人教A版高中数学必修五2.3等差数列的前n项和第1课时PPT.pptx

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1、2.3 等差数列的前n项和第第1 1课时课时问题 ：一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V V形架，最下面第一层放一支铅笔，形架，最下面第一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，就这样一层一层地往上放。往上每一层都比它下面多放一支，就这样一层一层地往上放。最上面一层放最上面一层放100100支。求这个支。求这个V V形架上共放着多少支铅笔？形架上共放着多少支铅笔？100层层1，2，3，1001+2+3+100=？高斯（高斯（Gauss，C.F.，1777年年1855年）年）,德国著名数学家德国著名数学家知识点一等差数列前n项和公式1+2+3+100=？首项与末项的和：首项与末项的和：110010

2、1，第第2项与倒数第项与倒数第2项的和：项的和：299 101，第第50项与倒数第项与倒数第50项的和：项的和：5051101，于是所求的和是：于是所求的和是：101505050。对于一般的等差数列对于一般的等差数列它的前它的前n项和项和Sn呢？呢？相加得相加得:-倒序相加法倒序相加法题型一等差数列前n项和公式直接运用例例1.小明从星期一到星期天每天分别记英语单词的小明从星期一到星期天每天分别记英语单词的数目是数目是5,10,15,20,25,30,35（1）这一周共记多少个单词？）这一周共记多少个单词？（2）按此规律，一个月）按此规律，一个月30天总共记多少个单词？天总共记多少个单词？解：根

3、据等差数列前解：根据等差数列前n项和公式，得项和公式，得练练习习：已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式.解解方法一方法一由题意知S10310，S201 220，得a20a1060，10d60，d6，a14.思考思考在等差数列an中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn?知识点二a1，d，n，an，Sn知三求二梳梳理理(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和.(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”.解

4、：由题意，得解：由题意，得例例2.在等差数列在等差数列an中，已知中，已知d=，n=37，Sn=629，求求a1,an.解得解得a1=11，a37=23.练习练习在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.练习：练习：在在等差数列等差数列an中，中，(1)已知已知a2=3，a6=11，求，求S7;(2)已知已知S11=66，求，求a6.解：由题意，得解：由题意，得解得解得a1=4，d=6.例例3.己知一个等差数列己知一个等差数列an前前10项和是项和是310,第第11项到第项到第20项的和是项的和是910.(1)求该数列的前求该数列的前n项和公式项和公式;(2)求第求第21项到

5、第项到第30项的和项的和.探究探究:在以在以d为公差的为公差的等差数列等差数列an中中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是否成等差数列？如果是，求公差是否成等差数列？如果是，求公差.跟踪检测：跟踪检测：已知等差数列已知等差数列an的前的前 m项和为项和为30，前前2m项和为项和为100，求它的前，求它的前 3m项的和项的和.210公差为公差为n2d思考思考已知数列an的前n项和Snn2，怎样求a1，an?知识点三数列中an与Sn的关系答案答案a1S11；当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，又当n1时也适合上式，所以an2n1，nN*.梳理梳理对于一般数列an，设其前n项和为Sn，特

6、别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用.(2)若由anSnSn1(n2)中令n2求得a1与利用a1S1求得的a1相同，则说明anSnSn1(n2)也适合n1的情况，数列的通项公式用anSnSn1表示.若由anSnSn1(n2)中令n2求得的a1与利用a1S1求得的a1不相同，则说明anSnSn1(n2)不适合n1的情况，数列的通项公式采用分段形式.例例4.已知数列已知数列的前的前n项和项和,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?探究探究1:一般地一般地,如果一个数列如果一个数列的前的前n项和为项和为:其中:p.q.r为常数,且p那么这个数列一定是等差数列吗那

7、么这个数列一定是等差数列吗?如果是如果是,它的首它的首项和公差分别是什么项和公差分别是什么?0,结论:当r=0时为等差,当r0时不是探究探究2:公式二又可化成式子公式二又可化成式子：当当d0，是一个常数项为零的二次式。，是一个常数项为零的二次式。结论：结论：数列数列 为等差数列为等差数列 其前项和练习练习已知数列an的前n项和Sn3n，求an.解解当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn13n3n123n1.当n1时，代入an23n1得a123.例例5.已知等差数列:5,的前n项和为,求使得最大的序号n的值.对等差数列前项和的最值问题有两种方法对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)利

8、用利用：由由(2)利用利用:当当0，d0，前，前n项和有最大值。可由项和有最大值。可由，求得，求得n的值。的值。当当0，前，前n项和有最小值。可由项和有最小值。可由，求得，求得n的值。的值。练习练习.已知一个等差数列的前已知一个等差数列的前10项的和项的和是是310，前，前20项的和是项的和是1220，求其前求其前项和的公式项和的公式.1.已知等差数列an满足a11，am99，d2，则其前m项和Sm等于A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500解析解析由ama1(m1)d，得991(m1)2，小试牛刀2.记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于A

9、.2 B.3 C.6 D.7方法二方法二由S4S2a3a4a12da22dS24d，所以20444d，解得d3.3.在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.19019a10 1910190.4.已知数列an满足a12a2nann(n1)(n2)，则an_.解析解析由a12a2nann(n1)(n2)，得a12a2(n1)an1(n1)n(n1)，得nann(n1)(n2)(n1)n(n1)n(n1)(n2)(n1)3n(n1)，an3(n1)(n2).又当n1时，a11236也适合上式，an3(n1)，nN*.3(n1)整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，n12，ana124.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解得d171.(2)a11，an512，Sn1 022，求d.