n 的通项公式以及前n n项和T Tn n.113114115116117118119120