46 函数展开为正弦函数与余弦函数.doc

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4.6 函数展开为正弦函数与余弦函数一、相关问题1.什么叫奇延拓、偶延拓，为什么有时需将进行延拓？ 解 有时将在展成傅立叶级数，为便于计算傅立叶系数, 将开拓到, 使其开拓后的函数在是奇函数（这时, ）或偶函数（这时, ），即所谓的奇开拓或偶开拓, 也称的奇式展开或偶式展开。二、相关知识1.正弦级数和余弦级数有什么区别与联系？2.如何将一个函数展开成正弦级数和余弦级数？解 请自行根据教材整理。三、练习题 1.将函数，分别展开成正弦级数和余弦级数。 解 先求正弦级数。为此对函数进行奇延拓。 , 函数的正弦级数展开式为 (0xp). 在端点及处 级数的和显然为零, 它不代表原来函数的值。 再求余弦级数。为此对)进行偶延拓. , 函数的余弦级数展开式为 (0xp). 2.将函数展开成正弦级数。 解 对进行奇延拓，则 . 对上式右边的第二项, 令,则 . 当时，；当时， . 于是得 。 3.,用余弦级数展开,并求的和。 解 由于 所以 令，有 又，所以 4.设,求。 解 将展开为余弦级数 ，其系数计算公式为。 根据余弦级数的定义，有 = =四、思考题1.同样一个函数在同样的区间上是否既可以用正弦级数表示，又可以用余弦级数表示？ 解 可以，如把在内展开。3