人教版高中数学 3.1《等比数列》课件 北师大必修5.ppt

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1、国际象棋起源于印度，国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：有什么要求，发明者说：“请在棋请在棋盘上的第一个格子上放盘上的第一个格子上放1粒麦子，粒麦子，第二个格子上放第二个格子上放2粒麦子，第三个粒麦子，第三个格子上放格子上放4粒麦子，第四个格子上粒麦子，第四个格子上放放8粒麦子，依次类推，直到第粒麦子，依次类推，直到第64个格子放满为止。个格子放满为止。”国王慷慨地国王慷慨地答应了他。答应了他。你认为国王有能力满足你认为国王有能力满足上述要求吗？上述要求吗？左图为国际象

2、棋的棋盘，棋左图为国际象棋的棋盘，棋盘有盘有8*8=64格格 1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8上述棋盘中各格子里的上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成麦粒数按先后次序排成一列数：一列数：情景展示（情景展示（1 1）1844,6744,0737,0955,16152021/8/9 星期一1给你一张足够大的纸，假设给你一张足够大的纸，假设其厚度为其厚度为0.1毫米，那么当你毫米，那么当你把这张纸对折了把这张纸对折了51次的时候，次的时候，所达到的厚度有多少？所达到的厚度有多少？猜一猜：把一张纸折叠把一张纸折叠5151次，次，得到的大约是地球与得到的大约是地球与太阳之

3、间的距离！太阳之间的距离！2021/8/9 星期一2曰：曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”庄子庄子意思：意思：“一尺长的木一尺长的木棒，每日取其一半，棒，每日取其一半，永远也取不完永远也取不完”。如果将如果将如果将如果将“一尺之棰一尺之棰一尺之棰一尺之棰”视为一份，视为一份，视为一份，视为一份，则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：2021/8/9 星期一3 某种汽车购买时的价格是某种汽车购买时的价格是3636万元，每年万元，每年的折旧率是的折旧率是10%10%，求这辆车各年开始时的价，求这辆车各年开始时

4、的价格（单位：万元）。格（单位：万元）。3636，360.9360.9，360.9360.92 2,360.93,各年汽车的价格组成数列：各年汽车的价格组成数列：2021/8/9 星期一4等比数列等比数列2021/8/9 星期一51,3,5,7,9;(1)3,0,-3,-6,;(2)回忆回忆什么是等差数列？什么是等差数列？一般地一般地一般地一般地，如果一个数列从第如果一个数列从第如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起，每一项与前一项起，每一项与前一项起，每一项与前一项起，每一项与前一项的项的项的项的差差等于等于等于等于同一个常数同一个常数，那么这个数列叫做，那么这个数列叫做，那么这个数列叫

5、做，那么这个数列叫做等差数等差数等差数等差数列列列列。这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的公差公差公差公差，用，用，用，用d d d d表示表示表示表示。2021/8/9 星期一6比较下列数列共同特点？共同特点？从第从第2项起，每一项项起，每一项与与前前一项的比都等于一项的比都等于同一常数同一常数.(1)(2)(3）9 9，9 92 2，9 93 3，9 94 4，9 95 5，9 96 6，9 97 73636，360.9360.9，360.9360.92 2,360.93,（4）2021/8/9 星期一7等比数列定义等比数列定义 一般的，

6、如果一个数列从一般的，如果一个数列从第第2项起项起，每一，每一项与它前一项的项与它前一项的比等于同一个常数比等于同一个常数，这个数列，这个数列就叫做就叫做等比数列等比数列。这个这个常数常数叫做等比数列的叫做等比数列的公公比比，公比通常用，公比通常用字母字母q表示。表示。或其数学表达式：其数学表达式：(q0）2021/8/9 星期一8问：如果问：如果an+1=anq(nN+,q为常数），那么为常数），那么数列数列an是否是等比数列？为什么？是否是等比数列？为什么？答：不一定是等比数列。这是因为：（答：不一定是等比数列。这是因为：（1）若）若an=0,等式等式an+1=anq对对nN恒成立，但从第

7、二项恒成立，但从第二项起，每一项与它前一项的比就没有意义，故等起，每一项与它前一项的比就没有意义，故等比数列中任何一项都不能为零；（比数列中任何一项都不能为零；（2）若）若q=0，等式等式an+1=anq，对，对nN仍恒成立，此时数列仍恒成立，此时数列an从第二项起均为零，显然也不符合等比数从第二项起均为零，显然也不符合等比数列的定义，故等比数列中的公比列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。不能为零。所以，所以，如果如果an+1=anq(nN，q为常数），数列为常数），数列an不一定是等比数列。不一定是等比数列。2021/8/9 星期一9名名称称等差数列等差数列等比数列等比数列定定义义如果一

8、个数列从第如果一个数列从第2 2项起，每一项与前一项起，每一项与前一项的项的差差都等于都等于同一个同一个常数常数，那么这个数列，那么这个数列叫做等差数列叫做等差数列.这个这个常数叫做等差数列的常数叫做等差数列的公差，用公差，用d d表示表示如如果果一一个个数数列列从从第第2 2项项起起，每每一一项项与与它它前前前前一一项项的的比比都都等等于于同同同同一一一一个个个个非非非非0常常常常数数数数,那那么么这这个个数数列列叫叫做做等等比数列比数列.这个常数这个常数叫做等比数列的叫做等比数列的公公比比，用，用q表示表示.2021/8/9 星期一10注意：1.公比是等比数列，从第公比是等比数列，从第2项

9、起，每一项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。项与前一项的比，不能颠倒。2.对于一个给定的等比数列，它的公比对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个非是同一个非零零常数。常数。2021/8/9 星期一11练习是不是是不是q=1、判别下列数列是否为等比数列、判别下列数列是否为等比数列?(2)1.2,2.4,-4.8,-9.6 (3)2,2,2,2,(4)1,0,1,0 q=2021/8/9 星期一12思考：等比数列中思考：等比数列中(1)公比公比q为什么不能等于？首项能等于吗？为什么不能等于？首项能等于吗？(2)公比公比q=1时是什么数列？时是什么数列？(3)q0数列递增吗？数列递增吗？q0数列递

10、减吗？数列递减吗？说明：说明：(1)公比公比q0，则，则an0(nN)；(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；既是等差又是等比数列为非零常数列；(3)q=1，常数列；，常数列；q0q0，摆动数列；，摆动数列；2021/8/9 星期一13例例1:求出下列等比数列中的未知项求出下列等比数列中的未知项.(1)2.a,8(2)-4,b,c,解：解：解得解得a=4或或a=-4 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，成等比数列，那么那么G叫做叫做a与与b的等比中项。的等比中项。2021/8/9 星期一14等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就

11、会成观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：为一个等比数列：（1）1，9 （2）-1，-4（3）-12，-3 （4）1，132612021/8/9 星期一15小小 结：结：等比数列的等比数列的概念。概念。方程的思想。方程的思想。类比类比知识内容知识内容研究方法研究方法思想方法思想方法2021/8/9 星期一16通项公式通项公式 数学式数学式子表示子表示定定义义等比数列等比数列 等差数列等差数列名称名称如果一个数列从第如果一个数列从第2项项起，每一项与前一项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等那么这个数列叫做等差数列差数列.这个

12、常数叫做这个常数叫做等差数列的公差，用等差数列的公差，用d表示表示an+1-an=dan=a1+（n-1）d如如果果一一个个数数列列从从第第2项项起起，每每一一项项与与它它前前一一项项的的比比都都等等于于同同一一个个常常数数,那那么么这这个个数数列列叫叫做做等等比比数数列列.这这个个常常数数叫叫做做等等比比数数列列的公比，用的公比，用q表示表示?2021/8/9 星期一17 如如果果等等比比数数列列的的首首项项是是,公公比比是是,那那么么这这个个等等比比数数列列的的第第项项如如何何表表示示?当当n=1时，时，（等比数列通（等比数列通项公式）项公式）如果等比数列如果等比数列 的首项是的首项是 ,

13、公比公比是是,那么这个等比数列的第那么这个等比数列的第 项项 如何表示如何表示?猜一猜猜一猜？2021/8/9 星期一18想一想？证明：证明：将等式左右两边分别相乘可得：将等式左右两边分别相乘可得：化简得：化简得：即：即：此式对此式对n=1也成立也成立叠乘法推导叠乘法推导一般形式：一般形式：2021/8/9 星期一19等比数列的通项公式练习1求下列等比数列的第求下列等比数列的第4，5项：项：（2）1.2，2.4，4.8，（1）5，-15，45，2021/8/9 星期一20解得解得 因此因此，例例1在等比数列在等比数列an中，已知中，已知求求an.解：设解：设等比数列等比数列an的公比为的公比为

14、q,由题意得由题意得巩固巩固 应用应用2021/8/9 星期一21变形、变形、等比数列等比数列an中中,a1=2,q=-3,求求a8与与an.变形变形 2、等比数列等比数列an中中,a1=2,a9=32,求求q.变形、变形、等比数列等比数列an中中,a1+a3=10,a4+a6=5/4,求求q的值的值.变形、变形、等比数列等比数列an中中,a3+a6=36,a4+a7=18,an=1/2,求求n.例题讲解例题讲解2021/8/9 星期一22世界杂交水稻之父袁隆平从从1976年至年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亿多亩，增产稻谷亩，增产稻谷3500亿公斤

15、。年增稻谷可养活亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。万人口。西方世界称他的杂交稻是西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻东方魔稻”，并认为是解决，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。下个世纪世界性饥饿问题的法宝。2021/8/9 星期一23例例2 袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的种子都可以得到下一代的120粒种子，到第粒种子，到第5代时大代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有效数

16、字）？效数字）？由于每代的种子数是它的前一代种子数的由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，倍，因此，逐代的种子数组成等比数列，记为因此，逐代的种子数组成等比数列，记为 答：到第答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子代大约可以得到这种新品种的种子2.51010粒粒.解：解：巩固巩固 应用应用2021/8/9 星期一24练一练某种细菌在培养过程中，每半个小时分某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（一个分裂为两个），经过小时，裂一次（一个分裂为两个），经过小时，这种细菌由一个可繁殖成这种细菌由一个可繁殖成_个？个？42.已知等比数列的通项公式已知等比数列的通项公式，求首，求首项为（）公

17、比为（）。项为（）公比为（）。2563.在等比数列中，已知首项为在等比数列中，已知首项为，末项为，末项为，公比为公比为，则项数，则项数等于（）等于（）102021/8/9 星期一25数数列列等等差差数数列列等等比比数数列列定义式定义式公差（比）公差（比）定义变形定义变形通项公式通项公式一般形式一般形式 an+1-an=dd 叫叫公差公差q叫叫公比公比 an+1=an+d an+1=an q an=a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m归纳：归纳：2021/8/9 星期一26例题讲解例题讲解例例已知已知anbn是项数相同的等比是项数相同的等比数列，试证数列，试证anbn是等比数列是等比数列.变形变形1：已知已知an、bn为等比数列，为等比数列，c是非零是非零常数，则常数，则can、an+c、an+bn是否为等比是否为等比数列？数列？变形：变形：已知已知an为等比数列，问为等比数列，问a10,a20,a30,是否为等比数列？是否为等比数列？变形变形2：已知已知an为等比数列，问为等比数列，问a2,a4,a6,是否为等比数列？是否为等比数列？2021/8/9 星期一27