数学分析 第十六章 课件 偏导数与全微分.ppt

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1、第十六章 偏导数与全微分再一元微分学中：有 导数（微商）连续微分复习：变化率线性主要部分 1 偏导数与全微分的概念 例如：固定 y=y0,则 f(x,y0)就是 x 的一元函数，它在 x0 时对x 的导数，称为 f(x,y0)在(x,y0)对 x 的偏导数.偏导数在二元函数 f(x,y)中将 x,y 中的一个量固定（看作不变），定义16.1.函数 f 在(x0,y0)关于 x 的偏改变量.若下列极限存在则称该极限为函数 f(x,y)关于 x 的偏导数.记号：和一元函数的情形相仿：则这个偏导数也是的二元函数，它是的在G内对x或y的偏导函数，简称偏导数,记为或或：若函数在区域内每一点都存在对x或对

2、y的偏导数，偏导数的几何意义：先复习导数的几何意义空间曲线 看p181图曲面平面例例 例表明：偏导数存在 连续 原因：只有两个方向与一元函数的本质区别全微分全微分回忆一下一元函数的微分：两大特点；.推广到二元函数定义.（可微与全微分）记号：二元函数的微分仍有两大特点；.先回忆一下一元函数的情形：切线存在且逼近曲线二元：切平面存在且逼近曲面二元函数 在的几何意义定理16.1 全微分与偏导数的关系：设可微，在表达式中分别令和得从而：在的全微分可写成类似可定义 n 元函数 u=f()的全微分注：函在一点的偏导数不可能推出在该点可微 定理.2 在某区域内点的全微分为总结总结连续偏导数存在可微偏导数连续

3、4、高阶偏导数和高阶微分 先考虑二元函数前面说过偏导数则称关于x,y的偏导数为的二阶偏导数，共有四个类似可定义三阶偏导数：共个 例 7.求所有的二阶偏导数：两个混合偏导数：是否总相等 例8.设证明:在什么条件下才能保证两者相等呢？定理16.4 这个定理可以推广到 n具有直到 n 阶的连续偏导数，则求偏导数与变量的顺序的 n 阶偏导数可简单得表示为：阶偏导数的情形：即若函数 f高阶全微分复习高阶微分二阶全微分：设混合偏导数连续，记号无关.从而二元函数2 2 复合函数与隐函数微分法复合函数与隐函数微分法复合函数的偏导数 先复习一元函数的链式法则 多元类似 Th16.5 复合函数偏导数的链式法则 证

4、明：思路 1、2、可微：偏导注：条件“可微”不可少。要求总结用图表示链式法则 几个特殊的情形和推广：1）则复合函数为一元函数 设注意符号有时称全导数2）设 则推广 n 个P196 复合三次uxyzst3)设 1、两符号的意义本质区别2、特例uxytst下面求复合函数的高阶偏导数：例3强调 ，仍是 x,y 的函数，从而 x,y 又是 s,t 的函数 xyst同理例例4.设 书上记号易混求解解:引入中间变量：记号 链式法则的应用 偏微分方程的变换 求解目的2）复合函数的全微 设进一步，若 则有又：和一元函数一样，二阶全微分不再具有形式的不变性。这一性质称为一阶全微分形式的不变性应用：隐含数微分法3

5、）隐函数（组）的求导法（1）一个方程的情形：上册Ch4.3 =0的情形：在一定条件下，由可以确定隐含数y=f(x)且是可导的,求 前面的求法：只有对具体问体：现在运用偏导数和链式法则，有（例，求）不能给出一般表达式，若则推广：由方程=0，确定隐含数且偏导数存在，求 同理可得：例7设 解：由要求的结果知 确定隐函数偏导数存在例8 设 解法二（利用全微分公式）解法一：（2）方程组的情形：设确定两个隐含数求推导见：P205。求（假设存在）小结偏导与全微分的概念复合函数与隐函数微分 习题1、求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.2、设证:3、求的偏导数.(P14 例4)解:求证4 4、计算的近似

6、值.解:设,则取则5、解:1、利用公式 求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：故绝对误差约为又所以 S 的相对误差约为计算三角形面积.现测得附加题附加题2、在直流电路中,测得电压 U=24 伏,解:由欧姆定律可知(欧)所以 R 的相对误差约为0.3 +0.5 R 的绝对误差约为0.8 0.3;定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差.相对误差为 测得电流 I=6安,相对误差为 0.5 ,=0.032(欧)=0.8 求用欧姆3.3.设解:利用轮换对称性,可得注意:x,y,z 具有 轮换对称性 4、设 求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,半径由 20cm 增大解:已知即受压后圆柱体体积减少了 5 5.有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm,则 高度由100cm 减少到 99cm,体积的近似改变量.求此圆柱体作业P192:1:(单数题)P193:7;9P208:1:(双数题)P208:3P209:9P217:1:(1;3);2:(2;4);6P223:2;3;8