第4章 矩阵分解.ppt

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1、第第4 4章章 矩阵分解矩阵分解 把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究与应用中，都是十分重要的阵的乘积，在矩阵理论的研究与应用中，都是十分重要的因为这些分解式的特殊形式一方面能明显地反映出原矩因为这些分解式的特殊形式一方面能明显地反映出原矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，另一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效的值等，另一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据本章将介绍在广义逆矩阵数值计算方法和理论分析根据本章

2、将介绍在广义逆矩阵等理论中常用的矩阵满秩分解和奇异值分解，最后介绍矩等理论中常用的矩阵满秩分解和奇异值分解，最后介绍矩阵的阵的QR分解以及分解以及Schur定理定理4.1 矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解 本节介绍将非零矩阵分解为列满秩矩阵与行满秩矩阵的本节介绍将非零矩阵分解为列满秩矩阵与行满秩矩阵的乘积问题乘积问题4.2 舒尔定理及矩阵的舒尔定理及矩阵的QR分解分解 舒尔舒尔(Schur)定理在理论上很重要，它是很多重要定理定理在理论上很重要，它是很多重要定理证明的出发点证明的出发点 而矩阵的而矩阵的QR分解在数值代数中起着重要作分解在数值代数中起着重要作用，是计算矩阵特征值及求解线性方程组的一

3、个重要工具用，是计算矩阵特征值及求解线性方程组的一个重要工具.下面的讨论是在酉空间下面的讨论是在酉空间Cn内进行的内进行的 现在我们介绍另一重要定理，它为计算特征值的数值方现在我们介绍另一重要定理，它为计算特征值的数值方法提供了重要理论依据法提供了重要理论依据4.3 正规矩阵正规矩阵 引理引理4.3.1 正规上（下）三角阵一定是对角阵正规上（下）三角阵一定是对角阵.4.4 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解 矩阵的奇异值分解在最优化问题、特征值问题、最小二矩阵的奇异值分解在最优化问题、特征值问题、最小二乘法问题、广义逆矩阵问题及统计学等方面都有重要应用乘法问题、广义逆矩阵问题及统计学等方面都有重要应用