人教A版高中数学必修一 3.2.1几类不同增长的函数模型课件.pptx

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1、3.2.1 几类不同增长的函数模型三类函数增长速度的比较1.函数y=2x,y=log2x及y=x2的图象如图所示:(1)当x(2,4)时,函数y=x2与y=2x哪一个增长得更快一些?提示:y=x2.(2)当x(4,+)时,函数y=x2与y=2x哪一个增长得更快一些?提示:y=2x.(3)是否存在一个x0,使xx0时恒有2xx2log2x成立?提示:存在.2.填表:三种函数模型的性质 3.填空:三种函数的增长速度比较(1)在区间(0,+)上,函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数,但增长速度不同.(2)在区间(0,+)上随着x的增大,函数y=ax(a1)的增长速

2、度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,而函数y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢.(3)存在一个x0,使得当xx0时,有logaxxn1,n0时,在区间(0,+)上,对任意的x,总有logaxxn0,b1)表达的函数模型,称为指数型函数模型,也常称为“爆炸型”函数模型.()答案:(1)(2)(3)探究一比较函数增长的差异探究一比较函数增长的差异例1函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以1x12,9x210,所以x16x2,从图象上可以看出,当x

3、1xx2时,f(x)g(x),所以f(6)x2时,f(x)g(x),所以f(2 019)g(2 019).因为g(2 019)g(6),所以f(2 019)g(2 019)g(6)f(6).反思感悟由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.延伸探究延伸探究1在本例(1)中,若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解第(1)题呢?解:由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2

4、对应的函数为f(x)=3x.延伸探究延伸探究2本例条件不变,(2)题改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2 019),g(2 019)的大小.解:因为f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以1x12,9x210,所以x18x2,从图象上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),所以f(8)x2时,f(x)g(x),所以f(2 019)g(2 019).因为g(2 019)g(8),所以f(2 019)g(2 019)g(8)f(8).探究二体会指数函数的增长速度探究二体会指数函数的增长速度例2甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:甲公司:在

5、10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.你觉得哪个公司捐款最多?分析:分别计算三个公司在10天内的捐款总数.解:三个公司在10天内捐款情况如下表所示.由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元.反思感悟解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异,需注意幂函数的增长是介于两者之间的.函数模型的应用典例某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x万元,甲、乙两种商品可分别获得y1,y2万元的利润,利润曲线P1:y1=axn,P2:y2=

6、bx+c如图所示.(1)求函数y1,y2的解析式;(2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利润.【规范展示】解:(1)P1:y1=axn过点(1,1.25),(4,2.5),(2)设用x万元投资甲商品,则投资乙商品为(10-x)万元,总利润为y万元.所以用6.25万元投资甲商品,3.75万元投资乙商品,才能获得最大利润.【答题模板】失误失误警示警示 造成失分的原因如下:(1)观察图象不仔细,弄错点的坐标而导致出错;(2)计算不过关,将函数解析式求错;(3)二次函数图象与性质理解不透彻,将函数最值求错.变式训练某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资

7、的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2x(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图,图所示.(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)故投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.1.当a1时,有下列结论:指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;对数函数y=

8、logax,当a越小时,其函数值的增长越快.其中正确的结论是()A.B.C.D.答案:B2.已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2xy2y3B.y2y1y3C.y1y3y2D.y2y3y1解析:在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2y1y3.答案:B3.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如下表:为估计以后每月该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系.请问:用以上哪个模拟函数较好?说明理由.解:若用函数y=ax+b(a0),取(1,50),(2,52),y=2x+48.当x=3时,y=54.若用函数y=ax+b,取(1,50),(2,52),y=2x+48.当x=3时,y=56.由题知3月份的产量为53.9千件,由上可知用函数y=2x+48的估计误差较小,故用函数y=ax+b模拟比较好.