人教A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程 课件.ppt

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1、4.1.2 圆的一般方程将圆的标准方程将圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2 =r2展开，得展开，得可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：（1）x2 和和 y2 的系数相同且不为的系数相同且不为 0，即，即A=C0；（2）没有）没有 xy 这样的二次项，即这样的二次项，即B=0.（3）D2+E2-4AF 0？表示圆表示圆二元二次方程二元二次方程解：解：(1)点点(0，0)(2)以以(1，-2)为圆心，为圆心，为半径的圆为半径的圆为半径的圆为半径的圆例例1.(3)当当 时，以时，以(-a，0)为圆心，为圆心，当当 时，表示时，表示(0，0)点

2、点练练2.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高拱高OP=4m，在建造时每隔，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的的长度（精确到长度（精确到0.01m)yx解：解：建系如图，建系如图，02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：解得：b=-10.5，r2=14.52 .所以圆的方程是：所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点把点P2的横坐标的横坐标 x=-2 代入圆的方程，得代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52因为因为y0,所以所以y=1

3、4.52-(-2)2 -10.514.36-10.5=3.86(m)答：支柱答：支柱A2P2的长度约为的长度约为3.86m。由题意可设圆的方程：由题意可设圆的方程：x2+(y-b)2=r2因因P(0，4)、B(10，0)都在圆上，都在圆上，练练2.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高拱高OP=4m，在建造时每隔，在建造时每隔4m需用一个支柱需用一个支柱支撑，求支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到的长度（精确到0.01m)yx思考思考 利用圆的几利用圆的几何性质，你能否何性质，你能否用直线方程求出用直线方程求出圆心坐标？进而

4、圆心坐标？进而写出圆的方程？写出圆的方程？C1说明：说明：一般地，求圆的方程有两种方法：一般地，求圆的方程有两种方法：（1）待定系数法：待定系数法：即设出圆的标准方程或一般方程，即设出圆的标准方程或一般方程，利用条件求系数利用条件求系数.（2）几何分析法：几何分析法：即利用平面几何中的有关性质求解即利用平面几何中的有关性质求解.3.圆心为圆心为(a，b)，半径为，半径为r 的圆的的圆的参数方程参数方程为：为：方程特征：方程特征：直接体现了圆上点的坐标直接体现了圆上点的坐标x、y的间接关系的间接关系.圆的参数方程圆的参数方程解解1：设所求方程为设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2，根据已知条

5、件得解得解得故圆的方程为(x1)2(y4)28.4.求求圆心在直线圆心在直线y4x上，且与直线上，且与直线l：xy10相切相切于点于点P(3，2)的的圆的方程圆的方程4.求求圆心在直线圆心在直线y4x上，且与直线上，且与直线l：xy10相切相切于点于点P(3，2)的的圆的方程圆的方程解2:如图，设圆心如图，设圆心(x0，4x0)，依题意得 x01，即圆心为(1，4)，半径 故圆的方程为(x1)2(y4)28.C练习练习2.解解1：设设 M(x，y)，Q(x0，y0)，则由线段中点坐标公式得则由线段中点坐标公式得即即点点 Q 在圆在圆 x2+y2=16 上上，即即MQxyPO（相关点法）（相关点

6、法）所求点所求点M的轨迹方程的轨迹方程.即即练习练习2.MQxyPO.由中点坐标公式得由中点坐标公式得消参数得消参数得点点M的轨迹的轨迹参数方程参数方程为：为：解解2：设设 M(x，y)，Q(x0，y0)，点点 Q 在圆在圆 x2+y2=16 上上，即即Q(4cos，4sin)，又又 P(10，0),即为所求点即为所求点M的轨迹方程的轨迹方程.（参数法）（参数法）练习练习2.解解3：设设 M(x，y)，MQxyPON取取OP的中点的中点N，.则则 N(5,0)，连接连接MN,M、N分别是分别是PQ、PO的中点的中点,MN/QO 动点动点M的轨迹是以的轨迹是以N(5,0)为圆心为圆心,NM2为半

7、径的圆，为半径的圆，其轨迹方程为其轨迹方程为且且.（几何法）（几何法）练习练习3.长为长为2a的线段的线段AB的两个端点的两个端点A和和B分别在分别在x轴和轴和y轴上滑动，求线段轴上滑动，求线段AB的中点轨迹的中点轨迹.xyO.MBAx2y2a2.解：解：如图，设线段如图，设线段AB的中点为的中点为M，即即RtAOB的斜边上的中线长的斜边上的中线长a.它到原点它到原点O的距离为定长，的距离为定长，则由题意点则由题意点M运动时，运动时，线段线段AB的中点的中点M的轨迹是以的轨迹是以O为圆心为圆心,a为半径长的圆，为半径长的圆，其轨迹方程为其轨迹方程为 练习练习4.ABC的顶点的顶点B、C的坐标分

8、别是的坐标分别是(0,0)和和(4,0),AB边上中线的长为边上中线的长为3，求顶点，求顶点A的轨迹方程的轨迹方程.解解:设点设点A(x,y),线段线段AB中点为中点为M,则则xyB OCAM即即为所求顶点为所求顶点A的轨迹的方程的轨迹的方程.变式变式:求与两个定点求与两个定点 O(0，0)、A(3，0)距离的比为距离的比为的动点的轨迹，并画出曲线的动点的轨迹，并画出曲线.A.M解解：设点设点 M(x，y)是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，则则即即即即当当 时，时，动点动点M的轨迹是线段的轨迹是线段OA的中垂线的中垂线.当当 时，时，即即以以圆心，圆心，以以为半径的圆为半径的圆.动点动点

9、M的轨迹是的轨迹是思考思考:，则动点，则动点P的轨迹是什么？的轨迹是什么？思考思考:，则动点，则动点P的轨迹是什么？的轨迹是什么？（3）若）若 0，（1）若）若 1，则点则点P的轨迹是线段的轨迹是线段AB的中垂线的中垂线.（2）若）若 0 且且 1，则点则点P的轨迹是圆的轨迹是圆.则点则点P的轨迹不存在的轨迹不存在.巩固巩固1.已知定点已知定点 A(3，0)，P是圆上是圆上 x2+y2=1 上的动点，上的动点，AOP 的平分线交的平分线交 PA 于于N，求点，求点N的轨迹的轨迹.解解1：MPxyAON设设 N(x，y)，P(x0，y0)，则由角平分线性质得则由角平分线性质得即即 点点N轨迹是以

10、轨迹是以(,0)为圆心、为圆心、为半径的圆为半径的圆.解解2：设设 N(x，y)，MPxyAON 点点N轨迹是以轨迹是以(,0)为圆心、为圆心、为半径的圆为半径的圆.巩固巩固1.已知定点已知定点 A(3，0)，P是圆上是圆上 x2+y2=1 上的动点，上的动点，AOP 的平分线交的平分线交 PA 于于N，求点，求点N的轨迹的轨迹.则由角平分线性质得则由角平分线性质得又又巩固巩固2.已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3)，端点，端点A在圆在圆(x1)2 y24上运动上运动,问线段问线段AB的中点的中点M的轨迹是什么的轨迹是什么？BAyxOM解解1：设设 M(x，y)，A(x

11、0，y0)，则由线段中点坐标公式得则由线段中点坐标公式得即即点点 A 在圆在圆(x1)2 y24上上运动运动，即即 线段线段AB的中点的中点M轨迹是以轨迹是以 为圆心、为圆心、1为半径的圆为半径的圆.巩固巩固2.已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3)，端点，端点A在圆在圆(x1)2 y24上运动上运动,问线段问线段AB的中点的中点M的轨迹是什么的轨迹是什么？BAyxOM解解2：设设 M(x，y)，A(x0，y0)，点点 A 在圆在圆(x1)2 y24上上，又又 B(4,3)，由中点坐标公式得由中点坐标公式得消参数得消参数得 线段线段AB的中点的中点M轨迹是以轨迹是以 为圆

12、心、为圆心、1为半径的圆为半径的圆.解解3：巩固巩固2.已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3)，端点，端点A在圆在圆(x1)2 y24上运动上运动,问线段问线段AB的中点的中点M的轨迹是什么的轨迹是什么？线段线段AB的中点的中点M轨迹是以轨迹是以 为圆心、为圆心、1为半径的圆为半径的圆.1.圆心为圆心为(a，b)，半径为，半径为r 的圆的的圆的标准方程标准方程为：为：方程特征：方程特征：明确给出了圆的大小（半径）和圆的位置（圆心）明确给出了圆的大小（半径）和圆的位置（圆心）._ 几何特征几何特征.2.圆的圆的一般方程一般方程为：为：方程特征：方程特征：突出了圆方程形式上的

13、特点突出了圆方程形式上的特点.3.圆心为圆心为(a，b)，半径为，半径为r 的圆的的圆的参数方程参数方程为：为：方程特征：方程特征：直接体现了圆上点的坐标直接体现了圆上点的坐标x、y的间接关系的间接关系._ 代数特征代数特征.小结圆的方程：小结圆的方程：4.以以M(x1,y1)、N(x2,y2)为直径端点的圆的方程是为直径端点的圆的方程是:(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)=05.（3）若）若 0，（1）若）若 1，则点则点P的轨迹是线段的轨迹是线段AB的中垂线的中垂线.（2）若）若 0 且且 1，则点则点P的轨迹是圆的轨迹是圆.则点则点P的轨迹不存在的轨迹不存在.，则动点，则动点P的轨迹是的轨迹是