人教版高中数学 3.1《变化率问题》课件 北师大选修11.ppt

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1、变化率问题变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题 的快慢程度变化率问题2021/8/9 星期一1问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容量的增随着气球内空气容量的增加加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学角度从数学角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?v气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r(单位单位:dm)之间的函数关系是之间的函数关系是v如果将半径如果将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数,v那么那么思考思考:这一现象这一现象中，哪些

2、量中，哪些量在改变？变在改变？变量的变化情量的变化情况？况？2021/8/9 星期一2我们来分析一下我们来分析一下:v当当V从从0增加到增加到1时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为v当当V从从1增加到增加到2时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为显然显然0.620.16 随着气球体积逐渐变随着气球体积逐渐变大大,它的平均膨胀率逐渐它的平均膨胀率逐渐变小变小2021/8/9 星期一3思考思考?当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平气球的平均膨胀率是多少均膨胀率是多少?2021/8/9 星期一4问题问题2 高台跳

3、水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面运动员相对于水面的高度的高度h(h(单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单（单位：秒）存在函数关系位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态?hto2021/8/9 星期一5请计算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+102021/8/9 星期一6 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度,并并思考下面的问题思考

4、下面的问题:探究探究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态他在这段时间里运动状态.2021/8/9 星期一7平均变化率定义平均变化率定义:若设若设x=x2-x1,f=f(x2)-f(x1)则平均变化率为则平均变化率为这里这里x看作是对于看作是对于x1的一个的一个“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同样同样f=y=f(x2)-f(x1)l上述问题中的变化率可用式子上述

5、问题中的变化率可用式子 表示表示称为函数称为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率2021/8/9 星期一8理解：理解：1，式子中，式子中x、f 的值可正、可负，但的值可正、可负，但x值不能为值不能为0，f 的值可以为的值可以为02，若函数，若函数f(x)为常函数时，为常函数时，f=0 3,变式变式2021/8/9 星期一9思考思考?观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线AB的的斜率斜率2021/8/9 星期一101、已知函数、已知函数f(x)=-

6、x2+x的图象上的一点的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点及临近一点B(-1+x,-2+y),则则y/x=()A 、3 B、3x-(x)2 C、3-(x)2 D、3-x Dv2、求、求y=x2在在x=x0附近的平均速度。附近的平均速度。2x0+x 练习2021/8/9 星期一11v4.物体按照物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线的规律作直线运动运动,求在求在4s附近的平均变化率附近的平均变化率.A练习2021/8/9 星期一12练习：练习：5.过曲线过曲线y=f(x)=x3上两点上两点P（1，1）和）和Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率时割线的斜率.2021/8/9 星期一13抽象概括：抽象概括：1.函数的平均变化率函数的平均变化率v2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率3.平均变化率是曲线陡峭程度的平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化数量化”，是一种粗略，是一种粗略的刻画的刻画-导数导数2021/8/9 星期一14